Писаренко Г.С. Сопротивление материалов (1075902), страница 8
Текст из файла (страница 8)
49, а), поэтому она не дает проекций на ось 2 и мОментОВ Относительно Осей х и у. Следователь1Щ В любом сечении балки Д,=м„=м.,=м,=О и отличными от нуля останутся только три В~личины: У, Я„и М,. В дальнейшем будем обозначать их Ф, Д и И. Эти усилия действуют В сечении рам и криВолинейных стержней- В балках же, при наГрузке, перпендикуляриОЙ К ОСИ„ПРОДОЛЬИая Сила так- же будет равиа нулю. Поэтому В дальнейшем будем считать, что В любом сечении балки моГут бь1ть Два усилия: пОперечная сила (~ и изГибающий момент М.
Установим следующие правила знаков для'(~ и М в балках. Ц поперечная сила Я В сечении пОложительна, если ее Вектор стремятся Вращать части рассеченной балки по часоВОЙ стрелк (рис. 54, а); 2) изГибак1щий МОмент М В сечении положителен„если Он Вы зывает сжатие В Верхних Волокнах балки н направлен так, как и казано на рис.
54„а. Отрицателы1ые направления Я и М показаны на рнс. 54, б. Для практических вычислений, однако, можно рекомеидовать следующее.* 4 1. Если ВиешнЯЯ сила стремится повер11уть балку ОтносительнО рассматриваемОГО сечения по часОВОЙ стрелке, то В Вь1ражении для (~ В этОМ сечении Она дает полож1пельиое слаГаемое. Так, реакция Йл 1рис. 55, а) стремится повернуть балку относительно сечения С по часОВОЙ стРелке„а силы Р и Да — пРотив Бее. ПоэтомУ попеРечная сила В сече11ин С (~С = йм — Р ИЛИ 9С = — йа. 2, Если внеп1няя нагрузка создает относительно рассматриваемогосечения момент, Вызывающий сжатие верхних Волокон балки, то в Выражении для М В этом сечении Онз дает положительнОе слагаемое.
Нзйболее 1гросто Выяснить знак М для консоли. Так, йа двух Верхннх консОлях» показанных нз рис. 56, и» нагрузка от'- Гибает балку вверх„сжатыми м~б ОКЗЗЫВЗЮТСЯ ВЕРХНИЕ БОЛОКНЗ, 0 поэтому изгибающий момент пО- ложителен. На рис. 56, б сжаты нижние волокна и М <. О. В более сложных случаях (на- О пример, рис. 55) можно мыслен- ймс. ~З ИО представлять себе, что балка ОсВОбОждеиз От Всех Опор и защемлена В рассматриваемом сечении. Тогда она превращается в две конссли. НУжно рассматривать ле- ВУ1О консоль„если изГибающий момент Вычисляется как сумма мо- ментОВ сил, расположе11ных слева От сечения (рис, 55, б). Тогда Мс = М (х) =- Каях — Р (х — а).
Если же М вычисляется кзк сумма моментов сил» рзспОложенных справа от сечения (рис. 55, а), то Мс =- М (х) = КЯ вЂ” х) — М. Е ж поствовиив зпкэ а и м в юлиях Рассмотрим порядок построе1 ил эпюр Я и М для наиболее характерных случаев 11агружения бзлОК. СосредОточеннзя сила нз сВОбОдном кОн" це консоли (рис. 57). Балка имеет лишь один участок. НаД чало координат Быбйраем Б крзййей ле~~й к а точке А балки, Ось х направляем ВдОль Оси бзлкй направо. 6, Вычисляем 11 и М в произвольном сечении Р ® с збсцнссой х. Справа От рассматриваемого се- чения действует только одна сила Р, поэтому 1»1 Д(х) = Р; М(х) = — Р . КВ = — Р(1 — х). Как Видно из этих уравнений, поперечная Рис.
И' сила ОДиизковз ВО Всех сечениях балки, по" этОму эпюрз Д имеет Вид прямоугольника. Функция М (х) линейна. Для построения ее графика достаточно получить две точки — в начале и в конце участка: при х=-- О (сечение А)МЛ= — И; при х=-1 (сечение В)Ма=О. По этим даниым строим эпюру М. Заметим, что положительные ординаты эпюр Я и М откладываем вверх от базы, На рис. 57 штриховой линней А В~ показана балка В деформированном состоянии. Как видно из рисунка, сжаты нижние Волокна балки. Если совместить базисную линию эпюры изгибакжцих моментов с осью балки, тоэпюра М окажется как бы построенной на сжатых Волокнах.
Равномерно распределенная нагрузка интенсив ноет ью д кгс/м н а к онсол и (рис. 58). Поперечную силу и изгибаюЩнй момент В прОизвольном сечении К будем внчислять как результат действия распределенной нагрузки, распОлОженнОЙ слеВЗ от сечения: Я~х) =- — д- АК= — дх', д.
АК' уР М (х) = — д ° А4' ° ЕК = — —— 2 2 прн х=О Ял= О; при х=1 (Ь= ф и проводйм прямую. Учйтывая, что зпюра М крйволйнейиа, для ее построения Вичисляем Ордииаты В трех сечениях: при х=о Ил=о; 4' . прн х=— 2 Мс =- — —; 6 и прОводим через полученные три тОчки кривую. Нагрузка интенсивностью д кгИМ, равномерно распределенная по асей длине прол е т а д В у х О и О р н 0 Й б а л к й фис.
