Феодосьев В.И. Сопротивление материалов (1075903), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Изучение вопросов о конкретном выборе коэффициента запаса входит как составная часть в такие дисциплины, как прочность самолета, прочность конструкций и пр. Правильность выбора коэффициента запаса определяется в значительной мере опытом и искусством расчетчика и конструктора. Глава 2 КРУ~4ЕНИЕ 2.1. ~чистый сдвиг и его особенности На примере растяжения и сжатия были выявлены некоторые наиболее важные свойства напряженного состояния.

При растяжении в зависимости от ориентации секущих площадок на гранях выделенного прямоугольного элемента (см. рис. 1.19) возникают как нормальные, так и касательные напряжения. Последние, независимо от значений нормальных напряжений, подчиняются условию парности (см, ~ 1.5). Теперь положим, что имеется такое напряженное состояние, когда на гранях выделенного элемента возникают только касательные напряжения т (рис.2.1). Такое напряженное состояние называется чистым сдвигом1. Наиболее просто однородный чистый сдвиг может быть осуществлен непосредственным нагружением пластины, захваченной в жесткие контурные шарнирно соединенные на- Более строгое опРеделение чистого сдвига будет дано в ~ 7,2 на основе общей теории напряженного состояния. 103 Рис.

2.2 Рис. 2.1 кладки (рис. 2.2). Лля всех точек пластины касательные на- пряжения т будут, очевидно, следующими: т = Р((И), Ж 2тВ2б' (2.1) где  — радиус трубки; 6 — ее толщина. Посмотрим теперь, как при чистом сдвиге изменяются напряжения в зависимости от ориентации секущих площадок. Лля этого из пластины, находящейся в состоянии чисто- 104 где б — толщина пластины. Исключение составляет узкая краевая эона, где пластина сопрягается с накладками.

Здесь напряженное состояние будет отличным от чистого сдвига. Однако н соответствии с принципом Сен-Венана эти отклонения носят чисто местный характер, и область их распространения мала по сравнению с общими размерами напряженной пластины. В качестве второго примера, иллюстрирующего состояние однородного чистого сдвига, можно рассмотреть тонкостенную цилиндрическую трубку, нагруженную моментами, приложенными в торцевых плоскостях (рис. 2.3). Здесь и далее внешний момент в отличие от внутреннего обозначен через ЯИ. Напряжение т определяют иэ условий равенства момента равномерно распределенных по поперечному сечению внутренних сил моменту 9И: Рис.

2.4 Рис. 2.3 го сдвига, выделим элементарную трехгранную призму АВС (рис. 2.4). На гранях АВ и ВС по условию возникают только касательные напряжения т. На грани АС в зависимости от угла а возможно возникновение как нормального, так и касательного напряжений.

Обозначим их соответственно через ~т~, и т . Проектируем все силы, действующие на призму, на оси л и ~. Условия равновесия дают ~т АС = т А В и'и а + т В С соя а; т„АС = т АВ сов а — тВС в|п а. Отрезки АВ и ВС связаны с АС очевидными соотношениями АВ = АС сова, ВС = АС яп а. Поэтому т = тсоз2а. ~та = т 81п 2а1 При а = О и а = 90' напряжения п~ и т принимают значения, соответствующие исходным площадкам, т.е.

г = О, а т„= т. При а = 145 т„= О, а п~ = ~т. Следовательно, если из пластины выделить прямоугольный элемент, грани которого повернуты относительно исходных плоскостей на угол 45О, то на секущих площадках будут обнаружены только нормальные напряжения, причем на одной паре граней эти напряжения являются растягивающими, а на другой — сжимающими. Таким образом, чистый сдвиг может быть представ- лен как одновременное растяжение и сжатие по двум взаимно перпендикулярным направлениям (рис. 2.5).

Рассмотрим деформации при сдвиге. Касательное напряжение т связано с угловой деформацией 7 соотношением (1.13): Е т = С7, где, как мы уже знаем, С = 2(1+ р) (см. ~ 1.5). Рис. 2.6 В результате возникающих угловых деформаций пластина, показанная на рис. 2.2, перекашивается, а торцевые сечения трубки (рис. 2.6) получают взаимные угловые смещения у. Характер возникающих смещений показан на рис. 2.7, причем (2.2) 'Р = 7~/~ Рис. 2.7 При чистом сдвиге, как и при растяжении (да и вообще при всяком напряженном состоянии), в деформируемом теле накапливается упругая потенциальная энергия.

Эту энергию легко подсчитать, рассматривая изменение формы прямоугольного элемента с размерами Ню, Ну и толщиной б (см. рнс. 2.7). Примем нижнюю грань элемента условно за неподвижную. Тогда при смещении верхней грани сила т~Ьб совершит работу на перемещении 7Иу.

