Феодосьев В.И. Сопротивление материалов (1075903), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Рассмотрим некоторые примеры определения напряжений в тонкостенных сосудах. П р и м е р 10.1. Сферическая оболочка радиусом В и толщиной Л находится под действием внутреннего давления р (рис. 10.9, а). Определить напряжения, возникающие в оболочке. Рис. 10.9 Лля сферической облочки р~ — — р~ = Я. Из условия полной симметрии следует ~т~ = ~~. Согласно формуле Лапласа (10.1), имеем рЛ ~т — ~У1 = —. 2Л Напряженное состояние является двухосным (рис. 10.9, б), поэтому рй ~~1 — — <гз = 2Л Наименьшее напряжение ~гз принимаем равным нулю.
По теории Мора, независимо от величины /с, рй <тзкв = <у1 Л~гз = 2Л (10.3) П р и м е р 10.2. Цилиндрический сосуд (рис. 10.10, а) находится под действием внутреннего давления р. Радиус цилиндра Я, толщина Л. О предел ить напряжения. враг Д е р ~т Ф Рис. 10.10 402 Отсекаем поперечным сечением часть цилиндра (рис. 10.10, 6) и составляем для нее уравнение равновесия (10.2): ~г,2«ЯЛ = Р.
Осевая составляющая сил давления, независимо от формы днища, согласно теореме 10.1, будет равна Р = «Я р. Таким образом, г рЯ Г 2Л' Для цилиндра р, = оо, рф = Я. Поэтому из формулы Лапласа (10.1) находим т.е. окружное напряжение оказывается вдвое ббльшим меридионального. Элемент АВСО, выделенный из цилиндрической оболочки, находится в двухосном напряженном состоянии (рис. 10.10, е): <тз — — О. Эквивалентное напряжение рЯ ~гзк в — <~1 Л <~з— Л (10.4) Для цилиндра, как видим, эквивалентное напряжение оказывается в два раза большим, чем для сферической оболочки того же радиуса и той же толщины. 11 р и м е р 10.3. Полусферический сосуд радиусом Я и толщиной Л (рнс.
10.11, а) заполнен жидкостью, плотность которой у. Определить напряжение в сосуде н построить эпюры с ~, ю~ и с„,. Рис. 10.11 403 Нормальным коническим сечением с углом 2р при вершине отсекаем нижнюю часть сферической оболочки (рис. 10.11,, б) и составляем для нее уравнение равновесия (10.2), где Р— равнодействующая сила давления жидкости. Согласно теореме 10.2, сила Р равна весу жидкости в объеме, расположенном выше отсеченной части оболочки. Введем вспомогательный угол ф и определим объем АВСЕР (см.
рис. 10.11, 6): — 2 Вз ' Ф ЗМИЕ о нли У = — ~гФ(1 — сов Р). 2 з 3 Таким образом, находим Р = — 'ГЯ 7(1 — сов Ф); 2 з 3 3 7В 1 сов ф ~гтл =— ЗЛ в1вз у (10.5) Обращаемся теперь к уравнению Лапласа (10.1): Рчп = Р~ = Ж Р = 7Всов У. Подставляя а~~, находим нз этого уравнения 1 — сов у з Зсову— в1п у (10.Б) Согласно выражениям (10.5) и (10.б), строим эцюры ст н ~т~, представленные на рнс. 10.12. Как видим, напряжения ~г, и а~ в нижней точке сферы равны.
В верхней точке е~ имеет отрицательное значение. Там, где ю ~ н гф будут одного знака, имеем а1 — — с~, <тз = ~~, багз = О, Гака = <Г1 Й<7з = стп. Там, Где (Гул и щ имеют разные знаки, (г1 = (гну~, ~2 = О, ~гз = а~, с~ = с л — Й~гс. Эпюра эквивалентного напряжения (см. рис. 10,12) имеет, таким образом, излом в точке, где е~ меняет знак. Если Й ) 1/2, расчетное напряжение для сосуда равно д2 так 7~ (1 + Й) где по-прежнему Й = ~т~.р/<т,., Рис.