59). В данном случае необходимо сначала Определпть Опорьые реакпии Равнодействую" щая всей распределеннОЙ нагрузки раВна ф, и линия действия ее проходит через середину балки. ПОэтому Х « . ас« 1 Мв = Кд1 — 4 ° — = О; ~~«Мд = Йа~ — д1 ° — = О, ОТКУДа Выч~сляя поперечиу® силу и изгибакаций момент В произвольном ~~ч~нии К как резул~~~~ ДеЙС~~~~ сил, расположеинык Сл~~а От СЕЧЕНИЯ Л,„ПОЛУЧИМ Р Я(х» = ЙА — фх = — — Цхр «ф 2 М (х) =- йлх — дх - — = — х — —.
Х д1 «РР 2 2 2 ОчеВиДНО, что эпюра Я буДет прЯмОлинейной„ а эпкфа М вЂ” параболической. Для построения энка вычисляем: а(О) = — ' Яй =- — — ': М (О) = О; ф 1 ф' 4' . (21 2 2 а 8 МЯ= — 1 — — =О. 4 дР 2 2 Чтобы Определить экстремальное значение изгибакФце О момента приравииВаем нулю производи)чо От изгибжОщего МОмента М (х) по абсциссе х сечения: "М(~» Ф = — — дх= — О «««« Так как Вторая производная, =- — д, т.
е. отрицательна, РМ (Х» то В сечении при х = Р2 имеем максимальное значение момента: «;Р ~имжс = М («У2) = 6 Эпюры Я и М построены на рис. 59. Сосредоточенная сила Р, приложенная к дву хо пор ной бал ке (рис. 60). Прежде всего найдем Опорные реакции» Х Мв= йл~ — РЬ=О' ЙА= —, РЬ Х Р«« Мл = Р«« — К,ц1 = О; Йв = Б данном случае имеем на балке два участка. Вычисляем Я и М в произвольном сечении К~, расположеином на участке АС (О ж, х <. а)." Я(х) = Йл= —. РЬ Для построения эпюры Вычисляем Ординаты на границах участка: при х=О МА=О; РаЬ при х = й Мс = —.
К тОму же результату мы пришли бы, рассматривая действие сил расположенных слева: Я(х) = Кц — Р; М(х) = ЯА * АК,— Р СК,. Как и на участке АС, эпюра Я на участке СВ также имеет Вид прямоугольника. Для построения эпюры М находим значения ор- У динат В точках С и В: Ра РаЬ, при х = а Мс = — (~ — п) =— при х = 1 Ма = О.
В результате пОлучаем эпюры, пред" ставленные на рис. 6О. Они показывают, что при х = а функция Я (х) терпит раз- рыВ и на эпюре (~ пОлучается скачок, равный по абсолютной Величине Внешней силе Р и этом сечении: Иа РЬ Ра Р(а+Ь) И = — =Р; + Рнс. $4 на эпюре М В этОИ сечении имеет место излом ()ч'ловая точка). СОсредоточенныЙ момент В прОлете двухо п о р н о й б а л к и (рис. 61). Находим опорные реакции, иа- праВНВ их ВВерх: Меняем направление Яд иа обратное.
Отметив на участках АС и Св произвольнне сечении К~ и Ку» записываем уравнения для функций Я(х) и М (х): для участка АС (О ~. "х ~" а) ~(х) = — Яд= — —, М(х) =- — Ялх= — х; М~ М1 » На основании этих уравнений строим эпюры Д и М. Эпюра М расположена частично под осью, частично над осью. Поскольку она построена на сжатмх волокнах, видим, что на участке АС сжаты нижние волокна балки, з на участке Св — верхние, Этому соответствует изображенная пприховой Деформированнаи ось балки. В том сечении, сде нзтибакаций момент меняет знак, на неи будет точ~а перетибз.
Нетрудно видеть» что 1фа= а~3=в М~ и, значит, прямые на эпюре М на участках АС и СВ параллельны. Обратим внимание на то, чтО тзм, Где прилОжеи внешний момент (сечение С), на зпюре 9 изменений нет, а функции М (х) претерпевает разрнв и на эпюре М получаетси скачОк, равный пО величине Бнипнему МОменту. В частном случае, котда МОмент приложен в ОпорнОм сечении» на Основании приведенных выше формул при а = 0 получим эпюры» приведенные иа рис.
62. Сосредоточенные МОментм на Опорах Одноп р ол етно й бал к и(рис. 63). Находим опорныерезкции: ,'~, Ма = К4+ М вЂ” М = 0; йд = 0; ~~' Мд = — Йа(+ М вЂ” М = 0; Ка = О. Установим некоторые характерные особенности эпюр (~ и М, значение которых облегчит построение эпюр и даст Возможность в известной степени контролировать их правильность.
Рассмотрим какую-нибудь ба~~у с произвольной нагрузкой (рис. 64, а). Распределенную нагрузку условимся считать положи- тельной, если она направлена вверх (такая нагрузка дает положительную составляюшую для изгибанзщего МОмента В любОМ сечении). Выделим на участке, где нст сосредщбченных сил и моментов, малый элемент балки О1Оу, Он находится В равновесии под Действием Внеюней нагрузки„поперечных сил н изгибакяцих ьюментов В сечениях О~ и О, (рис. 64, б).
Поскольку в ойцем случае Я и М меняются Вдоль оси балки, то в сечении О, имеем Я (х) и М (х)„а в сечении О, имеем Я(х)+ Щ и М (х)+ дМ. Для вьпюда, как Всегда, изОбражаем их положительно направленными. Из услОВИЯ равнОВесия ВыделеиногО элемента получим ~~ '„$' = 9+ фх — (~ + Иф = О; ~", Ма, = М + 9Ь+ фх — — (М+ дМ) = О. ~Ь Первое уравнение дает условие ~Ь Из ВтороГО уравненияф пренебреГЯЯ членом фх В ~ найдем Когда на рассматриваемом участке действует, кроме того, распределенный момент интенсивностью гп кгс ° смlм (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
