Феодосьев В.И. Сопротивление материалов (1075903), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Рис. 5.8 Вместе с тем возможны такие случаи, в которых рассматриваемые слагаемые оказываются величинами одного порядка. Например, для нецентрально-растянутого стержня, показанного на рис. 5.6, энергия растяжения и энергия изгиба являются Рис. 5.7 величинами одного порядка. При нагружении пластины, склеенной из двух металлических листов с пенопластовым заполнителем (рис. 5,7), энергия сдвига в заполнителе может оказаться соизмеримой с энергией изгиба. 5.2. Теорема Кастилиано В основу определения перемещений стержня может быть положена теорема Кастилиано: частная производная от потенииальной энергии системы по силе равна пере иещению точки приложения силы по направлению этой силы. Высказанная формулировка требует пояснения.
Условимся под перемещением в заданном направлении понимать проекцию полного перемещения на заданное направление. Поэтому перемещение точки приложения силы по направлению силы надо понимать как проекцию на направление силы полного перемещения этой точки.
Рис. 5.8 Рассмотрим упругое тело, нагруженное произвольной системой сил и закрепленное тем нли иным способом, но так, чтобы были исключены его смещения как жесткого целого (рис. 5.8). Пусть потенциальная энергия деформации, накопленная в объеме тела в результате работы внешних сил, равна 231 У и выражена через силы. Одной из сил, например силе Ри, дадим приращение ЫРи, Тогда потенциальная энергия У по- дУ лучит приращение — ЙРи и примет вид дРи дУ У + — ~Ри. дРи Изменим теперь порядок приложения сил. Приложим сначала к упругому телу силу АРи. В точке приложения этой силы возникнет соответственно малое перемещение, проекция которого на направление силы йРи равна Юи.
Тогда работа силы ЫРи оказывается равной АРиМи/2. Теперь приложим всю систему внешних сил. При отсутствии силы ЫРи потенциальная энергия системы снова приняла бы значение У. Но теперь эта энергия изменится на величину дополнительной работы йРи6и, которую совершит сила 6Ри на перемещении 6и, вызванном всей системой внешних сил.
Величина 6и опять представляет собой проекцию полного перемещения на направление силы Р„. Перец произведением ЙРи6и множитель 1/2 отсутствует, поскольку на пути 6и сила ЙРи остается неизменной. В итоге при обратной последовательности приложения сил выражение для потенциальной энергии получаем в виде ~ + ~Риби + — ~РтА6и. 1 2 (5.5) Приравниваем это выражение выражению (5.4) и, отбрасывал произведение ИРий6и/2 как величину высшего порядка малости, находим дУ дРи (5.6) Следовательно, дифференцируя потенциальную энергию по одной из внешних сил (при прочих неизменных силах), находим перемещение точки приложения этой силы по направлению силы.
Если еще раз внимательно рассмотреть вывод, то легко установить, что в выражении (5.6) силу Ри можно трактовать как обобщенную, т.е. как некоторый силовой фактор. Тогда Ои следует рассматривать как обобщенное перемещение, т.е. как такой геометрический параметр, на котором обобщенная сила Р„совершает работу. Например, если под Р„понимать внешний момент Й1 (см. рис. 5.8), то б„представляет собой угловое перемещение в точке приложения момента по направлению момента, Если тело нагружено силами гидростатического давления, то, дифференцируя потенциальную энергию по давлению, получаем изменение объема тела. При доказательстве теоремы Кастклиано мы не накладывали ограничений ни на форму тела, ни на систему внешних сил. Мало того, мы не ставили даже вопрос о том, подчиняется или нет материал закону Гука.
Однако в скрытой форме эти ограничения все же присутствуют. Если зависимость между силами и перемещениями нелинейна, то работа, совершенная системой внешних сил, зависит от того, приложена эта система до или после силы ЫР„, Иначе говоря, слагаемые У в выражениях (5.4) и (5.5) различны, и теорема Кастилиано становится несправедливой. В подавляющем большинстве задач, с которыми приходится сталкиваться на практике, зависимость между силами и перемещениями является линейнок, и к решению таких задач теорема Кастилиано полностью применима.
Исключение составляют системы, к которым не может быть применен принцип неизменности начальных размеров и принцип независимости действия скл. Примеры таких систем были приведены ранее (см. ~ Вб). При определении перемещений в таких системах пользоваться теоремой Кастилиано в том виде, в каком это делалось здесь, недопустимо. 3 случае нелинейной зависимости между силами и перемещениями используют более общие энергетические соотношения, выведенные на основе принципа возможных перемещений. Более общую формулировку получает и теорема Кастилиано, которая в этом случае трактуется как теорема о минимуме так называемой дополнительной работы.
Рассмотрим простейшие примеры определения перемещений при помощи теоремы Кастилиано. гзз П р и м е р 5.1. Определить прм помощм теоремы Кастилиано угол поворота правого торца стержня (рис. 5.9), нагруженного моментом ЯИ. Ркс. 5.9 Внутренняя потенциальная энергия стержня н крученмм, соглас- 1 ( М2нг но выражению (5.3), равна У = ( . Так как М, = Щ а жесткость / 2С1, ' о й1з! предполагается неизменной, то У = . дифференцируя по Щ нахо- 2С.7, ЭУ йИ дим у = =, что совпадает с известным выражением для угла к закручивания.
