Феодосьев В.И. Сопротивление материалов (1075903), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Знак "—" указывает на то, что реакции направлеыы в сторону, противоположную прогибу. Подходя к аналогичным системам с более общих позиций, можно вообще представить пружинные опоры как некоторую сплошную упругую среду, обладающую тем свойством, что возникающие с ее стороны реакции подчиняются соотношению (4.22) независимо от физических и конструктивных особенностей основания. Стержень, расположенный на такого рода сплошной деформнруемой среде, носит название стпержнл на упругом основании.
Коэффициент ю называется коэффциентпом упругого основания. В инженерной практике такая расчетная схема получила широкое распространение и используется при анализе многих конструкций. Правда, соотношение (4.22) ые всегда соблюдается, но часто его можно рассматривать как приближенное. Так, оно является почти точным в рассмотренном выше случае большого числа не связаныых упругих опор. Оно будет также точным для плавающего стержня прямоугольного сечения (рис. 4.48, а).
Здесь реакция со стороны жидкости в каждом сечении пропорциональна глубине погружения стержня. В то же время для шпалы (рис. 4.48,6), лежащей ыа упругом грунте, соотношение (4.22) следует рассматривать как приближенное, поскольку реакция в каждом сечении зависит не только от местного прогиба, но и от осадки грунта в соседних точках.
Рис. 4.48 1ч+ 4~4 ( ) Е.7~ (4.23) где 414 = ж/(~.У,) В уравнении (4.23) использовано наиболее распространенное обозначение у вместо и~ для прогибов прямолинейного стержня, лежащего на упругом основании. Решение уравнения (4.23) можно записать в виде у = е ~'(С1 япйл+ С2 соей~)+ +е '(Сз яп Йл + С4 соя /се) + у*, (4.24) где у* — частное решение неоднородного уравнения (4.23). Во многих случаях более предпочтительной оказывается другая форма записи, которая получается из (4.24) простой перегруппировкой слагаемых: у = С1 япй~зЫс~+ С2япй~сЬйл+ +С~ сов йл Й Вл + С4 сов Вл сЫи + у', (4.25) где яЬ йю и сп йл — гиперболические синус и косинус.
Для стержня переменного сечения, лежащего на упругом основании (см. рис. 4.47, 6), в первое уравнение системы (4.20) войдет еще одна распределенная нагрузка д~ — — — ми~. С учетом направления д и О~ имеем й~ — +жи =д. ь Для численного решения уравнения (4.21) число ненулевых элементов в матрице А никакой роли не играет.
Для случая закрепления стержня, показанного на рис. 4.47, а, компоненты вектора Е должны удовлетворять следующим краевым условиям: л = О, и„= О, М = О; г = 1, и~ — — О, М = О. Рассмотрим частный случай, когда сечение стержня постоянно и постоянна изгибная жесткость ЕУ . Конечно, и в этом частном случае для решения можно воспользоваться численным методом, но можно получить и аналитическое решение. Последовательно исключая из системы (4.20) Я, М и д, получаем уравнение четвертого порядка относительно у (и„= у): 204 Если функция у определена, то, согласно выражениям (4.19), без труда можно определить изгибающие моменты и поперечные силы. П р н м е р 4.11.
Деревянный стержень прямоугольного поперечного сечения (рнс. 4.49) плавает на воде. К стержню в середине приложена сосредоточенная сила Р. Определить наибольший изгибающий момент в предположении, что сила Р не очень велика и стержень ею не затапливается. Рис. 4.49 Если в каком-то сечении балка сместится вниз на расстояние у, давление со стороны воды увеличится на ту, где у — плотность воды. Интенсивность снл реакции будет яз —— -лбу, где 6 — ширина прямоугольного сечения. Следовательно, Ю = уд, и, согласно выражению (4.23), (4.2Б) Собственный вес стержня уравновешивается реакцией жидкости, поэтому полагаем в уравнении (4.23) д = О.
