Феодосьев В.И. Сопротивление материалов (1075903), страница 24
Текст из файла (страница 24)
4.25). Поэтому при взаимном повороте двух смежных сечений удлинение продольного волокна АВ будет одним и тем же, независимо от того, осталось сечение плоским илк нет (А'В' = А" В"). При поперечной силе, иэменяющекся вдоль оси стержня, формулы чистого изгиба дают для о некоторую погрешность. Путем несложного анализа можно показать, что эта погрешность имеет порядок Ь/1 по сравнению с единицей, где Ь вЂ” размер поперечного сечения в плоскости изгиба; ! — длина стержня.
По определению, данному в ~ В2, характерной особенностью стержня является то, что размеры его поперечного сечения много меньше длины. Следовательно, отношение Ь/1 относительно мало и соответственно малой оказывается указанная погрешность. Все сказанное дает основание принять гипотезу плоских сечений. Будем в дальнейшем считать, что совокупность точек, образующих плоскость поперечного сечения до изгиба, образует и после изгиба плоскость, повернутую в пространстве. Это предположение приемлемо в той мере, в какой угловые деформации 7 в сечении можно считать существенно меньшими, чем угловые перемещения, обусловленные изменением кривизны. Особенностью поперечного изгиба является также наличие нормальных напряжений, возникающих в продольных сечениях бруса, т.е.
напряжений между слоями. Эти напряжения возникают только прк переменной поперечной силе Я и весьма малы1. Таким образом, в пределах указанных допущений формулы (4.6) и (4.8), выведенные для определения нормальных напряжений, применимы не только при чистом изгкбе, но и при поперечном. В такой же мере применима и формула (4.5), дающая зависимость кривкзны стержня от изгкбающего момента. Теперь определим приближенно касательные напряжения г при поперечном изгибе. Вычислить эти напряжения проще всего через парные им касательные напряжения, возникающие в продольных сечениях стержня.
Выделим из бруса элемент длиной И» (рис. 4.26, а). При поперечном изгибе моменты, возникающие в левом и правом сечениях элемента, не одинаковы и отличаются на аМ. Продольным горизонтальным сечением, проведенным на расстоянии у от нейтрального слоя (рис.4.26,6), разделим элемент на две частк и рассмотрим условия равновесия верхней части. Равнодействующая нормальных сил о.ЫГ в левом сечении в пределах заштрихованной площади Г' равна, очевидно, Ж* = гсУ; ~,» или, согласно формуле (4.6), М Ф' = — У1НГ, А, 1 Особые области, в зоне которых лриложены сосредоточенные силы, не рассматриваются.
179 где через у1 обозначена в отличие от у текущая ордината пло- щадки ЫГ (см. рис. 4.26,б). Полученный интеграл представля- ет собой статический момент относительно оси х части пло- щади, расположенной выше продольного сечения (выше уров- ня у). Обозначим этот статический момент через 5'. Тогда МЯ; — 1, В правом сечении нормальная сила будет другой: (М+ НМ)5,' Ю'+ И' = У, Разность этих сил ИМЯ,* — 1, должна уравновешиваться касательными силами, возникающими в продольном сечении элемента (см. рис. 4.26, б и в).
В качестве первого приближения примем, что касательные напряжения распределены по ширине сечения Ь равномерно. Тогда ИМЯ," * = тЬИл, 1, откуда (4.12) ЯЯ,* ,7 Ь Полученная формула носит название формулы Журавского, по имени русского ученого прошлого века, который впервые провел общее исследование касательных напряжений при поперечном изгибе. Выражение (4.12) позволяет вычислить касательные напряжения, возникающие в продольных сечениях стержня.
Напряжения, образующиеся в поперечных сечениях стержня равны им, как парные. Зависимость т от у в сечении определяется через статический момент 5'. При подходе к верхней кромке сечения площадь его заштрихованной части (см. рис. 4.26, 6) уменьшается до нуля. Здесь, следовательно, Я' = О. При подходе к нижней кромке заштрихованная часть охватывает все сечение.
Так как ось х — центральная, то и здесь 8' = О. Поэтому касательные напряжения, как это следует иэ формулы (4.12), в верхних и нижних точках сечения равны нулю. У4 МД'~ Хй 4 4' Улм~ Рис. 4.27 Для стержня прямоугольного сечения со сторонами 6 и Ь (рис. 4.27, а) имеем Ь Ь' , ЬЬ' я,' = — — — у'; .к, =, ь = ь. 2 4 12' Следовательно, и эпюра касательных напряжений по высоте сечения изобра- жается квадратной параболой. Наибольшее напряжение имеет место при у = О: Ттиах— 2 6Ь Для стержня круглого сечения (рис.