10.12 404 Наличие в верхней части сосуда напряжений сжатия ~г~ является в данном случае вполне закономерным. Меридиоиальное напряжение ~г~а в зоне закрепления является, очевидно, растягнвающим. Так как давление р здесь мало, то равновесие выделенного элемента (рнс. 10.13) возможно только при сжимающем окружном напряжении д~. Если бы сосуд был закреплен в нижней части, то это явление не имело бы места, поскольку на верхней кромке а~ равнялось бы нулю. Рис.
10.14 Рис. 10.13 Возникновение сжимающих напряжений ~г~ при внутреннем давлении свойственно не только сферическому сосуду. Например, в цилиндрическом баке, заполненном жидкостью (рнс, 10.14), в зоне перехода от цилиндрической части к днищу также могут возникать прн определенных условиях сжимающие напряжения. Чтобы оболочка не теряла устойчивость, ее необходимо в этом месте укреплять. П р и и е р 10.4. Определить напряжения в торообразном баллоне, нагруженном внутренним давлением р. Размеры баллона даны на рис.
10.15, а. Выделим сечениями, нормальными к поверхности, часть торообразной оболочки (рис. 10.15, 6). Составим для нее уравнение равновесия и определим ~тщ.' <т„2хЬ (а + Н ви~ Р) в~п ~Р = р~г [(а + Яв1п р) — а ]; рВ 2а+ Нв1п Р ~гп~ 2Ь а+ Вв1п р Обращаясь к уравнению Лапласа (10.1), получаем а+ Яв1п Р Рвъ=А РЬ в1п у Подставляя р„,, р~ и ~г, в уравнение (10.1), находим ~у = рЯ/2Л.
405 Наибольшее напряжение а~ возникает во внутренних точках торо- образной оболочки при у = — я/2: рЛ 2а — Я 2Ь а — Л Так как напряжения ~т„,'* и ю~ имеют общий знак, то рН 2а — Я 2Л а — Л (10.7) В частном случае, при а = О, тор обращается в сферу и выражение (10.7) совпадает с выражением (10.3), полученным для сферы. При а = оо тор обращается в цилиндр. Тогда выражение (10.7) совпадает с выражением (10.4). При а = Я периметр внутреннего круга обращается в нуль и 10.3. Изгиб круглых симметрично нагруженных пластин 406 Выше было рассмотрено растяжение оболочки, не связанное с ее изгибом.
Теперь рассмотрим случай изгиба, не связанного с растяжением. Удобнее всего это сделать на примере изгиба пластин. Теория изгиба пластин представляет собой детально разработанный раздел прикладной теории упругости. Ниже мы остановимся только на простейших задачах этого раздела. Под действием внешних сил, перпендикулярных к срединной плоскости, пластина меняет свою кривизну. Это изменение кривизны происходит, как правило, одновременно в двух плоскостях, в результате чего образуется некоторая слабо изогнутая поверхность двоякой кривизны, так называемая уиругая поверхностпь.
Форма упругой поверхности характеризуется законом изменения прогибов пластины. При расчете пластин считают, что прогиб ш существенно меньше толщины пластины Й. Именно в этом предположении можно изгиб пластины рассматривать независимо от растяжения. Пластины, удовлетворяющие этому условию, называют иногда тонкими т~литами. Пластины, прогибы которых соизмеримы с толщиной, рассчитывают с учетом растяжения срединной поверхности. Теория изгиба пластин и оболочек основана на некоторых упрощающих предположениях. Первым из них является предположение о неиэменности нормали, или так называемая гинотпеза Кирхеофа.
Принимается, что точки, расположенные на некоторой прямой, нормальной к срединной поверхности до деформации, после деформации снова образуют прямую, нормальную к деформированной поверхности. Такое предположение, как и гипотеза плоских сечений стержня, выражает тот факт, что угловыми деформациям оболочек можно пренебречь по сравнению с угловыми перемещениями. Это приемлемо в той мере, в какой толщина пластины мала по сравнению с другими ее размерами. Будем, далее, считать, что нормальные напряжения в сечениях, параллельных срединной плоскости, пренебрежимо малы по сравнению с изгибными напряжениями, т.е. нада- вливание между слоями пластины отсутствует.
