Феодосьев В.И. Сопротивление материалов (1075903), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Теория Мора и ее применение Допустим, что мы располагаем испытательной машиной, на которой образцу можно задавать любые напряженные состояния с пропорциональным изменением всех компонент. Выберем некоторое напряженное состояние и будем одновременно увеличивать все компоненты. Рано или поздно это напряженное состояние станет предельным. Образец либо разрушится, либо в нем появятся пластические деформации.
Вычертим для предельного состояния на плоскости оОт наибольший иэ трех кругов Мора (круг 1, рис.8.2). Будем в дальнейшем считать, что предельное состояние не зависит от о2. Лалее, на образце того же материала проводим испытание при другом напряженном состоянии. Снова путем пропорционального увеличения компонент добиваемся того, что напряженное состояние станет предельным. На диаграмме (см. рис. 8.2) вычерчиваем соответствующий круг (круг 2). Рис.
8.2 Поступая таким образом и дальше, получим семейство кругов Мора для предельных напряженных состояний. 364 Вычерчиваем их общую огибающую. Примем, что эта огибающая хвлхетпся единсшвенкой, независимо от промежуточных главных напряжений ст~. Это положение является основным допущением в излагаемой теории. Форма огибающей предельных кругов Мора зависит от свойств материала и является его механической характеристикой, такой же, как, например, диаграмма растяжения. Если огибающая предельных кругов для материала дана, можно при любом заданном напряженном состоянии определить коэффициент запаса. Лля этого надо по заданным напряжениям вычертить наибольший из трех кругов Мора, а затем, хотя бы графически, установить, во сколько раз следует увеличить а1 и сз, чтобы увеличенный круг касался предельной огибающей.
В изложенном подходе к вопросам предельных состояний не содержится, как видим, критериальных гипотез, и теория Мора основана в первую очередь на логической систематизации результатов необходимых экспериментов. Теперь нужно решить вопрос о том, как построить огибающую предельных кругов при ограниченном числе испытаний.
Наиболее простыми являются испытания на растяжение и сжатие. Следовательно, два предельных круга получить просто (рис. 8.3). Можно получить еще один предельный круг путем испытания тонкостенной трубки на кручение. При этом материал будет находиться в состоянии чистого сдвига и центр соответствующего круга расположится в начале координат (рис. 8.4)., Однако этот круг для определения формы огибающей мало что дает, поскольку расположен вблизи двух первых кругов. Рис. 8.3 0 Фу фбаюА г Рис. 8.4 (8.3) 366 для определения огибающей чреэвычайно важно энать положение точки С (см. рис. 8.2 и 8.3). Нормальное напряжение в этой точке представляет собой напряжение отрыва при всестороннем растяжении. До сих пор, однако, не существует метода для проведения соответствующег о испытания.
Вообще не удается осуществить испытание в условиях напряженного состояния, когда все три главных напряжения являются раснет воэможности построить для материала предельный круг, расположенный правее предельного круга растяжения. В силу указанных обстоятельств наиболее простым и естественным является решение аппроксимировать предельную огибающую касательной к кругам растяжения и сжатия (см.
рис. 8.3). Понятно, что это не исключает воэможности в дальнеишем, когда а будут найдены новые методы испытания, уточнить форму огибающей и тем самым более полно отраэить особенности поведения материала в условиях, близких к всестороннему растяжению. Выведем выражение для с~„~, полагая, что огибающая является прямои. а р . Н рис. 8.4 эта огибающая проведена по касательной к предельным кругам растяжения и сжатия (точки Й иЕ. Построим круг Мора для некоторого напряженного состояния, эаданного наибольшим и наименьшим главными напряжениями о1 и ст3 см. (см.
рис. 8.4). Если все компоненты этого напряженного состояния увеличить в я раз (где и — коэффициент запаса), то круг станет предельным. Напряжения о1 и о3 примут значения и' и о'. ~1 ~~1 ~ ~г3 и'~г3 Этот увеличенный (преу~льный) круг Мора касается предельной огибающей в точке С'. Кроме того, согласно условию пропорционального увеличения компонент, он будет касаться продолжения луча ОА в точке В. Из точки С' проводим горизонтальную прямую С'Е6 и составляем пропорпорцию: РЕ ГС . Но отрезки РЕ и ГС представляют собой разности радиусов рассматриваемых кругов. Поэтому а' — ст' Ф Ф РЕ тр 1 3. У~ ~~~ 1 3 2 2 ' 2 2 Далее, ~т~ с' и Ф Ф 3 ~ р. ~«~ ~1+ з 2 2 ' 2 2 Преобразовывая пропорцию, получаем От.р ~3~ от.с или, если учесть выражения (8.3), ~гт.р Я т.р с~1 ~3 ~т.с Лля эквивалентного растяжения 'а — От.р/~экв.
