Феодосьев В.И. Сопротивление материалов (1075903), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Оказывается, что, независимо от формы исследуемого сечения, задача о кручении стержня сводится к тому же дифференциальному уравнению, что и задача о равновесии пленки, натянутой по контуру того же очертания и нагруженной равномерно распределенным давлением. Аналогом напряжения является угол, который составляет касательная к поверхности пленки с плоскостью контура, а аналогом крутящего момента — объем, заключенный между плоскостью контура и поверхностью пленки. Характер деформации пленки под действием давления можно всегда представить себе, если не точно, то, во всяком случае, ориентировочно.
Следовательно, всегда имеется возможность представить и закон распределения напряжений при кручении стержня с заданной формой сечения. 5 В. И. Феодосьев Положим, например, что нужно установить закон распределения напряжений в сечении, показанном на рис. 2.30. Представим себе, что на заданный контур натянута пленка, которая нагружена равномерно распределенным давлением. Изобразим несколько разрезов пленки. Соответственно углам наклона пленки покажем ориентировочно распределение напряжений по сечению (см.
рис. 2.30). Рис. 2.30 При помощи пленочной аналогии можно получить не только качественные, но и количественные соотношения. Для этого используют специальный несложный прибор1. Он состоит иэ подвижного столика, на котором расположена плоская коробка с натянутой тонкой резиновой пленкой. Сверху пленка вплотную накрыта крышкой с отверстием по форме исследуемого сечения. К нижней части коробки подведена трубка, сообщающаяся со стеклянным манометром. Поднимая трубку, повышают давление под резиновой пленкои, и последняя деформируется. Легко провести обмер пленки посредством вертикально установленного микрометра.
Координаты точки на пленке устанавливают продольным и поперечным перемещениями столика. После того как определены перемещения, могут быть найдены и углы наклона касательной к поверхности пленки. Если по форме исследуемого сечения изготовить пробку и плотно закрыть ею отверстие в верхней крышке, то пленка Более подробно с конструкцией прибора можно ознакомитаск в предыдущих изданиях иастоищего учебника. 130 распрямится и жидкость из объема под пленкой будет вытеснена. По уровню жидкости в стеклянной трубке определяют объем между прогнувшейся пленкой и горизонтальной плоскостью.
Этот объем, как уже говорилось, является аналогом крутящего момента. В зависимости от толщины пленки и силы предварительного натяжения замеренные прогибы и объемы будут различными. Чтобы исключить влияние жесткости пленки, одновременно с исследуемым сечением на том же приборе производят обмер пленки с круговым очертанием. Лля стержня кругового сечения жесткость и напряжения могут быть определены расчетным путем. Поэтому оказывается возможным, сопоставляя результаты замеров, найти требуемые характеристики заданного сечения по характеристикам кругового сечения иэ соображений пропорциональности.
Например, геометрический параметр жесткости .1„ исследуемого сечения (см. формулу (2.27)) можно определить из соотношения .Г„У ~я ~'О где 1~ — я Р4/32 — полярный момент инерции круга, Р— диаметр кругового сечения; ~, ~о — объемы, ограниченные пленкой, для исследуемого и кругового сечений при одном и том же давлении. Аналогично можно вычислить и геометрический параметр Ю„(см. формулу (2.26)): %~ ~0 тах 1 Юр атпах где И~, — хРз(16 — полярный момент сопротивления кругового сечения; ап„, ао,п,„— максимальные углы наклона касательной к поверхности пленки для исследуемого и кругового сечений, полученные замером при одинаковых объемах, ограниченных пленкой. Рассмотренная аналогия не является единственной.
Лля задачи о кручении стержня могут быть предложены и другие аналогии, связанные, например, с законами гидродинамики. 5' 131 В теории упругости при решении некоторых задач используют также электростатические аналогии, где законы распределения напряжений в упругом теле устанавливают путем замера напряженности электростатического поля в различных точках исследуемой области модели. Современная техника вообще широко использует различные аналогии. В тех случалх, когда в качестве аналога используют искусственно созданную схему, метод аналогии называют моделированием.
Этим методом исследуют многие сложные и недоступные непосредственному наблюдению процессы, такие, как, например, стабилизация ракеты в полете Аналогамн углов поворота ракеты в пространстве являются в этом случае электрические потенциалы в определенных узлах специально набранной электронной моделирующей установки. 2.5. Кручение тонкостенного стержня В практике машиностроения, и особенно самолетостроения, часто возникает необходимость расчета на кручение так называемых тонкостенных стержней. Типичные формы прокатанных, гнутых, тянутых и прессованных профилей показаны на рнс. 2.31.
