Феодосьев В.И. Сопротивление материалов (1075903), страница 31
Текст из файла (страница 31)
БУДЕМ СЧИтатЬ ДЛЯ ПРОСтОтЫ, ЧтО ИСКОМОЕ ПЕ- ремещение является следствием только изгиба. Рис. 5.13 На элементарном участке длиной Ия произойдет изменение кривизны, и правое сечение повернется относительно левого на угол где 1/р — новая, а 1/ро — старая кривизна. Вследствие возникновения местного угла поворота правая часть повернется как жесткое пелое, и точка А переместится по направлению х1 на Ыбд — — АА" = АА'а1па = ОАа1паИд. Но ОАа1па = ОВ.
Следовательно, Нд — — ОВНд. Отрезок ОВ представляет собой не что иное, как момент относительно точки О единичной силы, приложенной в точке А по направлению ж1. Таким образом, сУд — — М1 Нд, или 1 1 Ыбд —— — — — М1 Ыя, Р РО откуда Аналогично можно составить выражения перемещений для кручения, растяжения и сдвига. В общем случае 6,» = ВрМк1 (Ь+ Мк1 Ня+ — — — Мя1 (Ь+ ( + ~ю ~1 ~Ь + 7з~Як1 И2 + 7урЯ((1»Ь. (5.9) Выражение (5.9) является более универсальным, чем выражение (5,8), поскольку в нем не предполагается линейной зависимости У, (1/р — 1/ро), е и т.
д. от внутренних силовых факторов. Оно применимо, в частности, и для случая неупругого изгиба и кручения, Если материал подчиняется закону Гука,то Мк 1 1 М Л йЯ ~'~к Р РО ~ ( ~~ (-'~ и тогда выражение (5.9) переходит в (5.8). П р и м е р 5.4. Определить горизонтальное перемещение точки А консоли, показанной на рис. 5.14, а. Жесткость всех участков постоянна и равна Е.(, Рис.
5.14 В рассматриваемом стержне основную роль играют изгибные перемещения. Перемещения вследствие растяжения и сдвига так же малы по сравнению с перемещениями изгиба, как и энергия растяжения и сдвига по сравкенмю с энергией изгиба. Поэтому из шести интегралов Мора (5.8) берем один — для мзгиба— МрМ~ <Ь Е3 (изгиб во второй плоскости м кручение отсутствуют). Изгибающий момент силы Р ка участке АВ равен нулю. На участке ВС Мр — Рз, а ка участке СЮ М~ = РЯ(1+ а1пу). Момент от единичной смлы на участке АС равен нулю, а на участке СР М~ — — — 1 Я (1 — сов у). Знак минус поставлен в связи с тем, что единичный изгибающий момент направлен в сторону, противоположную М~.
Произведение М~М~ ка участке АС оказывается равным нулю. Поэтому интегрирование ведем только ка участке СР. Заменяя Ыг ка Вфр, получаем Ряз б =, (1+ в1п у) (1 — сову) ~у, о откуда 1 Ряз 6„= — — —. 2 Е1 Знак минус указывает на то, что горизонталъное церемещекме точки А направлено не цо единичной силе, а против кее, т.е. влево (рмс.
5.14, б). П р и м е р 5.5. Определить, насколько раскроется зазор в разрезанном кольце (рис. 5.15) под действием сил Р. Жесткость колъца равна Е1. В точке В (см. рис. 5.15) изгибающий момент М~ от заданных сил Р равен РЯ(1 — сов у), где у — центральный угол. Полагая левый конец кольца закрепленным, прикладываем к правому единичную силу, с тем чтобы найти перемещение одного конца относительно другого (рис. 5.16, а). Реакция опоры будет равна единице, позтому оба рисунка рис. 5.15, а и б, равноцен- А А Р ны.
Иэ сказанного, между прочим, следует, что вообще, когда нужно найти взаимное Рис. 5.15 смещение двух точек, следует приклады- вать в этих точках равные, противоположно направленные единичные силы, действующие цо прямой, соединяющей этн точки. Момент от единичной силы М! = В(1 — сову). Искомое 240 Рис. 5.16 взаимное смещение б„= Е3 Е.1 / — (1 — соа у) 4у, ! о Р~з илк б,~ — З~г —. Е.1 П р и м е р 5.5. Определить взаимное смещение точек А в таком же кольце (см. предыдущий пример), но нагруженном скламк, действующими перпендикулярно плоскости кольца (рис.
5.17, а). Рис. 5.17 Рассмотрим кольцо в плане (рнс. 5.17, 6). В сечении В возникает не только изгибающий, но и крутящий момент. Первый равен моменту силы Р относительно оси у, а второй — моменту той же силы относительно оси з (см. рис. 5.17, б). Очевидно, Мк — — РВа1пу, Мя — — РЯ(1 — сову). Прикладываем в точках А единичные силы взамен снл Р. Тогда М ~ = ф1 = Я в~в у, М,~ — — В (1 — сову). Обращаясь к выражению (5.8), оставляем в нем два первых интеграла и получаем Рлз РВз бд — — — (1 — сов у) Ну + — в1п у сЬр, С~, Е7 о о 241 или 1р~э ~ + Здесь искомое перемешение определяется жесткостью кольца как на кру- чение, так и на изгиб.
