Феодосьев В.И. Сопротивление материалов (1075903), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Тогда две другие главные площадки можно определить в семействе площадок, перпендикулярных первой, что значительно упрощает задачу. Рассмотрим условия равновесия треугольной призмы, показанной на рис. 7.13. Эта призма образована путем сечения элементарного параллелепипеда наклонной площадкой, которая, независимо от угла наклона а, остается параллельной одной из главных осей.
В данном случае такой осью является главная ось у. Проецируя все силы, действующие на отсеченную призму, на оси, параллельные векторам о и г (см. рис. 7.13, о), получим (7.15) можно дать простое геометрическое толкование. Пере- ~г1 + ~~а несем полусумму главных напряжений 2 в левую часть первого уравнения. Лалее, возводя в квадрат левые и правые части уравнений, исключаем угол а. Получим ст1 + оз 2 ст1 — оз В системе координат с, т это есть уравнение окружно- с1+ О2 сти, центр которой находится на оси о на расстоянии 2 от начала координат. Радиус окружности равен полуразности главных напряжений. Иначе говоря, окружность построена на отрезке с1 — юз как на диаметре (рис.
7.14). Полученный круг называется кругом Мора, или круговой диаграммой напряженного состпохния, Что касается уравнений (7.15), то их можно рассматривать как уравнение окружности, написанное в параметрическом виде. Роль параметра играет угол а, устанавливающий соответствие между точкой окружности и секущей площадкой. Каждой секущей площадке соответствует определенная точка на круге Мора. В частности, если угол а = О, секущая площадка совпадает с главной площадкой наибольшего напряжения о1 (точка В на рис. 7.14). Если а = 90О, секущая площадка совпадает с другой главной площадкой из того же семейства (точка С на окружности). 4-6 г ' ~я!пЛ~ Ркс. 7.14 Показанная на рис.
7.14 окружность построена для семейства площадок, параллельных вектору с2. Аналогичным образом можно построить круги Мора и для семейств площадок, параллельных векторам с1 и оЗ. В этих случаях круги строят соответственно на отрезках о2 — ~тЗ и о1 — сто как на диаметрах. Таким образом может быть построено три круга Мора. Поскольку знак т не оговаривают, обычно ограничиваются построением только верхней половины круга (рис. 7.15): Для площадок, Для площадок, Для площадок, Рис.
7.15 Каждой точке любой окружности соответствует определенная секущая площадка в соответствующем семействе. Понятно, однако, что точки, расположенные на трех кругах, не исчерпывают всеео множества секущих площадок. Площадки, не параллельные ни одной из главных осей, не вписываются в рассматриваемую схему. Можно показать, что секущим площадкам соответствуют на плоскости ~т, т точки, лежащие внутри заштрихованного криволинейного треугольника ВСР, образованного тремя совмещенными кругами Мора ~рис. 7,16). Имеются также Рис. 7.16 и методы определения напряжений в соответствующих площадках. Поскольку ни одна из точек не выходит за пределы заштрихованного криволинейного треугольника, наибольшее касательное напряжение равно радиусу наибольшего круга ~~ — с~э т„, „= 2 Это напряжение возникает в площадке, равнонаклоненной к главным площадкам, на которых действуют максимальное и минимальное иэ главных напряжений, что уже было установлено ранее (см. выражение (7.14)).
Круговая диаграмма может быть построена не только, когда заданы главные напряжения. Достаточно знать напряжения в двух любых площадках иэ рассматриваемого семейства площадок, параллельных главной оси. Положим, например, задано напряженное состояние, показанное на рис. 7.17, а. Ось у является главной. Среди семейства ей параллельных площадок есть две, в которых напряжения известны. Это площадки 1 и 11.
Следовательно, на круговой диаграмме могут быть Рис. 7.17 найдены две соответствующие им точки. Эти точки должны располагаться на противоположных концах одного диаметра, так как угол между площадками равен 90О, а на круговой диаграмме он удваивается. Однако, поскольку знак напряжений г не оговаривали, ординаты обеих точек откладываем вверх. На форме круговой диаграммы это не скажется (рис. 7.17, 6). з~в Из круговой диаграммы легко определить главные напряжения: Ох+Ох и Юя+0г о = +В, 2 ' 2 где  — радиус круга, Ю = Таким образом, (7.1б) и ггх+оя о 2 + После того как напряжения п~ и ггн найдены, их сопоставляют с оу, и все главные напряжения переименовывают на с1, о~ и багз в порядке убывания.
П р н м е р 7.4. Определить главные напряжения для напряженного состояния, показанного на рнс. 7.18. Напряжения заданы в условных единицах. Рис. 7.18 В предложенном примере одна нз главных площадок и одно нз главных напряжений заданы. Следовательно, не прибегая к решению кубического уравнения (7.8), можно остальные главные напряжения определить нз круга Мора для семейства площадок, параллельных осн х (см. рнс. 7.18). Наносим на диаграмму точки, соответствующие площадкам 1 н 11, и строим круговую диаграмму: а' = 20 — ~/20Я + ЗОш — 1б, е =20-~~/20~ ~-ЗО~ =5Б, Следовательно, ю1 = 56, е = 50, пз — — -16. 319 Прн определении главных напряжений можно было бы пользоваться тахже формулами (7.16).