П р и м е р 5.2. Определить прогиб консоли (рмс. 5.10), нагруженной на конце силой Р. Рис. 5.10 ! / М~Иг Потенциальная энергия стержня при изгибе У = / ' . На рас- / 2ЕА о стоянии г от конца Ме = -Рг. При постоянной жесткости ЕЬ получаем рз 13 ЭЦ Р1з У = . Перемещение точки приложения силы Р6 = — = БЕЛ~ ЭР 3ЕАя ' Это значение прогиба уже было получено ранее методом интегрирования упругой линии стержня. П р и м е р 5.3. Определить вертикальное перемещение точки А для конструкции, показанной на рмс. 5.11. Жесткости стержней одинаковы и равны ЕГ.
Если не пользоваться теоремой Кастилиано, то такую задачу решить было бы довольно трудно. Нужно было бы найти удлинения всех стержней, а затем путем геометрических преобразований устаиовмть положение 234 узлов деформированной фермы. Такой способ решения привел бы, несомненно, х громоздким выкладкам. При помощи теоремы Кастклкако эта задача решается несравненно проще.
Рис. 5.11 Сначала методом вырезания узлов находим усилия в каждом стержне и полученные значения Ф сводим в таблицу Далее определяем значение потенциальной энергии для каждого ~г~. стержня Ц = ' и заполняем последний столбец этой таблицы. Суммируя, находим рг~ и = (7+ 4~Гг). Искомое перемещение точки А равно 6,~ — — — —— (7 + 41/2). дУ Р1 дР ЕР 5.3. Интеграл Мора Определение перемещений при помощи теоремы Кастилиано, как можно было убедиться на примерах, обладает тем очевидным недостатком, что дает возможность нактк перемещения только точек приложения внешних сил и только в направлении этих сил. На практике же возникает необходимость определять перемещения любых точек системы в любом направлении.
Выход из указанного затруднения оказывается довольно простым. Если необходимо найти перемещение точки, к которой приложены внешние силы, мы сами прикладываем в этой точке внешнюю силу Ф в интересующем нас направлении. Далее, составляем выражение потенциальной энергии системы с учетом силы Ф. Пифференцируя его по Ф, находим перемещение рассматриваемой точки по направлению приложенной силы Ф.
Теперь остается вспомнить, что на самом деле силы Ф нет, и положить ее равной нулю. Таким образом, можно определить искомое перемещение. Определим перемещение точки А в направлении оси л1 для стержневой системы, показанной на рис. 5.12. Приложим в точке А по направлению х1 силу Ф. Внутренние силовые факторы в каждом поперечном сечении при этом, вообще говоря, изменятся на величины, зависящие от силы Ф. Например, крутящий момент в некотором поперечном сечении будет иметь вид м +м„~, где первое слагаемое представляет собой момент, который возникает под действием заданной системы внешних сил, а второе слагаемое — дополнительный момент, который появляется в результате приложения силы Ф.
Понятно, что и М„р, и М„ф являются функциями я, т.е. изменяются по длине стержня. Аналогично появляются дополнительные слагаемые и у остальных внутренних силовых факторов: М~ = М~р + М~а, Му — Мур + Му4~ и т.д. Совершенно очевидно, что дополнительные силовые факторы Мх~, Мха, ... пропорциональны Ф, Если силу Ф, например, удвоить, удвоятся соответственно и дополнительные силовые факторы. Следовательно, Мк=Мкр+Мк1 Ф' Мх=Мхр+Мх1 Ф1 Му — Мур+Му1 Ф~ (5.7) Ф =Мр+Х1Ф; Ях — — Яхр+Ях1Ф; Яу — — Яу~ +~у1Ф, где М„1, Мх1, ... — некоторые коэффициенты пропорциональ- ности, зависящие от положения рассматриваемого сечения, т.е. переменные по длине стержня.
Если исключить систему внешних сил и заменить силу Ф единичной силой, то М„= М„1, Мх = Мх1 и т. д. Следо- вательно, М„1, Мх1, Му1, М1, Ях1 и Яу1 суть не что иное, как внутренние силовые факторы, возникающие в поперечном сечении под действием единичной силы, приложенной в рас- сматриваемой точке в заданном направлении. Вернемся к выражению энергии ~5.3) и заменим в нем вну- тренние силовые факторы их значениями (5.7). Тогда (М„р+ М„1Ф) ~Ь ((Мхр+ Мх1Ф) ~Ь 20.7к ,/ 2Е.7х ( Мур + Му~Ф) (Ь ( (Мр+ Л1Ф) Н» 2ЕЮу / 2ЕР ! ~х® р+Ю 1Ф) ~» / ~у(Яур+©у1Ф)~ц» 2СГ,/ 20Г дифференцируя это выражение по Ф и полагая после этого Ф = О, находим перемещение точки А: дУ 1 МмрМк1 а» ( МхрМх1 а» / МурМу1 ~Ь вЂ” 1 ( ~*~ ~Юх1~~ / ~Ф~~Я~1~ ЕГ +~ аГ +1 аК Полученные интегралы носят название иктлегралов Мора.
237 Заметим, что интегралы Мора могут быть выведены и без использования теоремы Кастилиано кз простых геометрических соображении. Рассмотрим, например, консоль, показанную на рис. 5.13, и определим перемещение точки А по на- ПРаВЛеНИЮ Л1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