Характерной геометрической особенностью тонкостенных стержней является то, что их толщина существенно меньше прочих линейных размеров. 1 + Рис. 2.31 Ш!11ШШ(Ш Тонкие профили разделяются на замкнутые и открытые. Так, первые четыре профиля, показанные на рис. 2.31, являются открытыми, а последние три — замкнутыми. Характер распределения напряжений в поперечном сечении тонкостенного стержня проще всего установить при помощи пленочной аналогии. Представим себе вырезанное в плоской плите отверстие по форме профиля и натянутую на ием пленку, Если приложить к пленке равномерно распределенную нагрузку, то пленка деформируется, но по-разному, в зависимости от того, замкнутым или открытым является профиль.
Это различие иллюстрирует рис. 2.32. В случае замкнутого профиля область внутри контура не связана с внешней областью и под деиствнем давления смещается (см. рис. 2.32,6). Это и предопределяет качественное различие между формами пленки для случаев замкнутого и открытого профилей. Налряження Пяеяка Рис. 2.32 .Пля открытого профиля пленка имеет наибольшие углы наклона по концам нормального отрезка (см. рис. 2.32, а), причем примерно в середине толщины происходит смена знака угла наклона. С большой степенью точности можно принять, что напряжения по толщине незамкнутого профиля распределены линейно.
В случае замкнутого контура деформированная пленка образует поверхность примерно постоянного угла подъема (см. рис.2.32,6), откуда следует, что распределение напряжений по толщине профиля близко к равномерному. Перейдем к составлению расчетных формул. Начнем с открытого профиля. достаточно очевидно, что форма пленки (см.
рис. 2.32, а), а следовательно, и напряжения в стержне сильно не изменятся, если профиль сечения распрямить. Иначе говоря, напряжения в криволинейном открытом профиле будут примерно такими же, как и в прямом. Но в этом случае могут быть использованы расчетные формулы, приведенные выше для прямоугольного сечения с большим отношением сторон. Обращаясь к формулам (2,23), (2.25) и табл, 2.1, при а/6 = оо получаем гтах— ЗМ„ (2.30) 62 Сбз 30И! (2.31) где о — толщина профиля (меньшая сторона прямоугольника); з — длина контура поперечного сечения (большая сторона пря- моугольника).
Полученные таким образом расчетные формулы являют- ся общими, т.е. не зависят от формы профиля, если только последний может быть развернут в прямоугольник, В случае, если тонкостенный незамкнутый профиль явля- ется составным, как это, например, показано на рис. 2.33, и не может быть развернут в вытянутый прямоугольник, поступа- ют следующим образом: момент М„рассматривают как сумму моментов, возникающих в отдельных участках. Тогда, соглас- но формуле (2.31), 9И ™к = (61з1 + 6~32 + . + ~ион) 'Р~~~ 3 3 3 3! 39И ! (2.32) С(бдз1 + бдз2 + + ~йота) При помощи пленочной аналогии легко установить, что наибольшие напряжения возникают на участке с наибольшей толщиной 6~~~.
Для этого отдельно взятого участка, которому 134 Рассмотрим теперь кручение стержня, имеющего поперечное сечение в форме замкнутого тонкостенного профиля (рис. 2.35). Рис. 2.35 т1 б16Я = т2б2йа. Так как точки 1 и Я взяты произвольно, то т5 = соп81. Таким образом, произведение т6 по длине замкнутого контура не изменяется. На участках, имеющих меньшую толщину, напряжения будут соответственно большими. Выразим крутящий момент через напряжения т.
Для этого возьмем на контуре элементарный участок длиной Нл (рис. 2.36). Момент силы тбйв относительно произвольно взятой точки О равен тбсЬ~ОА~. Тогда ~ОА~й. Мк = Здесь, в отличие от открытого профиля, напряжения распределены по толщине равномерно. Выделим иэ стержня элементарную призму длинои Ня. Размер призмы в направлении дуги контура, т.е.
расстояние между точками 1 и 3, является произвольным. Пусть толщина контура в точке 1 будет 61, а в точке 2 — б2. Соответственно через т1, и т2 обозначим напряжения в поперечном сечении. В продольных сечениях возникают парные напряжения г~ — — т1 и т2 — — г2. / Составим для выделенного элемента уравнение равновесия, спроектировав все силы на направление оси бруса. Очевидно, Рис. 2.38 Но произведение тб по длине дуги контура не изменяется, по- этому М~=тб / 1О А~Иа М„= т62Г. Наибольшее напряжение Мк (2.34) Остается определить угловое перемещение ~р для тонкостенного стержня замкнутого профиля поперечного сечения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
