Писаренко Г.С. Сопротивление материалов (1075902), страница 3
Текст из файла (страница 3)
К ийм Относятся площади поперечных сечений, сгз" ТИЧЕСКИЕ МОМЕНТЫ И МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ, Рассмотрим произвольную фиГуру (поперечное сечение бруса~, связанйу«О с координатными осями Ог и Оу (рис, 9). Выделим элемент площади ««Р с координатами г, у. По аналогии с выражением для момейтз силы Отйосйтельйо кзкоЙ-лйбо ОСИ МОЖНО СОСТЗВИТЬ ВЫРЗЖЕНИЕ И ДЛЯ МОМЕН- та площади, которое называется Г«п«««п««ческ««м Люми«««пбм. Тзк, прОизведение элемента пло" Зе щей«««Г на рзсСтояйне у От Осп Оз й У дЗ, = у«0' называется статическим МОментОм элемента площади относительно оси Ог. Аналогично Х «Ж = гдР— статический момент элемента Рис. Ф площади относительно оси Оу.
Просуммировав такие произведения по всей площади фигуры, получим соответственно статические моменты Отиосительно Осей 3 и у". 5, ~ рддр; Б„= ~з«Р (2. Ц Статические моменты измерякггся В единицах длины В кубе ~например, см ). Пусть г„у,— координаты центра тяжести (ц, т.) фигуры. ПрОдОлжзя анз»югию с МОмеитами си, на осиОВании теоремы О МО" менте равнодействующей можнО написать следующие Выражения: 5, = РУ,; С„= Рг„ (2.2) Где Р— площадь фигуры. Отс$одз координаты центра тяжести (2.3) У Из формул (2.2) следует, что статические моменти площади относительно центральных осей (осей, проходящих через У центр тяжести) равны нулю. д В качестве примера Вычислим статиче" ский момент т р е у г о л ь и и к а (рис. 10) Яууе.
«Е Относительно оси, проходящей через осно- Взние. Нз расстоянии у От нее Выделим элементарную площадку В Виде полоски, параллельной оси а Площадь ПОЛОСКИ 1~ =1(у) 0у. 4 УЧНТЫВЗЯ, ЧТО 6ф ~(р) —. — ' „(й — р), меем »у Ь»» у,= ~ууу= — „~ уу» — у1»»у- —,. ИР Еще проще решить эту задачу, пользуясь формулой (2.2). ОЧЕВИДНО, ЧТО Р = — ЬЙ", »», = — Ь, 3. СЛЕДОВЗТЕЛЬНО, Для Вичнсления статических моментОВ слОжнОЙ фигуры ее рзз6НВзют нз простые части (рис.
11)„для кзждОЙ из которых известна плОщадь Г» и положение центра тяжести а» и у». Стат~чесК~Й момент площади Всей фигуры относите»чьно данной оси определяется кзк сумма статических моментов каждой части: Су=Г«У«,+Газ+ " ' +~ Ууу= ~»У»' у (2А) Я у. а +у" з +» ° » +у» $ »» »"=$ По формулам (2.3) и (2.4) легко найти координаты центра тяжести сложной фигуры: Определим, например, положение центра тнжести фнгЛ1ы, показанной на рис, 12. У Р4 Осевом, нлн экаипорнальжм„молевом инерции площади фв~- гуры насыпают интеграл произведений элементарных плацадей на кнадратъ3 их расстояний От рассматрннаемой оси. Так„моменты Очевидно, ~~~теп~нно по~орачивая Оси, Можно ~ай~~ ~ак~е их положение» прп кОтОром центрОбежный момент инерции раВеи нулю.
Такие оси назьаают еловками огяма инерции. Дне взаимно перпеиДикулярные Оси, из котОрых хОтй бы Одна ЯВляется Осью симмет'" рии фигуры, всегда будут ее ~лавными осями инерции„поскольку в этом случае каждой положительной Величине гу ЙР соответствует такая же отрицательная НО другую стОрону От Оси симметрнн (рис. 14, в) и их сумма по всей площади фигуры равна нулю. Главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, называют лйаиыйп кен~ роясь~~ оса.ии. Измеряются моменты инерции В единицах длины и четвертой степени (например, см').
Д~ Д Вычислим моменты инерции и р я м О у г о л у» и и к з отиосительно центральных осей г, у, параллельных его сторонам (рис, 15). Для определения мОмента инерции Относительно Оси а выделим элементарную площадку в Виде узкого прямоугольника, параллельного оси г, Ширина элемента Ь, высота — ду. Следователыю, 1~ =1 1р; .»,=1учу-у 1 у'уу 26~ учу= —,» . (2.»щ у» у» 6 му (2.11) Заметим„что интеграл 1, не изменится„если все полоски й~ =- =- Ыу переместить параллельно оси г, относительно которой определяется момеит инерции. Таким обраЗОм, мОмент инерции па" раллелограмма (рис. 16) относительно центральной оси а, парал- лельнОЙ ОснОВанию» ьууэ (,~ ЖФ вЂ” ° (2.!2) Найдем МОмент инерции т р е у г О л ь и и к а Относителыю оси, врохОДящей через егО ОснОвание фис.