Из рассмотренных примеров видно, что цри определении перемещений для стержня, изогнутого цо дуге окружности, приходится брать интегралы от простейших тригонометрических функций в различных комбинациях. В табл. 5.1 даны наиболее часто встречающиеся при решении подобных задач интегралы. 5.4. Способ Верещагина у = У1(Я) у2(Я)Ь, (5.10) О при условии, что по крайней мере одна иэ этих функций — линейная. Пусть Ял) = д+ йг. Тогда выражение (5.10) примет вид 1 = д ~'1(г) Ил+ й ЯЯл) сЬ.
242 Основным недостатком определения перемещений при помощи интеграла Мора является необходимость составления аналитического выражения подынтегральных функций. Это особенно неудобно при определении перемещений в стержне, имеющем большое количество участков. Однако, если он состоит из прямых участков с постоянной в пределах каждого участка жесткостью, операцию интегрирования можно уцростить. Это упрощение основано на том, что эпюры от единичных силовых факторов на прямолинейных участках оказываются линейными. Положим, на участке длиной 1 нужно взять интеграл от произведения двух функций ~1(л) Ял): Рис. 5.18 Первый из написанных интегралов представляет собой площадь, ограниченную кривой ~1(«) (рис.
5.18), или, короче говоря, площадь эпюры ~1(«): Второй интеграл характеризует статический момент этой пло- щади относительно оси ординат, т.е. «Л(«) с~« = ~1«ц.т где «„— координата центра тяжести первой эпюры. Теперь получаем 7 = 01(Ь+ й«„л). Но 6+ й«ц т — — ~г(«ц т). Следовательно, ,7 = й1Уг(« . ) Таким образом, по способу Верещагина операция интегрирования заменяется перемножением площади первой эпюры на ординату второй (линейной) эпюры под центром тяжести первой. В случае, если обе функции ~1(«) и Ь(«) — линеиные, операция перемножения обладает свойством коммутативности. В этом случае безразлично, умножается ли площадь первой 244 эпюры на ординату второй или площадь второй эпюры на ордннату первой, В каждый из интегралов Мора (5.8) входит произведение функций М рМ 1, МкрМ 1 и т.д.
Способ Верещагина применим к любому из шести интегралов, и перемножение эпюр проводится одинаково, независимо от того, построены эти эпюры для изгибающих и крутящих моментов и нормальных и поперечных сил. Разница заключается лишь в том, что результат перемножения делится не на жесткость Е3, как при изгибе, а на жесткость Е3к, если речь идет о кручении, или на Е.г или Сà — при растяжении и сдвиге. На первый взгляд может показаться, что способ Верещагина не дает существенных упрощений. Для его применения необходимо вычислять площадь эпюры моментов и положение ее центра тяжести, что при сложных эпюрах все равно потребует интегрирования, как и в методе Мора. Однако встречающиеся на практике эпюры изгибающих моментов могут быть, как правило, разбиты на простейшие фигуры: прямоугольник, треугольник и параболический треугольник (рис.
5.19), для которых площадь й и положение центра тяжести известны. При кручении, растяжении и сдвиге эпюры оказываются еще более простыми: они, как правило, линейные и состоят из прямоугольников и треугольников в различных комбинациях. ~ 0юуа5ма Ф и а~~йюи Рис. 5.19 П р и м е р 5.7. При помощи правила Верещагина определить перемещение точки А для стержня, показанного на рис. 5.20, а. Строим эпюру изгибающих моментов от заданных сил Р (рнс. 5.20, б). Затем, полагая внешние силы равными нулю, прикладываем и точке А единичную силу и также строим эпюру (рис. 5.20, в и е).
Далее проводим перемножение эпюр. Рис. 5.20 На участке ВС плошадь эпюры моментов заданных сил й = Р1 /2. 3 Ордината единичной эпюры под центром тяжести эпюры моментов заданных сил для этого участка будет М1,, — — 1/6. Перемножая эти величины, находим йМ1 .~ = Р! /6. з Участок ВР нельзя рассматривать целиком, так как на этом участке эпюра моментов единичной силы является ломаной. Надо взять половину РР 5Р~з участка, т.е.
отрезок АВ. Здесь й =, М1п.т = — 1, ЙМ1я.~ —— 2'6''16 Складывая полученные выражения для ЙМ1я,„находим (ЙМ1я.~)лс = 23Р! 46 Лля участков, расположенных справа от точки А, получим по условиям симметрии тот же результат. Поэтому удваиваем найденное выражение и, разделив его на Е1, находим искомое перемешение 2ЗР~з 24Е1 ' П р и м е р 5.8. В системе, показанной на рис. 5.21, а, определить, на какое расстояние разойдутся точки А под действием сил Р. Строим эпюры моментов от заданных сил Р и от единичных сил, приложенных в точках А (рис.5.21, о и в). Очевидно, результат переммо- 246 ~~рр~ура А А 1 4 4 У Р Р Рис.
6.21 жеиия эпюр на вертикальных участках будет равен нулю. Для горизонтального участка получим й = Р1, М1 ., -— 1. Следовательно, г Р1з б~ —— —. Е3' П р и м е р 5.9. Определить перемещение точки А консоли, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой а (рис. 5.22, а). Рис. 5.22 Строим эпюры моментов от заданных снл и от единичной силы, приложенной в точке А (рис. 5.22, 6 и е). Перемножение эпюр должно быть 247 проведено по участкам — для правой и левой половим стержня. Но для левой половины зпюра моментов заданных сил представляет собой цараболическую трапецию, площадь и положение центра тяжести которой нам неизвестны. Поэтому проводим так называемое "расслаивание эпюры". Вместо эцюры, показанной на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