Так как сила меняется пропорционально смещению, то ее работа равна половине произведения тйхб 7Иу (см. ~ 1.3). Следовательно, потенциальная энергия деформации, накопленная в элементе, равна ЫУ = Ц2т7йхйуб. Если отнести энергию к единице объема, получим Л7 1 ~0 = — = — т7. ЫУ 2 Выразим 7 через т по закону Гука. Тогда (2.3) 20 Величина У0 называется удельной потенииальиой энергией лри сдвиге и измеряется в Дж/мз. Аналогично испытанию на растяжение и сжатие можно провести испытание материала в условиях чистого сдвига.

Для этого удобнее всего воспользоваться испытанием тонкостенной трубки (рис. 2.8). Если во время испытания производить замер момента Ж и взаимного угла поворота сечений у на длине 1, можно построить для образца диаграмму 9И = Д~р).

В дальнейшем эту диаграмму, согласно выражениям (2.1) и (2.2), можно легко привести к переменным т и 7. Таким образом может быть получена диаграмма сдвига для материала Рис. 2.8 107 Сопоставление диаграммы сдвига с диаграммой растяжения для одного и того же материала показывает их качественное сходство. На диаграмме сдвига также имеется упругая эона, эоны текучести и упрочнения. Аналогичным образом для сдвига, как и для растяжения, можно было бы дополнительно ввести следующие характеристики: предел пропорциональности при сдвиге, предел упругости, предел текучести и т.д.

Прежде, когда изучение механики деформируемых тел находилось еще в начальной стадии, так обычно и поступали. В дальнейшем, однако, было установлено, что характеристики сдвига связаны с характеристиками растяжения. В настоящее время теория пластичности дает возможность построить теоретически диаграмму сдвига по диаграмме растяжения, а также выразить все характеристики сдвига через уже знакомые нам механические характеристики растяжения. Точно так же допускаемые напряжения и коэффициенты запаса при чистом сдвиге могут быть связаны с соответствующими величинами для простого растяжения.

Эти вопросы будут подробно рассмотрены в гл. 10. 2.2. Кручение стержня с круглым поперечным сечением. Уравнения равновесия Под кручением понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникает только крутящий момент, Прочие силовые факторы (изгибающие моменты, нормальная и поперечные силы) равны нулю. Для крутящего момента, независимо от формы сечения, принято следующее правило знаков. Если наблюдатель смотрит на поперечное сечение со стороны внешней нормали и видит момент М„ направленным против часовой стрелки, то момент считается положительным.

При противоположном направлении моменту приписывается знак минус. На рис. 2.9 показан стержень, нагруженный по концам моментами 9И. Если посмотреть на плоскость А со стороны внешней нормали (со стороны точки С), то мы увидим, что момент М„направлен по часовой стрелке. Следовательно, М„ ис. 2.9 будет отрицательным. Тот же самый результат может быть получен, если посмотреть из точки С на плоскость В. Указанным правилом знаков руководствуются при построении эпюр крутящих моментов.

На рис.2.10 показано несколько примеров нагружения стержня сосредоточенными Ж и распределенными и, (Н.м/м) внешними моментами. Для этих моментов применено условное обозначение в виде двух кружков. Кружок с точкой обозначает силу, направленную ка наблюдателя, а кружок с крестиком — силу, направленную ат наблюдателя. На рис.

2.10 приведены соответствующие эпюры крутящих моментов. Положительные моменты отложены вверх. 1 с у/~~ Рис. 2.10 109 При расчете стержня на кручение надо решить две основные задачи. Требуется определить напряжения и найти угловые перемещения в зависимости от внешних моментов. Эти задачи решают по-разному, смотря по тому, какой вид имеет поперечное сечение стержня. Наиболее просто можно получить решение в случае кругового сечения, а также для широкого класса тонкостенных стержней, Механизм деформирования стержня с круглым поперечным сечением можно представить себе в следующем виде: будем считать, что каждое поперечное сечение в результате действия внешних моментов поворачивается в своей плоскости на некоторый угол как жесткое целое.

Этот угол поворота для различных сечений будет различным. Сказанное представляет собой гипотезу плоских сечекий — предположение, оправдываемое общими правдоподобными соображениями о характере возникающих перемещений. Окончательным критерием пригодности любой гипотезы является опыт. Получив расчетную формулу, нужно прежде всего сопоставить результаты расчета с экспериментом, и если между ними обнаруживается достаточно хорошее соответствие, гипотеза считается приемлемой, Надо сказать, что задача о кручении стержня может быть решена не только методами сопротивления материалов, но также и методами теории упругости беэ принятия каких-либо гипотез, кроме предположения о непрерывности строения вещества. Решение, полученное этим путем, показывает, что круглое поперечное сечение бруса действительно остается плоским и поворачивается как жесткое целое.

В поперечных сечениях возникают только касательные напряжения. Вернемся к стержню с круговым поперечным сечением, нагруженному по торцам двумя моментами (см. рис. 2.9). В поперечных сечениях стержня возникает постоянный крутящий момент М„= Ж. двумя поперечными сечениями выделим из стержня элемент длиной Ил, а из него в свою очередь двумя цилиндрическими поверхностями с радиусами р и р+ Ир — элементарное кольцо, показанное на рис.

Характеристики

Список файлов книги