Феодосьев В.И. Сопротивление материалов (1075903), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Согласно теории наибольших касательных напряжений (в случае отсутствия осевой силы, т.е. при ~т, = 0), Ьг+ аг с -. = ~1 — пз = Р,, — (-Р) Ь вЂ” а или ~Р2 ~~экв = Р Ь вЂ” а (9.15) Проследим, как изменяются напряжения ю, и ю~ по мере уменьшения толщины цилиндра. Примем 6 = а+ б, где б— толщина цилиндра.
Тогда (а + б)г + аг аг 1 (т=а) — Р б Ра + б) 1 1(г=а) — Р б Р При малом значении б а ~~(т= ) = ~т( =Ь) = Р— б' аг 2 с звв Радиальное напряжение а, у внутренней поверхности равно — р, а у внешней — нулю, независимо от толщины цилиндра. Таким образом, мы видим, что для цилиндра с малой толщиной стенки окружные напряжения распределены по толщине почти равномерно, а радиальные — малы по сравнению с окружными в той же мере, в какой толщина б мала по сравнению с радиусом.
Если толщина цилиндра увеличивается, то наибольшие напряжения в нем при неизменном давлении уменьшаются, но не беспредельно. Рассмотрим случай, когда 6 — оо, т.е. когда цилиндр имеет бесконечно большую толщину. Тогда выражение (9.14) принимает вид Это значит, что для цилиндра с бесконечно большой толщиной стенки радиальное напряжение в любой точке равно окружному (рис. 9.8), и при отсутствии осевых напряжений все точки находятся в состоянии чистого сдвига. Лалее, напряжения, как видим, находятся в обратно пропорциональной зависимости от квадрата радиуса т. Если принять, например, т = 4а, то в точках, расположенных на таком расстоянии от оси, напряжения составляют всего 1/16 максимальных.
Следовательно, когда можно довольствоваться точностью расчетов в пределах 5...6 % (практически большая точность и недостижима, хотя бы из-за упругих несовершенств материала), то цилиндр с отношением О/а > 4 можно уже рассматривать как имеющий бесконечно большую толщину стенки. Существенно, что при этом мы совершенно не связаны с формой внешнего контура. Если все точки внешнего контура удалены от оси внутреннего отверстия более, чем на 4а, то форма внешнего контура оказывает влияния на распределение напряжений.
Расчет упругих тел, таких, например, как на рис. 9.9, сводится, очевидно, к схеме цилиндра с бесконечно большой толщиной стенки. Рис. Э.Э Эквивалентное напряжение, согласно выражению (9.15), при о оо будет равно 387 Следовательно, если, например, предел упругости материала равен 600 МПа, то при бесконечно большой толщине цилиндра деформации будут упругими при давлении, не превышающем 300 МПа. О том, какие возможности имеются для обеспечения прочности при более высоких давлениях, мы скажем несколько позже. Цилиндр нагружен внешним давлением. В этом случае р~ = О, р~ = р. Выражение (9.10) принимает вид т — у Эпюры напряжений по толщине цилиндра для этого случая нагружения представлены на рис. 9.10.
Наибольшее эквивалентное напряжение имеет место у внутренней поверхности цилиндра. При отсутствии осевой силы 2Ь2 ~гэисв = ~г1 ~гз = 0 Р ъ ~ э Ь вЂ” а или 2Ь2 ~~экв = Р Ь вЂ” а Это выражение совпадает с тем, которое было получено для случая внутреннего давления. Ь'+ а' ! Рис. 9.10 Если внутреннее отверстие отсутствует, т.е. а = О, то напряжения в цилиндре распределены равномерно: ю~ =оф = -р. 388 П р и м е р 9.1.
Подобрать размер внешнего диаметра 2Ь цилиндра, предназначенного для удержания внутреннего давления р = 50 МПа, цри условии двукратного коэффициента запаса. Предел текучести материала ~т,,р — — а,., = 500 МПа. Внутрений диаметр задан: 2а = 10 см. Наиболее опасными являются гочки, располоисенные у внутренней поверхности цилиндра.
