Феодосьев В.И. Сопротивление материалов (1075903), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Рис. В.4 Под вмутрениими, или взаимкыми, связями понимаются ограничения, накладываемые на взаимные смещения элементов рамы. Здесь также можно говорить как о необходимых, так и о дополнительных связях. Например, плоская рама, показанная на рис. 6.5, а, имеет необходимое количество как внешних, так и внутренних связей между элементами.
Рис. В.5 2В2 Это — кинематически неизменяемая система. Если будут зада ны внешние силы, мы сможем при помощи уравнений статики найти как реакпии опор, так и внутренние силовые факторы в любом поперечном сечении рамы. В той же раме, показанной на рис. 6.5, б, кроме внешних наложены две дополнительные внутренние связи, запрещающие взаимное вертикальное н горизонтальное смещения точек А и Н. Система в данном случае дважды статически неопределима (иногда добавляют: внутренним образом). Рис.
В.В В раме, показанной на рис. 6.4, а и б, также имеются внутренние дополнительные связи. Контур рамы полностью замкнут. Разрезая его в любом сечении (рис. 6.6), мы, не нарушая кинематической неизменяемости, получаем возможность при заданных силах найти внутренние силовые факторы в каждом сечении рамы. Следовательно, разрезая замкнутую раму, мы снимаем дополнительные связи, т.е. позволяем сечениям А и В поворачиваться и смещаться в двух направлениях одно относительно другого. Обобщая, можно сказать, что замкнутый плоский контур имеет три дополнительные взаимные связи, т.е. трижды статически неопределим.
Таким образом, рама, показанная на рис. 6.4, а, трижды статически неопределима, а рама, представленная на рис. 6.4, б, пять раз статически неопределима (три раза внутренним образом и два раза — внешним). Рассмотрим теперь несколько примеров определения степени статической неопределимости стержневых и рамных систем. На рис. 6.7, а-и показано несколько рам.
Последовательно рассмотрим их. а. Рама имеет четыре дополнительные внешние связи и три внутренние связи, т.е. семь раз статически неопределима. б. Полагаем сначала, что шарнир А отсутствует. Тогда имеются две внешние и три внутренние дополнительные Рис. 8.7 связи. Система без шарнира А была бы пять раз статически неопределимой. 111арнир А принадлежит одновременно трем стержням. Его можно рассматривать как два совпавших шарнира (рис. 6.8). Так как каждый шарнир снимает одну связь, т.е.
разрешает поворот одного сечения относительно другого, то можно сказать, что шарнир А снимает две связи. Система становится, таким образом, вместо пяти — три раза статически неопределимой. Рис. 6.8 Обобщая сказанное, можно сделать вывод, что шарнир снимает число связей, на единицу меньшее числа сходящихся в нем стержней. В данном случае в шарнире А сходятся три стержня, и шарнир снимает две связи. 284 в. Если бы шарнир А отсутствовал, система была бы статически неопределимой четыре раза внешним образом и три раза внутренним образом, т.е.
всего семь раз. Шарнир А снимает число связей, на единицу меньшее числа сходящихся в нем стержней, т.е. три связи. Рама четыре раза статически неопределима. г. Рама три раза статически неопределима. д. Внешние связи не удовлетворяют условиям кинематической неизменяемости. Это — механизм, точнее говоря, мгновенный механизм. Система имеет возможность поворачиваться относительно верхней опоры как жесткое целое.
Понятно, что угол поворота будет небольшим. Нижняя связь заклинится и будет достигнуто какое-то положение равновесия, но новое положение связей будет зависеть от жесткости системы. К раме неприменимы основные принципы сопротивления материалов: принцип неизменности начальных размеров и принцип независимости пействия сил. е. Рама — пространственная. Имеется шесть дополнительных внешних связей (лишняя заделка) к шесть дополнительных взаимных связей (замкнутый контур). Система 12 раз статически неопрепелнма. ж.
Система семь раз статически неопределима (один раз внешним образом и шесть раз — внутренним). з. Здесь для плоской рамы не показаны внешние связи, но пана система внешних сил, удовлетворяющая условиям равновесия. В таком случае условились считать,что дополнительных внешних связей нет и положение рамы в пространстве определено, поэтому рассматривают только внутренние связи.
Система три раза статически неопределима. и. Здесь также рассматривают только внутренние связи, поскольку система внешних сил удовлетворяет условиям равновесия. Нужно подсчитать, сколько сечений необходимо сделать в раме, чтобы, с одной стороны, она не "рассыпалась", а с другой — чтобы в ней не осталось ни одного замкнутого контура. Таких сечений следует сделать нять (см. рис. 6,7, и). Система ЗО раз статически неопределнма. В.2. Метод сил. Выбор основной системы Наиболее широко применяемым в машиностроении общим методом раскрытия статической неопределимости стержневых и рамных систем является метод сил. Он заключается в том, что заданную статически неопределимую систему освобождают от дополнительных связей как внешних, так и взаимных, а их действие заменяют силами и моментами. Значения этих сил и моментов подбирают так, чтобы перемещения соответствовали тем ограничениям, которые накладывают на систему отброшенные связи.