Тогда под величиной у следует понимать смешение, отсчитываемое от равновесного положения стержня, которое тот занимает прн Р = О. Так как у' = О, получаем, согласно (4.25), у = С1 з1 и й г з Ь й г + Сз в1 и й в сЬ йв + Сз сов й в вЬ йв + С4 соа й г сЬ й в. Последовательно дифференцируя это выражение, находим у' = (С1 — Сз) йа1п йввЬ йг+ (С1 — С~) йв1п йвсЬйг+ +(С1 + С~ ) й сов йя вЬ йя + (Сг + Сз) й соа йя сЬ йг; у" = 2С1й соайгсЬйг+2Сзй совйгвЬйг— — 2Сзй~ в1п йз сЬ йв — 2С~ й з1п йя зЬ йг; у'" = 2(Сз — Сз) й сов йгсЬйв+ 2(С1 — С~) й сов йгвЬйгв — 2(С1 + С~) й в1пйвсЬ йг — 2 (Сз + Сз) йз з1п йгаЬ й~. Выберем начало отсчета я в точке приложения силы Р.
При я = О по условию симметрии у = О, а поперечная сила справа от среднего сечения 205 равна — Р)2. Следовательно, ЕЛу"'~я е = -Р(2 при х = 3> М = ЕЛу" = = О и Я = ЕЛу'" = О. Таким образом, получаем четыре уравнения для определения констант С1, Сз, Сз н Са..
Р С2 + Сэ — О> Сз — Сз = — ЕЛйз > 4 С1 сов И сЬ И + Сз соз И вЬ И вЂ” Сз вгп И сЬ И вЂ” Са в1п И сЬ И = О; С1 (соз И зЬ И вЂ” з1п И сЬ И) + Сз (сов И сЬ И вЂ” в1п И вЬ И)+ +Сз( — сов ИсЬ И вЂ” в1п ИвЬ И)+ +С~ (- сов ИвЬ И вЂ” в1п И сЬ И) = О, откуда Р вЬ~ И + в1п~ И ВЕЛйз зЬИсЬИ+в1пИсовИ' Р Р Сз= — —, Сз= ВЕЛйз ВЕЛйз Р сЬ~ И+сов И ВЕЛИ вЬИсЬИ+ в1пЫсовй!' Изгибающий момент в стержне определяем через вторую производную функции у по формуле М = ЕЛд", или Р вЬз И+ в1пз И М вЂ” — . сов йх сЬ йх — сов йх вЬ йх— 4й вЬ И сЬ И+ з1п Исоа И сЬз И + совз И вЂ” в1п йхсЬ йх+ .
в1п йхвЬйх зЬ И сЬ И + в1п И сов И Наибольший изгибающий момент имеет место при х = О: Р вЬ' й! + в1п' И 4й зЬ И сЬ И + в1п И соз И С увеличением длины ! изгибающий момент растет, но не беспредельно. Прн очень большой длине Мп>~„= Р(4й, где й определяем по формуле (4.26). Вид эпюры изгибающих моментов меняется в зависимости от длины Р.
При малой длине энюра имеет внд кривой, показанной на рис. 4.49. Для более длинной балки эпюра изгибающего момента меняет знак и принимает вид кривых, показанных на рис. 4.50. Рис. 4.50 4.8. Косой изгиб как нам уже и эвестно понимается таПод косым изгибом, ь изгибающего момен- котором плоскость иэги нее кои " случай изгиба, при к р ной осью сечения. . Косой изгиб удобне та не совпадает с главной о ать как одн а дновременныи из згиб в двух главщии всего рассматрива ис. 4.51).
Для этого иэгибающ ных плоскос скостях гОх и хОу (рис. 4. ). М Рис. 4.51 оставляющие моменты относи- момент М раск М ладывается на соста тельно осей х и у: = Мппа; М~ — — с сои а. я еющей координаты х яжение в точке, им Нормальное напря б словленных моменой нап яжении, о ус и у,опр еделяется суммой р тами М и М~, М те. (4.27) М~у М~х о= — + —, = М вЂ” 8'1па+ — сова о= чке сечения отложить по норСледовательно, есл и в каждой точке се ов как и при простом из згибе мали вектор о, то концы векторов, как и альной линии в се чении . У авнение неитр о р б азуют плоскость. р найдем, полагая о=0: или (4.28) У, у = -х — сна. Легко установить, что при косом изгибе нейтральная линия не перпендикулярна к плоскости изгибающего момента.
