Феодосьев В.И. Сопротивление материалов (1075903), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Сделаем это путем сопоставления потенциальной энергии, выраженной через напряжение т, с потенциальной энергией, выраженной через внешний момент 9Л. Обратимся к выражению удельной потенциальной энергии при сдвиге (2.3) т~ Уо = Энергия, накопленная в элементарном объеме с размерами Ыл, ~Ь, б, равна 2 ИУ = Ы~й.
137 Произведение ~ОА~Из представляет собой удвоенную площадь треугольника ОВС, а интеграл от этого произведения по длине замкнутого контура дает удвоенную площадь, ограниченную средней линией контура. Обозначим эту площадь через Г' в отличие от Г. Таким образом, Это выражение должно быть проинтегрировано по длине стержня! н по дуге замкнутого контура.
Если стержень явля- ется однородным по длине, то Последний интеграл зависит от закона изменения толщины по дуге контура н является геометрической характеристикой сечения. Учитывая, что М„ЯИ 2Г' 2Г' ' получим у~2~ 8аГ 21 Т Однако энергию У можно выразить как работу внешнего момента Ж на угловом перемещении у: 1 ~ = -~й~. 2 Приравнивая оба выражения для У, находим 9Я! / ~Ь 4(,Хч2 / Если толщина б по дуге контура не меняется, то Ж!в 4аГ' о' (2.35) где в — длина замкнутого контура. Мк йП Трах = т И~к ~ ~к приведены в табл. 2.2. Лля различных сечений геометрические параметры Ю„и .7„, входящие в формулы напряжений и углов поворота П р и м е р 2.4.
Определить напряжение и угловое перемещение в тонкостенной трубе, 'свернутой из листа, для двух вариантов: а) края листа свободны (рис. 2.37, я), б) края листа склепаны (рис. 2.37, б). Сопоставить напряжения и углы поворота сечений. Рис. 2.37 В первом варианте профиль поперечного сечения следует рассматривать как открытый. Пренебрегая участком профиля в зоне соединения краев внахлестку, согласно формулам (2.30) и (2.31), получаем 3ЯИ Зйй "-.Р6" '- С.Р6з Во втором варианте профиль является замкнутым. Согласно формулам (2.34) н (2.35), имеем Ж1хР 2 Е ~д(~ ) Лля более наглядного сопоставления рассмотрим отношения напряжении и углов: г, ЗР р, ЗРз гя 2 6' уя 4 бз Таким образом, отношение напряжений имеет значение порядка Р(6, а отношение углов поворота — порядка Р (6~.
Но, согласно определению тонкостенности, Р много больше, чем 6. Следовательно, замкнутый профиль оказывается существенно более прочным н в еще большей степени жестким, чем такой же незамкнутый. 139 Этот вывод является общим. Внешний момент, приложенный к стержню с замкнутым контуром сечения, уравновешивается моментами внутренних сил с длиной плеча порядка поперечных размеров сечения, в для открытого профиля — порядка толщины.
Отсюда следует, что касательные напряжения в открытом профиле будут во столько раз больше, чем в замкнутом, во сколько поперечные размеры сечения больше его толшины. П р н м е р 2.5. При заданном моменте 9И и геометрических размерах трубы, рассмотренной в предыдущем примере, найти усилие, приходящееся на одну заклепку (см. рнс. 2.37, 6). двумя продольными сечениями выделяем из трубы клепаный узел (рис. 2.38). Сила, действующая на заклепки вдоль образующей, равна Р=г61, но Рг > 2 6 4 следовательно, 20И! хРз Если число заклепок равно и> то сила, приходящаяся на одну заклепку, будет равна Р(п. Рис. 2.38 Из силовой схемы, представленной на рнс.
2.38, видно, что при отсутствии заклепок концы листа получнлн бы смещение вдоль образующей. Поперечное сечение вышло бы при этом из своей начальной плоскости н произошла бы, как говорят, депланациясечения. Ограничение депланации приводит к повышению жесткости н прочности стержня.
В тех случаях, когда из эксплуатационных, монтажных илн конструктивных соображений приходится идти на применение незамкнутых профилей, стараются наложить местные ограничения на депланацию. 140 Рис. 2.40 Рис. 2.39 Так, на рис. 2.39 показан стержень с тонкостенным незамкнутым профилем, в котором при помоши жесткой заделки и двух перемычек ограничена депланацня. Кручение в таких условиях носит название стесненного кручения. П р и м е р 2.6.
К тонкостенному стержню корытного профиля (рис. 2.40) приваривают стержень с угловым профилем. Определить, во сколько раз увеличится жесткость стержня на кручение и во сколько раз при том же моменте снизятся напряжения. Для корытного профиля формула (2.32) дает 39Л! с бз(2Ь |. Л) Для составного профиля по той же формуле получаем ЗЯЯ! Ф С [ЗЬбз ~. (26)з И] Следовательно, жесткость после приварки уголка увеличится в (ЗЬ + 8И)/(2Ь + И) раз. Согласно формуле (2.31), для корытного профиля ЗЯИ б1(2Ь + Л)' а для составного 39Л 26 ЗЬбг + (26)з И ' Следовательно, после приварки уголка напряжения уменьшатся в 0,5 (ЗЬ+ +8Л)/(2Ь + Л) раз.