4.27, б) путем несложной операции интегрирования можно найти у д2 2 Кроме того, д4 ц4 .7 —, о — 2  — у 64 4 откуда 4 Я ттпах = 3 ~гЮ' Для стержня, имеющего сечение в форме треугольника с основанием с и высотой Ь (рис. 4.27, в), Я, Ь Ь у Ь+у, Максимальное напряжение имеет место на расстоянии у = Ь/6 от нейтральной оси: ЗЯ таахв сЬ В двух последних примерах наглядно проявляется приближенный характер производимых операций. Это видно из того, что в поперечном сечении касательные напряжения имеют составляющие не только по оси у, но и по оси х. Действительно, примем, как это делали выше, что для точек А, расположенных у контура сечения (рис. 4.28), касательное напряжение т направлено по оси у.
Разложим вектор т на две составляющие — по нормали к контуру т„и по касательной т~. По условиям нагружения внешняя поверхность стержня свободна от касательных сил. Поэтому напряжения, парные т„, отсутствуют. Следовательно, т„= О, а полное касательное напряжение вблизи контура направлено по касательной к контуру, и предположение о том, что т направлено по оси у, оказывается неверным. Тем самым обнаруживается наличие составляющих т по оси х. Для определения этих составляющих следует прибегнуть к более сложным приемам, нежели 1В2 рассмотренные ранее.
Методами теории упругости можно показать, что в большинстве случаев составляющие т по оси х играют существенно меньшую роль, нежели по оси у. Из рассмотренных выше примеров можно сделать общий вывод, что зона максимальных касательных напряжений расположена приблизительно в средней части высоты сечения, а гп1~„для нетонкостенных сечений имеет значение порядка Я/Г. Можно сопоставить абсолютные величины максимальных нормальных и максимальных касательных напряжений, возникающих в поперечных сечениях стержня. Например, для консоли прямоугольного сечения (рис.
4.29) имеем М 6Р! 3 Р И1 ЬУ' ~~ 2 ЬЬ' откуда ттах Ь стах 41 Это значит, что максимальные касательные напряжения в поперечном сечении относятся к максимальным нормальным напряжениям примерно как высота сечения к длине стержня, т.е. касательные напряжения существенно меньше нормальных. Указанная оценка, с немногочисленными исключениями, сохраняется для всех нетонкостенных стержнеи. Что же касается тонкостенных стержней, то это вопрос особый. В связи с малостью тп,,„расчет на прочность при поперечном изгибе выполняют только по нормальным напряжениям, как и при чистом изгибе. Касательные напряжения во внимание не принимают. Это тем более естественно, что в точках сечения, наиболее удаленных от нейтральной линии, т.е.
в наиболее опасных, касательные напряжения в поперечном сечении равны нулю. Рассматривая качественную сторону явления, следует иметь в виду, что касательные напряжения в поперечных сечениях и парные им напряжения в продольных сечениях, несмотря на свою малость, могут в некоторых случаях существенно повлиять на оценку прочности стержня.
Например, при поперечном изгибе короткого деревянного бруса возможно разрушение не по поперечному сечению в заделке, а скалывание по продольной плоскости, близкой к нейтральному слою, т.е. там, где касательные напряжения максимальны (рис. 4.30). Рис. 4.30 Касательные напряжения в продольных сечениях являются выражением существующей связи между слоями стержня при поперечном изгибе. Если эта связь в некоторых слоях нарушена, характер изгиба стержня меняется. Например, в стержне, составленном из листов (рис.4.31, а), каждый лист при отсутствии сил трения изгибается самостоятельно.
Внешняя сила, приходящаяся на лист, равна Р(п, а наибольшее нормальное напряжение в поперечном сечении листа равно М (Р/и) 1 БР1 и~. (ь/6) ®п)~ ьь~ Если листы плотно стянуть достаточно жесткими болтами (рис. 4.31, о), стержень будет изгибаться как целый. В этом 184 случае наибольшее нормальное напряжение оказывается в и раз меньше, т.е. 6Р! ~так ~у Иными словами, связанный пакет листов способен в первом приближении выдержать нагрузку в и раз большую, чем несвязанный. А 3 3 Рис.
4.31 В поперечных сечениях болтов при изгибе стержня возникают поперечные силы. Наибольшая поперечная сила будет в сечении, совпадающем с нейтральной плоскостью изогнутого стержня (сечение А — А на рис. 4.31, о). Эту силу в первом приближении можно определить из простого равенства сумм поперечных сил в сечениях болтов и продольной равнодействующей касательных напряжений в случае целого стержня ЗР ЗР! / где т — число болтов.
Интересно сопоставить изменение кривизны стержня в заделке в случае связанного и несвязанного пакетов. Согласно формуле (4.5), для связанного пакета 1 М 12Р! яз, кььз' 18б Лля несвязанного пакета 1 М (Р/и)! 12Р1 р Кг. Ю(Ь~12) (ЬУ )3 КЬЬ3 " Пропорционально изменениям кривизны меняются и прогибы. Таким образом, по сравнению с целым стержнем набор свободно сложенных листов оказывается в и раз более гибким г и только в и раз менее прочным. Это различие в коэффициентах снижения жесткости и прочности при переходе к листовому пакету используют иа практике при создании гибких рессорных подвесок. Силы трения между листами повышают жесткость пакета, так как частично восстанавливают касательные силы между слоями стержня, устраненные при переходе к листовому пакету.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