Аналогичное допущение принимали ранее при выводе формул поперечного изгиба стержня и при исследовании напряженного состояния оболочек по беэмоментной теории. Перейдем теперь к определению напряжений в круглых пластинах. Рассмотрим пластину, имеющую постоянную толщину Й, нагруженную силами, симметрично расположенными 407 Рис.
10.17 относительно оси пластины к (рис. 10.16). Деформации, перемещения и напряжения, возникающие в пластине, будут также симметричны относительно оси к. Прогиб пластины обозначим через и, а угол поворота нормали — через д (рис. 10.17).
Величины ш и д являются функциями только радиуса т и связаны между собой очевидным соотношением (10.8) л(д+ Нд) — лд = ланд. Относительное удлинение будет Ыд Е =Л вЂ”. Йт Относительное удлинение в точке С в направлении, перпендикулярном к плоскости чертежа, ыожет быть найдено иэ (10.9) 408 Знак минус берется в соответствии со схемой прогиба, показанной на рис.
10.17. С уменьшением прогиба ю угол д возрастает. Впрочем, этот знак не является принципиальным и определяется только направлением прогиба. На рис. 10.18 показано осевое сечение пластины. Точки, расположенные на нормали А1В1, после изгиба пластины образуют нормаль А'В', повернутую на угол д. Нормаль А~В2 повернется на угол д + Ю. Отрезок СЮ, расположенный на расстоянии л от срединной поверхности и имеющий радиальное направление, получает удлинение в, Рис.
10.18 Рис. 10.19 сравнения длины соответствующей окружности до и после деформации. До изгиба пластины длина окружности, проходящей через точку С, была равна 2хт, а после изгиба — 2т (т+хд). Следовательно, относительное окружное удлинение д е~ = х —. (10.10) т Двумя осевыми сечениями, проведенными под углом Ыу одно к другому, и двумя цилиндрическими поверхностями с радиусами т и т+ Йт (см. рис.
10.16) выделим из пластины элементарную призму, показанную на рис. 10.19. Поскольку в сечениях, параллельных срединной плоскости, нормальные напряжения отсутствуют, связь между удлинениями и напряжениями определяется законом Гука в следующем виде: 1 1 ет — (бт ~10~) ~ е~ = (01 габт). Если выразить напряжения через деформации, то получим Е Я а„= (е„+ ие~)> о~ = (е~ + ие,), (10.11) 1 — ц, ,г или, согласно выражениям (10.9) и (10.10), Ег Ыд д Ея д И (7т = ~ — + р —; о~ = — + ~и — . (10.12) 1 — ~Р йт т ' 1 — р~ т йт 409 На гранях призмы (см.
рис. 10.19) возможно возникновение не только нормальных, но и касательных напряжений. Из условий симметрии, очевидно, они могут возникать только на площадках, перпендикулярных к радиусу т и только в вертикальном направлении. Рассмотрим теперь условия равновесия выделенной призмы. Лля этого найдем сначала равнодействующие силы на гранях элемента.
На грани А1В1А' В' (см. рис. 10.19) касательные напряжения дают равнодействующую поперечную силу, направленную по оси л. Силу, приходящуюся на единицу дуги тсср, обозначим через Я. Поперечная сила на грани Л1В1А' В' будет Ят~6р, а на грани А2В2А' В' будет равна (Я + сЦ) (т + Ит) ~бр (рис. 10.20). (Лт+ Ж~т~'г+ Рис. 10.20 Поскольку напряжения в верхних и нижних слоях одинаковы, но различны по знаку ~см. формулы (10.12)), нормальные силы на гранях элемента отсутствуют. Нормальные напряжения с, и с~ на соответствующих гранях приводятся к равнодействующим моментам в вертикальных плоскостях. Интенсивность моментов, возникающих на гранях А1В1А',В', и А1В1АгВ2, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