141 Глава 3 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЯЕНИЙ СТЕР ЖНЯ 3.1. Статические моменты сечения 5х — уНГ; 5у — хН . (3. 1) Каждый из этих интегралов представляет собой сумму произведений элементарных площадей ЫГ на расстояние до соответствующей оси (х или у). Первый интеграл называется статиичесжим моментом сечению относительно оси х, а второй— 142 При решении задач, связанных с изгибом, возникает необходимость оперировать некоторыми геометрическими характеристиками поперечных сечений стержня. Эти характеристики применяются в основном при решении задач изгиба и в силу своего узкого прикладного значения в общем курсе геометрии не изучаются. Их рассматривают обычно в курсе сопротивления материалов.
Настоящая глава и посвящена этому вопросу. Возьмем некоторое поперечное сечение стержня (рис. 3.1). Свяжем его с системои координат х, у и рассмотрим два следующих интеграла: Рис. 3.1 Рис. 3.2 статическим моментом сечения относительно оси у. Статический момент измеряют в см или мм . При параллельном переносе осей статические моменты изменяются.
Рассмотрим две пары параллельных осей х1, у1 и хг, у~. Пусть а и 6 — расстояния между осями х1 и х~, у1 и уг соответственно (рис. 3.2). Положим, что площадь сечения Г и статические моменты относительно осей х1 и у1, т.е. Я~, и Я»,, заданы. Требуется определить 5~ и 5» . Очевидно, хг = х1 — а, р2 = у1 — б. Искомые статические моменты будут равны 5 = (У1 — б) о'.Г; Яу = (х1 — а) О'.Г, или 5 = 5~, — 6Г; 5у, —— 5у, — аГ.
Таким образом, при параллельном переносе осей статический момент изменяется на величину, равную произведению площади Г на расстояние между осями. Рассмотрим более детально, например, первое из полученных выражений: 5~ = Я~, — 6Г. Величина О может быть любой: как положительной, так и отрицательной. Поэтому ее всегда можно подобрать (причем 143 единственным образом) так, чтобы произведение 6Е было равно Яя,. Тогда статический момент 5 „ относительно оси х3 обращается в нуль. Ось,относительно которой статический момент равен нулю, называется центральной.
Среди семейства параллельных осей она является единственной, и расстояние до этой оси от некоторой, произвольно взятой, оси х1 равно 5„ ь=у,= —. — с— Аналогично для другого семейства параллельных осей У2 а — хс— — с— (3.3) П р и м е р 3.1. Найти, иа каком расстоянии от основания расположен центр тяжести треугольника (рис. 3.3). Сначала определим статический момент треугольника относительно осн х1.
144 Точка пересечения центральных осей называется иектром ткжестпи сечения. Путем поворота осей можно показать, что статический момент относительно любой оси, проходящей через центр тяжести, равен нулю. Нетрудно установить тождественность данного определения и обычного определения центра тяжести как точки приложения равнодействующих сил тяжести. Если уподобить рассмотренное сечение однородной пластинке, то сила тяжести пластинки во всех точках будет пропорциональна элементарной плошади НГ, а момент сил тяжести относительно некоторой оси — статическому моменту.
Этот момент относительно оси, проходящей через центр тяжести, равен нулю, В нуль обращается, следовательно, и статический момент относительно центральной оси. Выражения (3.2) и (3.3) дают возможность определить положение центра тяжести, если найдены статические моменты, или, наоборот, найти статические моменты, если известно положение центра тяжести. Рассмотрим простейшие примеры, Рис.
3.3 Запишем выражение для элементарной площади: ЫГ = с Ну1. Из подобия Ь вЂ” У1 треугольников получаем с = 6, где 6 — основание треугольника; Ь— его высота. Таким образом, 6 — (Ь вЂ” у,) у,Иу,. о (3.4) После интегрирования находим 5~, = 6Ь /б. Расстояние от основания 2 треугольника до центра тяжести Я~, ЬЬ~/б Ь Ус = Г 6Л/2 3 (см. рис. 3.3). 4 з 7~А 4Н вЂ” кЯ = 2~гс —, откуда с = —. 3 2 Зх 145 П р и м е р 3.2.
Определить положение центра тяжести сложного составного сечения (рнс. 3.4). Разбиваем сечение на три простейшие фигуры: треугольник, прямоугольник и полукруг. Выбираем произвольную систему осей ю1, у1 и определяем координаты центров тяжести составляющих сечение фигур. У треугольника центр тяжести С1 находится на расстоянии 1/3 высоты от основания. Лля прямоугольника положение центра тяжести Сз определяется пересечением средних линий. У полукруга центр тяжести Сз расположен на оси симметрии на расстоянии 4Я/(Зя) от вертикального диаметра (см.
рис. 3.4). Последнее выражение (тому, кто не забыл, чему ржавев объем шара) удобнее всего получить на основании теоремы Гюльдена. Вращая полукруг относительно диаметра, получаем тело вращения — сферу, объем которой равен произведению дуги 2хс на площадь полукруга: Рис. 3.4 Определяем статический момент составной фигуры как сумму статических моментов составляющих фигур: Бх, = Г1Ус + Г2Ус + РЗУс~ ° Таким образом, находим ос, —— — 60 30 10+ 30 60 30+ ~г — 40 = 88100 мм, 1 20 з 2 2 Як, — — — — 30 60 20+ 30 60 15+ я — 30+— 1 20 4 20 2 2 З~г = 33200 мм .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