По условию эквивалентности коэффициенты запаса п в этих напряженных состояниях равны. Поэтому Оэкв = ~1 ~~ГЗ~ (8.4) где Й вЂ” отношение предела текучести при растяжении к пределу текучести при сжатии: й = от р/от.с В частном случае, если материал имеет при растяжении и сжатии одинаковые пределы текучести, й = 1. Тогда формула (8.4) переходит в полученную ранее формулу (8.1). В настоящее время практические расчеты по допускаемым напряжениям в сложном напряженном состоянии ведут, как правило, на основе формулы (8.4).
Вместе с тем, если материал обладает одинаковыми механическими характеристиками при растяжении и сжатии, то расчеты можно вести по формулам гипотезы энергии формоизменения. Числовые результаты получаются вполне удовлетворительными. Основное ограничение, которое накладывается на.применение теории Мора, связано с недостаточной точностью определения предельной огибающей в области всестороннего- растяжения. Это ограничение, однако, не столь существенно, поскольку напряженные состояния такого рода при решении практических задач встречаются редко. Недостаточно точно известен также вид предельной огибающей в области глубокого всестороннего сжатия. Здесь вследствие принятого упрощения также возможны погрешности. Наилучшие результаты выведенная расчетная формула дает для смешанных напряженных состояний, т.е.
при ~т1 ) О и ~тз ( О. Тогда предельный круг Мора располагается в интервале между предельными кругами растяжения и сжатия. Подход Мора хорош тем, что позволяет в связи с особенностями напряженного состояния доходчиво разъяснить относительную условность деления материалов на пластичные и хрупкие.
Лля одного и того же материала мы всегда можем построить две огибающие предельных кругов Мора. Первая огибающая характеризует переход от упругого состояния материала к пластическому. Поскольку образование пластических деформаций мы принимаем независимым от шарового тенэора, эта огибающая представляет собой прямую, параллельную оси и (рис.
8.5). Вторая огибающая соответствует разрушению образца (кривая У). Рис. 8.5 Лля материала пластичного (в общепринятом понимании этого термина) прямая 1 в правой части диаграммы (см. 358 рис. 8.5, а) проходит ниже кривой Я. Это означает, что при обычном испытании образца на растяжение круг Мора 8, по мере увеличения растягивающего напряжения о, сначала пересечет прямую 1.
В образце возникнут пластические деформации. Затем круг Я коснется кривой 2. Образец разрушится. Теперь рассмотрим взаимное расположение огибающих для хрупкого материала (см. рис.8.5,б). Здесь прямая 1 в правой части диаграммы расположена выше кривой 2. При испытании образца на растяжение круг Мора 8, не касаясь прямой 1, соприкасается с кривой 2. Разрушение происходит без заметных остаточных деформаций, как и положено для хрупких материалов. Предел текучести при этом, естественно, не определяют. Но это еще не значит, что он не существует.
Представим себе, что мы испытываем тот же образец на растяжение в условиях высокого гидростатического давления. Тогда круг 8, как единое целое, сместится в левую часть диаграммы и при увеличении растягивающей силы коснется сначала прямой 1, но не кривой Я. Мы получаем и пластические деформации для материала, считающегося хрупким, и находим даже его предел текучести. Все признаки хрупкого разрушения можно получить и у пластичного материала, если его испытывать в условиях наложенного всестороннего растяжения. Главное достоинство теории Мора заключается в принципе подхода к рассматриваемому вопросу. К сожалению, на это далеко не всегда обращают внимание, и часто теорию Мора ставят в один ряд с общеизвестными гипотезами, а то обстоятельство, что в частных случаях расчетная формула Мора совпадает с расчетной формулой гипотезы касательных напряжении, усиливает впечатление о равноценности этих подходов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