Согласно формулам (9.9) и (9.14), получаем Ь~+ из = — р; ~~=в Ь вЂ” а Ь вЂ” а 2Ьз Очевидно, е1 — — а~, аз = а,. Отсюда ю„, = ю1 — юз = р . После Ь' — п~ подстановки числовых значений находим 2Ь = 2~г~5~3а = 12,9 см. 9.3. Определение напряжений в составных трубах Выше мы уже показали, что увеличение толщины не может во всех случаях обеспечить необходимой прочности трубы. В пределе при бесконечно большой толщине ггэкв = 2р.
Если в толстостенном сосуде надо удержать высокое давление, например в 1500 МПа, необходимо, чтобы предел текучести материала был бы по крайней мере в два раза большим, т.е. 3000 МПа, Следовательно, для сосудов высокого давления необходимо искать какие-то новые конструктивные решения. Одним из таких решений является создание составных, соединенных с натягом цилиндров. Этот прием используют как в технике высоких давлений, так и в артиллерийской практике для упрочнения стволов мощных орудий. в+с "т Ъ- сг С г Ркс~ сг Рксг'аг Рис.
9.11 Положим, мы имеем два цилиндра (рис. 9.11). Внутренний радиус первого цилиндра обозначим через а, а внешний— через с. У второго цилиндра внутренний радиус на Ь меньше 389 наружного радиуса первого цилиндра, т.е. равен с — Ь. Внешний радиус второго цилиндра равен о. Если большой цилиндр нагреть, то отверстие в нем увеличится и первый цилиндр может быть свободно вставлен во второй. При остывании между цилиндрами возникает контактное давление Р„.
Определим его. При посадке внешний радиус внутреннего цилиндра сократится и точки цилиндра на контактной поверхности получат отрицательное смещение и1. Внутренний радиус внешнего цилиндра увеличится. Здесь, следовательно, возникает положительное смешение и2. Размер и2+( — и1) должен быть равен натягу Ь: (9.16) и2 — И1 = Ь.
Перемещение и1 можно определить по формуле (9.13), если по- ложить в ней р, = О, р1 = р„, а О и т заменить на с. Тогда получим 1 — и с 1+р а с и1 = Е с2 — а2 Я с2 — а2 Р~ Р~. По той же формуле определяем и и2. Для этого полагаем р~ = =О,р~=р„,а=т=с. Тогда 3 1+ И Ь2с 2 — Д ~2 — с2 Р~ Р ~2 — с2 Рк ° Модуль упругости Е и коэффициент Пуассона и, предполагаем для обоих цилиндров одинаковыми.
Согласно выражению (9.16), находим Е~ (с2 ~2) (в2 с2) 23 ~2 2 (9.17) 390 Таким образом, в результате посадки внутренний цилиндр оказывается под действием внешнего давления р„, а внешний — под действием точно такого же внутреннего давления. Картина распределения напряжений в сопряженных цилиндрах показана на рис. 9.11. Если теперь составной цилиндр нагрузить внутренним давлением, то обе его части будут работать как одно целое, и в составном цилиндре возникнут напряжения, определяемые формулой (9.14).
Эти напряжения должны быть алгебраически просуммированы с предварительными напряжениями натяга (рнс. 9.12). Во внутренних, наиболее напряженных точках рабочие напряжения и напряжения натяга имеют разные знаки. +.~ ь' (А) 4~ Рис. 9.12 ~эквА ~эквВ. Согласно выражению (9.10), получим: в точке А 62+ ~2 Оэкв О~ — ОЗ Р Ь вЂ” а 2сг Рк — (-Р); с2 яг (9.18) в точке В ~экв = ~1 ~3 = рог 62 62 + сг рог 62 2 ц~ с2 Рк62 с2 62 ц~ с2 ( Р ) Приравняв эти выражения, находим Ьг ,г ог Ьг С2 р — = рк + . (9.19) с2 62 22 $2 сг с2 ~2 391 Поэтому суммарное напряжение здесь снижается и составной цилиндр способен выдержать большее давленке, нежели обычный.