Таким образом, при указанном способе раскрытия статической неопределимости неизвестными оказываются силы. Отсюда и название "метод сил". Такой прием не является единственно возможным. В строительной механике широко применяют и другие методы, например метод перемещений, в котором за неизвестные принимают не силовые факторы, а перемещения в элементах стержневой системы. Итак, раскрытие статической неопределимости любой рамы методом сил начинается с отбрасывания дополнительных связеи. Система, освобожденная от дополнительных связей, становится статически определимой. Она носит название основной системы.
Для каждой статически неопределимой стержневой системы можно подобрать, как правило, сколько угодно основных систем. Например, для рамы, показанной на рис. 6.9, а, можно предложить основные системы б-е, которые получены путем отбрасывания семи дополнительных связей в различных комбинациях. Вместе с тем нужно помнить, что не всякая система с семью отброшенными связями может быть принята как основная. На рис. 6.10 показано три примера для той же рамы, в которой также отброшено семь связей, однако сделано это неправильно, так как оставшиеся связи не обеспечивают кинематической неизменяемости системы, с одной стороны, и статическои определимости во всех узлах — с другой.
После того как дополнительные связи отброшены и система превращена в статически определимую, необходимо, как уже говорилось, ввести вместо связей неизвестные силовые факторы. В тех сечениях, где запрещены линейные перемещения, вводят силы. Там, где запрещены угловые смещения, Зев Рис. 6.10 вводят моменты. Как в том, так и в другом случае неизвестные силовые факторы будем обозначать Х,, где 1 — номер неизвестного. Наибольшее значение ~ равно степени статической неопределимости системы. Заметим, что для внутренних связей силы Х, являются взаимными.
Если в каком-либо сечении рама разрезана, то равны и противоположные силы и моменты прикладывают как к правой, так и к левой частям системы. На рис. 6.11 показано пять возможных способов приложения неизвестных сил, соответствующих задающей основной системе. Иринцип приложения неизвестных силовых факторов становится понятным беэ дальнейших пояснений.
х, 3пбсинвя сиапюмк ХГ х, Рис, 6,11 Теперь остается составить уравнения для определения неизвестных. 6.3. Канонические уравнения метода сил Обратимся к конкретному примеру. Рассмотрим систему, представленную на рис. 6.12. Тем, что рассматривается конкретная семь раз статически неопределимая система, общность рассуждений не будет нарушена. Перейдем теперь к составлению уравнений для определения неизвестных силовых факторов.
Условимся через б;~ обозначать взаимное смещение точек системы. Первый индекс при б соответствует направлению перемещения, а второй — силе, вызвавшей это перемещение. В рассматриваемой раме в точке А отброшена опора. Следовательно, горизонтальное перемещение здесь равно нулю и можно записать: 288 Рис. В.12 Индекс 1 означает, что речь идет о перемещении по направлению силы Х1, а индекс (Х1, Х2,..., Р) показывает, что перемещение определяется суммой всех сил, как заданных, так и неизвестных.
Аналогично можно записать: 62(х,,х,,...,р) = О 0а(х,,х,,...,р) = О и тд. Так как под величиной б;~ понимается взаимное смещение точек, то 02 обозначает вертикальное смещение точки В относительно С, бз — горизонтальное взаимное смещение тех же точек, 0,1 — взаимное угловое смещение сечений В и С.
Угловым смещением в рассматриваемой системе будет также 07(х,,х,,..., р) ° В точках А и й смещения 0,1 являются абсолютными. Но абсолютные смещения можно рассматривать как смещения, взаимные с неподвижными отброшенными опорами. Поэтому принятые обозначения приемлемы для всех сечений системы. Пользуясь принципом независимости действия сил, раскроем выражения для перемещений б;~х, х р). 01(х,, х~, ..., р) = 01х~ + 01х~ + 01хз + 01х.~ + 01х~ + 01хб + 01хр + 01р = О) 02 (х,, хр, ..., р) = — 02х, + 02х~ + 02хз + 02х,, + 02х~ + 02х6 + 02х7 + 02Р = О. Аналогичным образом запишем и остальные пять уравнений: каждое из слагаемых 0;х, входящих в уравнение, обозначает 3 ~) перемещение в направлении силы, указанной в первом индексе, и под действием силы, стоящей во втором индексе. Поскольку 269 каждое перемещение пропорционально соответствующей силе, б;х, можно записать в следующем виде: б;х~ — — б;ьХь.
(6.1) Что касается перемещений б1р, бгр и т. д., то под Р в индексе будем понимать не просто внешнюю силу Р, а вообще систему внешних сил, которая может быть произвольной. Поэтому величины б1 р, бгр,... в уравнениях оставим неизменными. Теперь уравнения примут вид б11Х1 + б1г Хг + б1з Хз + б14Х4 + б15Х5+ +б1бХб + б1тХт + б1р = 01 бг1Х1 + бгг Хг + бгз Хз + бг4 Х4 + бг5Х5+ +бгбХв + бгтХт + бгр — — О; (6.2) бт1Х1 + бтг Хг + бтз Хз + бт4Х4 + бт5Х5+ +бтб Х6 + бттХт + бтр = О. Эти уравнения носят название какокических уравкекий метода сил. Число их равно степени статической неопределимости системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
