Феодосьев В.И. Сопротивление материалов (1075903), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Точно так же получаной плоскости р йт ального перпендикуляр 1/ как кривизна ней р ет определенность и р к ивизна р, к зна оси стержня. х слом, м или как кривиз ю определенность в в систему осек х, у, ат О 4 (см. рис. 4. по связаны Ось нап авим жести сечения. совместим с це р же нт ом тяже сь пера ось х по неитр ости из- овательно он мали к сечению, а лежит в плоско лярна оси х, след одвижная систем . Э вЂ” ак называемая по в осеи пространстве пр зны.
Это — так н и пе еходе ой меняется в осей, положение котор гому. се я как от од диого сечения к дру т в поперечном се сечении стержня, И ибающий момент зги ет быть выражен чере з напряжения о". и норм альная сила, может ы | ветх ЫГ = М», оу ЫГ = М~. Г ло Заметим, что в общем случае плоскость изгибающего момента в сечении не совпадает с плоскостью уОл (см. рис. 4.14). Иными словами, изменение кривизны стержня происходит не обязательно в плоскости изгибающего момента. Этот общий случаи изгиба мы рассмотрим несколько позже, а пока ограничимся более простым частным случаем, при котором имеет место совпадение плоскостей момента и кривизны. При указанном условии момент элементарных сил с ЫГ относительно оси у равен нулю,а относительно оси х — полному изгибающему моменту М. Тогда получаем — уюИГ=О; — у НЕ= М.
Е г Р Р (4.4) Первое выражение приводится к виду ,7,„= О. Это значит, что изменение кривизны стержня происходит в плоскости момента в том случае, если последняя проходит через одну иэ главных осей сечения. Такой изгиб называется прямым. В отличие от прямого изгиба общий случай изгиба, при котором плоскость изгибающего момента с главной осью сечения не совпадает, называется косым изгибом. Из выражений (4.4) получаем зависимость кривизны стержня от изгибающего момента: 1 М р Е1,' 171 где 1 — момент инерции сечения относительно главной центральной оси, перпендикулярной плоскости изгибающего момента.
Величина Е3~ называется жесткостлью стержня при изгибе. Как и при кручении, она пропорциональна четвертой степени линейных размеров сечения при пропорциональном их изменении. Возвращаясь к формуле (4.3) и исключая из нее кривизну 1/р, получаем выражение для напряжения о: (7 =— Му (4.6) ,1, ' Рис. 4.15 Максимальное напряжение при изгибе возникает в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии (рис. 4.15): ~у~ах Ошах = Отношение У /у,„ах называется моментом сопротивления сечения при изгибе и обозначается через И~ (иэмеряется всм или мм ): ~х ~х— Упорах (4.7) Таким образом, (4.8) Опта х=И, (4.9) „р4 64 Р „Рз у„,а„= —; И/, = — ~ 0,1Р .
(4.10) 2' 32 Таким образом, напряжения при изгибе обратно пропорциональны третьей степени линейных размеров сечения. Наиболее экономичными являются такие формы поперечных сечений, для которых с наименьшей затратой материала получается наибольший момент сопротивления И'~. Чтобы форма сечения была рациональной, необходимо, очевидно, по 172 Эта формула является основной в расчетах на прочность при изгибе. Лля стержня прямоугольного сечения со сторонами о и Ь ЬЬ~ Ь ЬЬ2 — Ужах = 12' 2 6 Лля стержня круглого сечения возможности распределять площадь сечения подальше от нейтральной оси. Так возникли стандартные двутавровые и корытные тонкостенные профили, показанные на рис. 4.16.
При изгибе в вертикальной плоскости такие профили дают существенную выгоду по сравнению с прочими формами поперечных сечений. Момент сопротивления И' стандартных профилеи вычислен для каждого размера заранее и задан в специальных таблицах. Поэтому при расчете стержня на прочность отпадает необходимость проводить громоздкие вычисления по определению моментов инерции и моментов сопротивления. В приложении приведены таблицы стандартных профилей. Кроме профилей, приведенных в этих таблицах, существуют и другие профили, например, применяемые в самолетостроении и задаваемые специальными стандартами. Рис. 4.17 Рис.
4.16 Энергия упругих деформаций стержня при изгибе определяется работой момента М на взаимном угловом перемещении Ид двух сечений (рис. 4.17): НУ = — МНд. 1 2 Но 173 поэтому М2 дх (4.11) При выводе формул для чистого изгиба прямого стержня не было сделано произвольных допущений и найденное решение в этом смысле можно рассматривать как точное.