Действительно, угловой коэффициент Й1 следа плоскости момента (см. рис. 4.51, о) представляет собой тангенс угла а: Угловой же коэффициент нейтральной линии (см. формулу (4.28)) равен й2 = — — с1Ка. М у1 Мх1 с — + гпах— ,7 Х У (4.29) Когда сечение имеет простую форму (круг, прямоугольник), наиболее опасная точка может быть определена сразу. В случае сложной формы сечения удобно прибегать к графическому методу. Для этого сечение вычерчивают в масштабе и проводят главные оси х и у. Затем, согласно формуле (4.28), получаем уравнение и, строим нейтральную линию. При помощи линейки и угольника (рис.
4.52) определяют точку, наиболее удаленную от нейтральной линии, а ее координаты х1, у1 определяют непосредственно с чертежа. 208 Так как в общем случае,7~ ф 1~, то условие перпендикулярности прямых, известное из аналитической геометрии, не соблюдается, поскольку Й1 ф — 1/й~. Стержень, образно выражаясь, "предпочитает" изгибаться не в плоскости изгибающего момента, а в некоторой другой плоскости, где жесткость на изгиб будет меньше. Поэтому нейтральная линия не перпендикулярна плоскости момента, а несколько повернута в сторону оси минимального момента инерции (см. рис. 4.51, б). Так как эпюра нормальных напряжений в сечении линейна, то максимальное напряжение возникает в точке, наиболее удаленной от нейтральной линии.
Пусть координаты этой точки будут х1, у1. Тогда, согласно выражению (4.27), получаем Рис. 4Л2 Рис. 4.53 П р и м е р 4.12. Балка равнобокого уголкового профиля (рис. 4.53), защемленная одним концом, находится под действием собственного веса. Требуется определить наибольшее напряжение в заделке. Длина балки 1 = 3 м, профиль Ха 10, толщина стенок профиля 6 = 10 мм.
По таблицам стандартных профилей (см. приложение) определяем массу балки на единицу длины — 15,1 кг/м. Отсюда д = 1,48 Н/см. По формуле М = д1 /2 находим наибольший изгибающий момент: М = ббб00 Н см. Плоскость этого момента параллельна стороне уголка и составляет с главными осями угол а = 45'. Вычерчиваем в масштабе поперечное сечение (рнс. 4.54) и проводим главные центральные оси я и у. Рис. 4.54 Из таблиц сортамента находим 1я — — ./ „= 284 см', /у 1;„= 74, 1 см~. Согласно формуле (4.27), получаем уравнение 209 нейтральной линии 284 у = — я сй845' = -3,83я.
74,1 Проводим эту прямую, и определяем наиболее удаленную от иее точку А (см. рис. 4.54). Координаты этой точки будут я~ — — 3,6 см, у~ = — 6,4 см; Мт — — Мя = М = 47090 Н-см. По формуле (4.29) опре~Гг деляем 47090 Б,4 284 47090 3, Б 74, 1 П р и м е р 4.13. Лвухопорная балка (рис. 4.55, о) нагружена силами Р н 2Р. Определить наибольшее напряжение, если сечение балки— прямоугольник со сторонами 6 и 26 (рис.
4.55, 6). Рис. 4.55 В данном случае внешние силы приложены по главным осям сечения н удобнее всего рассмотреть раздельно эпюры изгибающих моментов от одной и от другой силы. Наиболее опаснымн будут точки, расположенные на ребре АВ, где суммируются наибольшие сжимающие напряжения, или на ребре СР, где суммируются наибольшие растягивающие напряжения. Рассмотрим средний участок.
На расстоянии г от левой опоры 2Р Р (рнс. 4.55, в) имеем М, = — (3! — г); Мя —— — г. Лля точки ребра СР 2Р31 — я Р г И'„ 210 Так как Ж~ = 6126) /Б и И'к — — 266~/6, то для средиего участка е„„„ оказывается не зависящим от я и равиым ЭР1/6 . На первом и третьем з участках налряжеиия будут меиьшими. 4.9. Внецентренное растяжение — сжатие При внецентренном растяжении равнодействующая внешних сил не совпадает с осью стержня, как нри обычном растяжении, а смещена относительно оси л и остается ей параллельной (рис. 4.56), Пусть точка А приложения равнодействующей внешних сил имеет в сечении координаты хО и УО (см. рис. 4.56).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
