Феодосьев В.И. Сопротивление материалов (1075903), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Круговые диаграммы напряженных состоянии этого класса располагаются в средней части плоскости вОт (рис. 7.24). Смешанное трехосное напряженное состояние возиакает, напркмер, Рис. 7.23 при нагружении толстостенного цилиндра внутренним давлением (рис. 7.25, а).
Для изгибаемого и одновременно закручиваемого стержня характерно возникновение двухосного смешанного напряженного состояния (рис. 7.25, б). Чистый сдвиг 324 Ряс. Т.2б также представляет собой смешанное двухосное напряженное состояние (рис. 7.25, в). 7.6. Деформированное состояние Изменение формы тела связано с перемещениями его точек. Расстояние между положением некоторой точки А до и после изменения формы тела (рис. 7.26) называется ее полным перемещением.
Составляющие вектора полного перемещения по осям х, у и я обозначаются соответственно через и, ю и в. 32б Рассмотрим элементарный отрезок АВ, направление которого совпадает с направлением оси х ~рис. 7.27, а). Расстояние между точками А и В обозначим через Нх. Составляющие вектора перемещения в точке В отличаются от составляющих в точке А на величины, соответствующие изменению координаты х. Так, если точка А перемещается вдоль оси х на в, то точка В перемещается дю на а+ — ~Ь и т.д.
дх Рис. 7.26 Рис. 7.27 ди Приращение длины отрезка АВ составляет — Ых. Следодх вательно, относительное удлинение в точке А по оси х будет ди дю дш е, = —. Аналогично к~ — — —, с, = дх ду' ' дл' Угол поворота отрезка АВ в плоскости хОг равен отношению разности перемещений точек В и А вдоль оси г к длине ди отрезка Ых, т.е. ~1 = . Угол поворота отрезка АС в плосдх ди кости хОх (рис.
7.27, б) равен 72 = —. Сумма углов 71 и 72 дх' представляет собой изменение прямого угла ВАС, т.е. угол дно ди сдвига в плоскости хОл ~„= — + —. Аналогично могут дх дх' З2В быть написаны выражения для углов сдвига в двух других координатных плоскостях. В итоге имеем следующую связь между перемещениями и деформациями в точке: ди де дю е » д ~ ф д ) з д У е е Вп дш дш ди ди дэ 7у» = + ) 7»»= + — ) 'Ьу= +— дх ду' дх дх' ду дх' Совокупность деформаций, возникающих по различным осям и в различных плоскостях, проходящих через данную точку, носит название деформированного состояния в точке, а е,, е», е„7~„7,» и 7»я называются компонентами оефоРмированного состояния. Возникает естественный вопрос, достаточно ли этих шести компонент, чтобы определить деформированное состояние, т.е.
можно ли по этим шести компонентам найти удлинение по любой оси и углы сдвига в любых плоскостях, проходящих через данную точку? На этот вопрос можно ответить утвердительно. Рассмотрим некоторую ось и, проходящую через заданную точку (рнс. 7.28, а). Направляющие косинусы прямой и будут 1, т, и. Выделим на этой прямой малый отрезок ОА = ЫХ и построим на нем, как на диагонали, параллелепипед со сторонами ах, ау, Ых (рис. 7.28, б).
Рис. 7.28 Если параллелепипед получает удлинение е, точка А смещается вдоль оси х на е» Ых, а диагональ ОА получает абсолютное удлинение ЬИЬ = е»!Их. Относительное удлинение диагонали получим, разделив это прошведеине на Ы = ах/1. 327 В итоге обнаруживаем, что удлинение е вносит в удлинение к„слагаемое к~1 . Аналогичные слагаемые дают удлинения г г„и г,. Теперь положим, что нижняя грань параллелепипеда ах Ыу остается на месте, а верхняя вследствие сдвига в плоскости хОя получает вдоль оси х перемещение 7,~Ня. Это удлиняет диагональ ЫХ на 7 Ия.1; делим это произведение на НЬ = ая/и и видим, что сдвиг 7~~ приводит к увеличению е„ на 7,~а1.
Остальные слагаемые можно написать по аналогии. Суммируя их, получаем = е,1 + сятп + Я,и + 7я,ша + 7„п1 + 7 ц1т. (7.17) г г г Несколько сложнее определить угол сдвига в плоскости, определяемой двумя взаимно перпендикулярными прямыми и и и (см. рис. 7.28, о). Лля этого надо найти перемещение точки А по направлению ~ы и разделить его на ИХ.
Это дает угол поворота отрезка ЫХ в плоскости ир. Затем все то же самое проделываем для отрезка, расположенного по оси и. Сумма найденных углов дает искомый угол сдвига в плоскости иО~и. Но этих выкладок мы уже делать не будем. Главное ясно. Леформированное состояние в точке определяется шестью компонентами. Теперь вернемся к выражению (7.17) и сравним его с найденным ранее для напряжения ю„выражением (7.4). Эти соотношения имеют общую структуру, и все, что было получено ранее из выражения (7.4), можно получить и из (7.17).
Лостаточно только во всех формулах заменить ст~, сто, о, на е~, е~, г„а 2тя„2т,., 2т~~ — на 7я„7„, 7щ. Таким образом, анализ деформированного состояния показывает, что оно обладает свойствами, совершенно аналогичными свойствам напряженного состояния. Среди множества осей, которые могут быть проведены через исследуемую точку, существуют три взаимно перпендикулярные оси, в системе которых угловые деформации отсутствуют. Эти оси называются главными осями деформированного состпояния, а линейные деформации в этой системе — главными дефоркаииями. Главные деформации определяются из кубического уравнения — Ае +.62~ — 7з = О 3 2 коэффициентами которого являются инварианты деформиро- ванного состояния: Е~ + Еу + Ем~ 2 1 2 1 2 яЕ +~~Е +Ег~" 47И 47ы* 47Н1 1 — 7х* 2 1 2 72ф 1 7у* 2 (7.18) 1 719 2 1 7хю 2 1 7$Л 2 ЬГ = Их Иу Нг(1+ е~) (1+ еу) (1+ е,) — Нх НуИг.