При этом необходимо особое внимание обращать на то, чтобы не ошибаться в индексации напряжений по осям. Рассмотрим еще один пример. П р и м е р 7.5. Определить главные напряжения в случае напряженного состояния, показанного на рис. 7.19. Напряжения даны в условных единицах. Напряженное состояние — плоское. Площадка А является главной. Лве другие находятся в семействе площадок, перпендикулярных первой. С тем, чтобы воспользоваться непосредственно формуламн (7.16), направим ось у перпендикулярно главной площадке (см. рис.
7.19). Тогда ае — — -30, (т~ — — 50, т = 30. По формулам (7.16) находим а' = — 40, ю" = 60. Переименовывал напряжения в порядке убывания, получаем сг1 = 60, пг = О, аз = -40. Ркс. 7.19 7.5. Обзор различных типов напряженных состояний 320 При исследовании вопросов прочности при сложном напряженном состоянии существенное значение имеет вид напряженного состояния. Большинство материалов по-разному разрушается в зависимости от того, являются ли напряжения растягивающими или сжимающими. Как показывает опыт, все материалы без исключения способны воспринимать весьма большие напряжения в условиях всестороннего сжатия, в то время как при одноосном растяжении разрушение наступает при сравнительно низких напряжениях.
Имеются напряженные состояния, при которых разрушение происходит хрупко, без образования пластических деформаций, а есть такие,при которых тот же материал способен пластически деформироваться. В связи со сказанным очевидна необходимость более подробно остановиться на типовых признаках напряженных состояний и проследить, в каких условиях возникает то или иное состояние. На основе такого обзора в дальнейшем проще будет ориентироваться в вопросах прочности и легче дать оценку степени опасности напряженного состояния для материала. Выше было произведено деление напряженных состояний на трехосное, двухосное и одноосное.
При решении вопросов прочности, однако, такая классификация не является достаточной и принято целить напряженные состояния на три класса в зависимости от знака главных напряжений. Рис. 7.20 К первому классу относят трехосные растяжения, т.е. такие напряженные состояния, в которых ни одно из главных напряжений не является сжимающим. Круговые диаграммы для этого класса напряженных состояний располагаются в правой части плоскости оОт, (рис.
7.2О). В частном случае все три главных растягивающих напряжения могут быть равными; такое напряженное состояние называется чистым трехосн!!м растяжением. Оно возникает, например, в центральной части сплошного шара, быстро нагреваемого извне (рис. 7.21, а). Расширение внешних нагретых слоев приводит к тому, что внутренняя ненагретая область шара оказывается под воздействием всестороннего "растягивающего давления".
Круговые диаграммы при чистом трехосном растяжении вырождаются в точку ~см. рис. 7.21, а). Трехосное растяжение, при котором два главных напряжения равны, но отличны от третьего, возникает в точках, лежащих на оси растянутого образца, имеющего кольцевую выточку (рис. 7.21, б). Весьма часто встречается напряженное состояние, в котором оз = О, т.е. двухосное растяжение, также относящееся к рассматриваемому классу. Лвухосное растяжение, при котороМ ю1 ф. ю2, ! ! В. И. Фсодосьев возникает, например, в быстровращающихся тонких дисках постоянной толщины (рис.
7.21, в). Равное двухосное растяжение (с1 = с~г) возникает в точках, расположенных у внешней поверхности сферического сосуда, нагруженного внутренним давлением (рис. 7.21, г). К рассматриваемому классу напряженных состояний относится, наконец, и простое одноосное згг растяжение, возникающее в однородном стержне при его растяжении или чистом изгибе (рис. 7.21, 3). Второй распространенный класс составляют такие напряженные состояния, в которых ии одно из главных напряжений не является растягивающим. Это — так называемые трехосные сжатия.
Лля напряженных состояний этого класса круговые диаграммы располагаются в левой части плоскости юОт (рис. 7.22). Чистое трехосное сжатие возникает в любом теле, независимо от его формы, при всестороннем гидростатическом давлении (рис. 7.23, а). Неравномерное трехосное сжатие характерно для точек, расположенных в окрестности контактирующих тел, таких как, например, ролики и обоймы подшипников, втулки и валы (рис. 7.23, 6).
Пример возникновения двухосного сжатия показан на рис. 7.23, в. двухосное равное сжатие (ог = сз) возникает при нагружении давлением вала, имеющего свободные торцы (рис. 7.23, г). Одноосное сжатие также относится к рассматриваемому классу напряженных состояний и возникает, в частности, при чистом изгибе и сжатии однородного стержня (рис. 7.23, д). К третьему классу относятся так называемые смешанные напряженные состпояния, в которых наибольшее и наименьшее из главных напряжений имеют разные знаки. Напряжение сг~ может быть как положительным, так и отрицательным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