Нужно, однако, помнить, что вследствие натяга увеличиваются напряжения в зоне контакта у внешнего цклиндра. Поэтому натяг Ь следует подбирать для заданного рабочего давления р таким, чтобы была обеспечена прочность не только внутреннего, по и внешнего цилиндра. Легко составить условие равнопрочности цилиндров (см. рис. 9.12): Если подставить сюда рк из выражения (9.17), то найдем натяг Ь, который обеспечивает условие равнопрочности при заданном рабочем давлении р: 2Р с62(сг ~г) Е 62(сг — аг) + сг(62 — сг)' Если, наконец, исключить из выражения (9.18) контактное давление р„(9.17), то получим (9.20) 262 1 экв — Р 6 — а Ь с г 62 с2 с2 ~2 + Это напряжение имеет минимум при с = ~/а6: Ыв 6 ~экв = Р 6 — а (9.21) Полученные соотношения носят название условий Гадолина, по имени русского ученого, впервые их получившего.
Сопоставляя выражения (9.21) и (9.15), видим, что посадка труб приводит к заметному снижению эквивалентного напряжения. Для сравнения рассмотрим отношение выражений пэкв, полученных по этим формулам: о. т1п экв ~экв Если внутренний радиус цилиндра а мал, то посадка труб по соотношениям Гадолина дает почти двукратное снижение эквивалентного напряжения. Лля тонкостенных труб, т.е. при а — 6, посадка труб не дает эффекта. В технике высоких давлений, кроме посадки, применяют так называемое автофретирование, которое заключается в предварительной нагрузке цилиндра внутренним давлением, большим рабочего, с таким расчетом, чтобы во внутренних слоях цилиндра возникали пластические деформации, После снятия давления во внешних слоях цилиндра сохраняются упругие напряжения растяжения, а во внутренних слоях возникают напряжения сжатия (рис.
9.13). В дальнейшем при нагрузке цилиндра давлением остаточные напряжения суммируются с рабочими так, что во внутренних слоях имеет место частичная разгрузка. Материал цилиндра не получает пластических деформаций, если только рабочее давление не превышает давления предварительного обжатия. Рис. 9.13 П р и м е р 9,2. Подобрать размеры диаметров 2с и 2Ь н натяг Ь для двуслойного орудийного ствола, имеющего внутренний диаметр 2а = 100 мм. Максимальное давление в момент выстрела р,» = 200 МПа. Материал — сталь, Е = 200 ГПа, сг~ р — — а ., = 600 МПа. Запас прочности должен быть не менее чем двукратный.
По формуле (9.21) определяем размер д: боо Ь = 200 ; Ь = За. 2 Ь вЂ” а' Промежуточный радиус с представляет прн этом среднее геометрическое между а и Ь: с = ~аЬ = аъГЗ. Численные значения диаметров таковы: 2а = 100 мм; 2Ь = 300 мм; 2с = 173 мм. Выражение (9.20) после подстановки с = ~ГаЬ принимает вид Ь = Р = — ча1. Отсюда натяг Е Ь = с/50.150 = 0,0865 мм. 200 2 10з П р и м е р 9.3. Стальной стержень установлен с натягом в стальной плите (рис. 9.14).
Какую силу следует приложить к стержню в осевом Рис. 9.14 направлении, чтобы вытянуть его из плиты? Известны натяг Ь = 0,03 мм; диаметр стержня Р = 60 мм, толщина плиты Ь = 100 мм, коэффициент трения между плитой и стержнем ~ = 0,25. Пренебрегая особенностями, связанными с неравномерным натягом по толщине плиты, примем, что искомал сила представляет собой силу трения Р = ~р,хРЬ. Контактное давление р„определим по формуле (9.17), если примем а = О, 6=со, с=Р(2: р, = Š— = 200 — ' = 100 МПа. Ь 0,03 Р 60 Искомая сила Р = 4, 6 10 Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