17). Разбиваем площадь фигуры, как и в првдьщуп~ем арвмере, ив элементариью полоски, параллельные дэвиОЙ осзе КГ=- Ь(Яда* О~евидно, ~пнрннз полоски, накодвщейси на расстоввнв у От Оси а, ИЯ- —,Ф вЂ” Й- Ь Вычислим полярный момент инерции к р у г а относительно его центра, а также момент инерции ОтнОсительно центральнои Оси. При Вычислении полЯрного моменгз инерции Выделим Элементарную полоску в виде тонкого кольца толщиной др (рнс. 1Щ. ПлОщадь такого Зчемента дР = 2лрф. В силу симметрии Найдем Осевой мОмент инерции к р у Г О в О Г О с е к т о р а ОАВ (рис. 1Щ Относительно оси г. а р у, = 1 рддр = ~ '1 р'Б~п'р рдфФр а р' Мо 2~3 — з1п 2а 1 — Ф вЂ” ~)— е ~ 2 ь ж Для четверти круга и 0~ р = 2 Тогда ~у гая р = п, а = О, находим момент инерции полукруга: У = —.
4 8 Вычислим мОмент инерции 3 л л н п с а с НОлуОсями й, Ь фнс. 20) Относительно центральной Оси а. Задачу можно решить Весьма просто, если рассматриВать Эллипс как проекцию наклОннОгО круга. При атом у Ь ф~ й ПредСТа~и~ теперь М~~ен~ инерци~ аллипса как сумму моментон инерции алементарных прямоугольников высотой у и шириной дг: Р Последний интеграл В правоЙ части есть момент инерции круга радиуса и ОтносительнО Оси а; Ои раВеи —. Следовательно, искомый ~та4 МОМЕНТ ИНЕРЦИИ аЛЛНПСа Ьэ ла~ паР а" 4 4 (2. Щ Очевидно, е к момннты инн ции сложных снчнния В расчетноЙ практике частО прихОдится Вычислять моменты инерции сложных сечений Огносительно различных Осей, лежащих В плоскОсти Фигуры Для стандартных пОперечных сечений стерж" ней — угловых равнабоких (рис. 21, а) и неравнобокнх (рис.
21, 6), двутавровых (рис. 21, в), шнеллерных (рис. 21, г) и других — моменты инерции Огносительно рааличных Осей даны В Т~блиц~х ГОСТ 8509 — 72, 8510 — 72, 8239 — 72'", 8240 — 72 наряду с размерами„ площадями сеченцй, полОжениями центров тяжести и другими характеристиками. В сОртзменте центральные оси сечений обознзчзкй'- ся буквами х, у (рцс. 21). При Вычислении моментов инерции сложных сечений последние можно разбить на Отдельные простые части, моменты инерции ко- торых изВестны.
Из Основиого свОйства интеграла суммы следует, что момецг нцерццц ссложной фигуры ранец Сумме момецтрв ицерции СОСТЗВНЫХ ЕЕ ЧЗСТЕй. Пусть, например, требуется Определить момент инерции слОжиой фиГуры Относительно оси а (рнс. 22): (2.38) Разобьем фигуру на простые составляющие 1, Л и П1, например так, кзк покззанО нз рисунке. При Вычислении интеграла (2.18) бу" ДЕМ ПОСЛСДОВЗТСЛЬНО СУММИ- рОВзть прОизведения у Ю, у ~~с~ Охватывая площади Ро Ру~ Рз простых фигур.
ТОгдз [ ф /, = ~ р'й~ + — л * ' +~р'~~+ ~ф~. Рис. 22 Рис 23 ф' 3~„ Очевидно, каждый из интегралов правой части представляет собой момент инерции соответствующей простой фигуры. Следова*ельно, 1, =,7.-+ Х~'+ Х,". (~.~9) Если В сечении есть отверстие, егО обычно удобно считать частью фигуры с отрицательной площздьнх Например„сечение, показанное из рис. 23, мОжно разбить из дВе простые части — прЯмоугольник Ь х Й и отверстие радиуса г отрицательной площади. Тогда ЬИ 1 =.Х вЂ” Х 12 4 Пусть Известны моменты инерцнн фйгуры Относительно цейтральБь)х Осей 8, у: .( ) ЬЧР; Х„= ) ЬЧР; (и ) луку.
(2.26) Требуетсй Ойределйть мо(ые)(ты йнерцйи относительно Осей, йараллельных центральнь)м (рис. 24): Х„=- ~ ЬЧР; 4, ~ лй(Р; У„„, — ) л,у,й'. (2.2() )и Коордйнаты л)обуй точкй в йовОЙ сйстеме а(О)у2 мой(но выразить через координаты в старых Осях так." з, = з+ Ь", ф» = и+ о. Подставляем этй значении в формулы (2.21) й интегрируем почленно: 1, — ~ уЧР— ) (у+ а)'йР— ) уЧР+ а' ~ аР+ 2а ) уаР; (2,22) Х„, ) л(йр=) (и+Ь)ааР ) кЧР+Ь'~ИР+2Ь) лау; (2 23) К Р' Р )и Х»,„-) г1уа(Р= ) (л+Ь)(у+а)аР ) куар+ау) аР+ Тлк как ииаилралы )удР - 8, и) лар Я„риалы кулю клк статйческие момеиты Относительно центральных Осей~ тО формулы (2.22), (2.23), (2.24) с учетом фОрмул (2.2О) йрииимэк)т Вид У,, = 1, + а'Р; Х~,= Х,+Ь'Г; 1,,— 7„,+аЬР.
Отметим, что координаты а, Ь, Входйщие в формулу (2,26), следует подставлить с учетОм нх зиака. Формулы (2.25) показывани, что нз всех моментов инерции относительно рида параллельных осей цейтральные моменты ййерцйй будут наименыпими. Вычислим момент инерций дВутаВрОВОГО сечений отйосительйо центральной осй У (рйс. 25). Сечение, состойщее из двух Одинаковых пОлОк Ь х о й стенки ~1 )( ~, разбиваем на зти три прОстые части.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