Однако следует иметь в виду, что в рассматриваемой задаче не конкретизирован характер распределения внешних сил. Считается только, что во всех случаях эти силы сводятся к равнодеиствующим моментам, приложенным к торцам стержня. Решение будет точным только для случая, если внешние силы на торцах распределены по тому же линейному закону, что и во всех поперечных сечениях. Практически это условие, понятно, никогда не соблюдается, и в окрестности торцевых сечений законы распределения напряжений далеки от тех, которые следуют из теории чистого изгиба. В соответствии с принципом Сен-Венана имеется возможность, однако, краевую зону исключить, как это показано, например, на рис.4.18. Тогда для средней части стержня все выведенные выше формулы сохраняют свою силу и могут рассматриваться как точные. =Ра Рис.
4.18 Рассмотрим некоторые простейшие примеры, связанные с определением напряжений в стержне при чистом изгибе. П р и м е р 4.1. Определить, как выгоднее расположить стержень с квадратным поперечным сечением при изгибе: а) так, чтобы плоскость 174 Расход материала пропорционален площади сечения г г 2 я.р2 г р. Р, р Ф р и 1 4 4 Рг 4 1 =г 1 Процент зкономии материала определяется разностью пло1цадей, отнесенной к площади сплошного круга.
Р1 Рг Рг 2 100 % = 1 — — 0,19 100 %, 1 1 или 100 % = 61 %. Р1 П р и м е р 4.3. На рис. 4.21 показана консоль, нагруженная двумя силами Р. Форма сечения балки Т-образная. Материал — чугун. Спрашивается, как рациональнее расположить сечение: полкой вверх — вариант 1, или вниз — вариант П? Рис. 4.21 Поскольку точка А отстоит от центра тяжести сечения дальше, напряжение в ней по абсолютной величине всегда будет больше, чем в точках В. При указанном направлении сил Р сжатые слои балки располагаются внизу.
Так как чугун на сжатие работает лучше, нежели на растяжение, точку А рациональнее поместить вниз. Следовательно, сечение должно быть расположено полкой вверх, т.е. следует предпочесть вариант 1. П р и м е р 4.4. Лля двухопорной балки (рис. 4.22) подобрать сечение в виде двутаврового профиля, обеспечив при этом двукратный запас прочности при Р = 20 кН, а = 1 м и и, = 300 МПа.
Рис. 4.22 176 ~стого из- участке чисто и момент воз щать ноловины Н ибольщий из не должно р аи Н яжение етап н гиба и равен 300 р1~ > 133 см . о < откуда ~"* ение вы ир б аем дву Следов ательн р~ — 2 см. приложе Иа 18 для которого И~я — — см . я на барабан тавр о аматывается 4.5. роволо н олока диаметром Ы н п яжение изги ба возникающее и г1. Опр делить напряж на авен . и ( Р. ых сечениях проволо ана. 1/р = 2 им в поперечных 4 ) рив его момента, согл оп редел еляя изгибающего мо ~! гу .„ =Š— = отак „возраста- " к ивизне н апряжение ~т~,„воз ьно при п р постоянной р Следов атель н, р п ьно диаметру пров ет пропорционально ия п и поперечном изгибе 4 3.
Напряжения при б ении оперечных сечен- И ЧИСТОМ ИЗГИ евп ия. СоотМы видели, что при мальные напряжения. т только нормальн згибающему е жня возникают иводятся к изги ях стерж ие им внутр еннке силы пр ого изги а б и сечении иетствующи В сл, чае поперечно но и попе- и сечении. сл ий момент, но и 1 олька изгибающ но и 1 ня возникает не тол ляет собой равнодей Э ила представляет ила О. дта си л лежащих в в плоскости в поперечэлементарных распре и этом случае в по ые но и касательные напряжения. У Г Рис. 4.23 177 Возникновение касательных напряжений т сопровождается появлением угловых деформаций 7. Поэтому, кроме основных смещений, свойственных чистому изгибу, каждая элементарная площадка сечения ИГ получает еще некоторые дополнительные угловые смещения, обусловленные сдвигом.
Касательные напряжения распределены по сечению неравномерно, поэтому неравномерно будут распределены и угловые смещения. Это значит, что при поперечном изгибе в отличие от чистого изгиба поперечные сечения не остаются плоскимк. На ркс. 4,24 показана типичная картина искривления поперечных сечений. Рис. 4.24 Рис. 4.25 Однако на значение нормальных напряжений искажение плоскости поперечных сечений заметным образом не сказывается. В частности, если поперечная сила Я не меняется по длине стержня, формулы (4.6) и (4.8), выведенные для случая чистого изгиба, будут давать совершенно точные результаты и в случае поперечного изгиба. Действительно, при Я = соп81 искривление всех сечений происходит одинаково (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