Раскрывая скобки и пренебрегая произведениями линейных деформаций как величинами, малыми по сравнению с их первы- ми степенями, получаем Ь~ = Нх ЙУ Йг (Ег + Еу + ег). ага Из сопоставления этих выражений с соотношениями (7.8) и (7.9) видно, что аналогом нормального напряжения здесь является линейная деформация, а аналогом касательного напряжения — половина угла сдвига в соответствующей плоскости. Продолжая эту аналогию, можно, подобно кругам Мора в напряжениях, построить круги Мора в деформациях.
Анализ деформированного состояния основан на чисто геометрических соотношениях, и поэтому все сказанное остается справедливым для любого однородного тела, независимо от механических свойств материала. Наряду с линейной и угловой деформациями в сопротивлении материалов приходится рассматривать иногда обьемную деФормацию, т.е. относительное изменение объема в точке. Линейные размеры элементарного параллелепипеда Ых, Ну и Ыг в результате деформации меняются и становятся равными Их(1+ е~), Ыу(1+ ея) и Нг(1+ е,). Абсолютное приращение объема определяется, очевидно, разностью Относительное изменение объема обозначается буквой е и равно сумме линейных деформаций по трем осям: ЬУ е = = Ех+Еу+Е~ ° С поворотом осей относительное изменение объема е в точке, очевидно, не меняется.
Это — один из инвариантов деформированного состояния (см. формулу (7.18)). (7.19) 7.7. Обобщенный закон Гука и потенциальная энергия деформации в общем случае напряженного состояния Рис. т.ге 330 Ло сих пор напряженное и деформированное состояния рассматривали независимо одно от другого и не связывали со свойствами материала. Однако между компонентами напряженного состояния, с одной стороны, и деформированного — с другой, существует определенная зависимость. В пределах малых деформаций эта зависимость является линейной и носит название обобщенноео эакона Гука. Наиболее простую форму обобщенный закон Гука принимает для изотропного тела. В этом случае коэффициенты пропорциональности между компонентами напряженного и деформированного состояний не зависят от ориентации осей в точке.
Для того чтобы составить аналитическое выражение обобщенного закона Гука, воспользуемся принципом независимости действия сил и рассмотрим раздельно силы, возникающие на гранях элементарного параллелепипеда (рис. 7.29). В любой из координатных плоскостей, например уол, угловая деформация определяется только соответствующим касательным напРЯжением 7я» — — тя»(С. Лве дРУгие паРы касательных напряжений, а также нормальные напряжения не бУдУт влиЯть на 7я», что ЯвлкетсЯ следствием свойств изотРопного материала. Сказанному можно дать следующее объяснение.
допустим, что на гранях элемента возникают только касательные напряжения т,~ — т~» (рис. 7.30, а). Спрашивается, может ли при этом появиться угловая деформация 7у» в плоскости~ перпендикулярной плоскости действия касательных напряжений г»я? Рис. Т.ЗО Если эта деформация возникает, то указать ее знак для изотропного материала невозможно, поскольку "предпочтительность" того или иного направления для г „не обнаруживается, а в свойствах материала она отсутствует.
Положим, например, что сдвиг происходит в направлении, укаэанном на рис. 7.30, а. Тогда, поворачивая элемент на 180~ относительно оси ~, получаем точно ту же систему сил т~я н противоположный знак 7»„(рис. 7.30,6). Ясно, что указанное противоречие УстРанЯетсЯ только в том слУчае, если 7я» = О. Следовательно, принимая принцип независимости действия сил, можно сказать, что УгловаЯ дефоРмациЯ 7я» от г»я не зависит. Аналогичным образом доказывается, что она не зависит от всех прочих компонент напряженного состояния, кроме т~». Лля анизотропного материала приведенные соображения не имеют (7.20) ~т~ ~т~ с» е, = — — и — — и —. Е Е Е Такие же выражения получаем по аналогии и для ец и е,.
В итоге 1 е~ = — [ст~ — р (ая + ст»)~; 1 ея = у [гя — Н И» + одЪ 1 е» = — [о» вЂ” ф (~т~ + оу)], Сложив левые и правые части этих равенств, получим выражение объемной деформации (7.19) в виде 1 — 2р е = (с~ + с~ + ст»). (7.22) Полученные соотношения (7.20) — (7.22) являются аналитическим выражением обобщенного закона Гука для изотропного тела. (7.21) силы. В итоге для трех угловых деформаций получаем Ъ» т»~ т~,„ 7у» = ~ 1 7»а = ~ ~ 7яу = Из этих выражений видно, что для изотропного тела главные оси напряженного и деформированного состпояний совпадают, поскольку одновременно с касательными напряжениями обращаются в нуль и угловые деформации.
Подобно тому как угловые деформации не зависят от нормальных напряжений, линейные деформации не зависят от касательных напряжении. Это может быть довольно просто показано при помощи приведенных выше рассуждений. Кроме того, это следует также и из теоремы взаимности работ (см. ~ 5,6). Если нормальные напряжения не вызывают сдвига, на котором касательные силы могли бы совершить работу, то касательные напряжения не вызывают линейных смещений, на которых могли бы совершить работу нормальные силы. Относительное удлинение в направлении оси ж, обусловленное напряжением а~, равно а»(Е. Напряжениям а~ и с, соответствуют удлинения по оси х обратного знака, равные — ра~(Е и — рлт»)Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
