Писаренко Г.С. Сопротивление материалов (1075902), страница 4
Текст из файла (страница 4)
ТОГда У, = х,'+ х."+4". Момент инерции полки относительно оси г на основании формулы (2.25) Момент инерции стеики Л ~"1 Х, = —. 12 ИскОмый момент инерции двутавра (2.2У) Определим центробежный мОмент инерции и р и м О у Г О л ьн о Г о т р е у Г о л ь н и к а относительно осей г, у(рис. 26), совпадакхцнх с катетамй„в тайже Отйосйтельйо центральных Осей й~, уе, параллельных йм. Выделим элементарную плОЩЯдку В ВНДе пОлОски шнрйнОЙ Ь(у) н ВысотОЙ Иф. ПлопРдь ее Ю=Ь(у)ду= — "„" Жу. Центробежный момент инерции Относительно осей г, у Г а — »» а — у 3„= АР= ~ ьу Ыу= 2Ь а Д (Й У) ИУ 24 ° ь~ Г ЬЧР (2.28) Момент инерции относительно центральных осей г„у на оь йоаании формулы (2.26) У = Х,„— аф Р„ Пусть известны моменты инерции пронзаольнои фигуры (рис.
27) Относительно йоордииатных осей з, »»: у = ~у~уу; 1„= ~ албуу~ Х„~ ~ууу. (2.30) ПОВерйем Оси 3, У на уГОл Я протиВ чзсо- Д ВОЙ стрелйй, счйтзя усол поиоротз Осей и этОм нзпрзиленйи положительным. Найдем Уу ТЕПЕРЬ МОМЕ»»ТЬ» ИНЕРЦИИ СЕЧЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬ- Ф нО пОВернутых Осей т» у»". У д жЛ л Х» ~ууу; 1„, = ~ г,уу; у,~, ту1уу. (2.31) Коорлинзты произйольноЙ элементзриой пло»цадки В НОВых Осях а», у» Вырзжз»отся через йоординзты й, у прежйей сйстемы Осей следу»О»ц»»м образом: Т» = ОС = ОЕ + АВ = 3 О:6 Ф + Д ЯП Я~ у» = ВС = В1) — ЕЛ = у СОВ а — г ЯП а.
(2„32) Подстзййм эти значений В Выражении (2.31) и проннтесрйруем /~ ~(усова — ив!па)'уу сов'и~уЧР+ + а|п Ф а'И' — 81п 2и худа, вв, ~ (всоси + уввп аггее ввпва ~ увуу+ + сжв и ~ ввоу + ап уи ) вуоу; Хов, = ~(всоси+ ус~пи)вусова — вв1па1оу Всвов и — ввп*и) ~ вуоу + — ввп уа ~~ успев — '1 ввоу) .
1,, = 1,СОРа+ Х„йп'а — Х,„Я1п 2и; 1~, =- Х,Я'П'Ф+ У„СОВ'Ф+ Х„у 81П 2Ф; Х..у. = 3,„сок 2Я вЂ” — (Х вЂ” Х,,) Яп 2а. 1 (2.34) (2.35) Отметим, что формулы (2.34) и (2.35), полученные при повороте лзсбоЙ системы прймоуГОльнык Осей, естестВенно, справеДлиВы й для центральных Осей. СклзДыВЗЯ пОчленно формулы (2.34)„нахОДйм ~„+~„= ~,+~,=-~,. (2.36) Обрааомг при повороте прямоуГольнык Осей сумма моментов инерции не иаменяется и равна полярному мОменту инерции ОтнОсительно начала КООрдийат.
При повороте сйстемы Осей йз уГОл с~ = 90' 1,, = 3'~; Хр„-— У,;, 3,,у, — — — 3щ. Наибольшее практическое Значение имеют Главные центральные Оси, центробежный мОмент инерпии Относительно которых рзВен йулю. БуДем Обоайзчзть такйе осй буквамй и, о. СлеДОВате~ьно, 1~, О. ЧтОбы опреДелить положение Главных центральных Осей нссим- МЕТРИЧИОЙ фИГУРЫг ПОВЕРНЕМ ПРОИВВОЛЬНЯО НЗЧЗЛЬНУЮ СИСТЕМУ центральньи Осей ав у (рис.
28) на некоторый уГОл Я„г при котором центробежный мОмент йнерции стайОВитсй рзВным йулкй Х,„„, = А у = О. Ч'огда нз формулы (2.35) Х,~, = Х~саа2к,— ~в!пса, О, Я» — 1~ ПОлученные нз формулы (2.38) ДВВ значении угла Яр Отличаклса друг от друга На 9О' н дани положение главных осей. Как легко видеть, меныпий из этих углов по абсолотнозх Величине не превышает —..В дальней- 4 шем будем пользовзтьсй тОлько меньшим углом. Проведенную под этим углОм (полО- жительным или отрицательным) главиув ось будем обозначать буквой и.
Напомним„ б что Отрицательные углы яе Откладываются От Оси й пО хОду чзсОВОЙ стрелки. Нз рнс. 29 приведены некоторые примеры обо- 3ВКФ. 2$ значения главных Осей В соотВетствии с указанным правилом. Начальные Оси Обозначены букВзмн ж и У. Значения главнЫХ моментов инерции можно получить нз ой~их фОрмул (2.34) перехоДЗ к пОВернутым ОсЯм, принЯВ Я = и,: Хд — — Х, СОВ'Яр+ 3 З1П'߄— 1щ31П 2й„' (2.М) У„= /, НП' а, + Х„СОЗРа~+ Х,~ З|П 2а~.
причем в выражении (2.41) сделана замена 1,„из формулы (2.Щ: 2Х,„= (Х вЂ” 1,) $д 2а~. Теперьнзформул «2.4О) и «2.41) находим более удобные выраже- причем верхние знаки следует брать при У, =~ Х~, а нижние — при Х, «".Х„, Таким образом, формулы (2.38), (2.43) и (2.44) позволиют определять положение славных осен н величины славных центральных МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ, М Если теперь ам~сто произвольной началь- иОЙ системы центральных Осей йОУ принять славные оси (рис. 30)„то формулы (2.34), (2,35) перехода к повернутым Осйм упроща- КЗТСЯ-' д А~, = У„сов'а+ У,з1п~а", Х„, = У„з1п~ а + 1„сов~ а; (2.45) Фие.
М 4;,у, -- — (,ӄ— Х,) 31п 2а. 1 ВажнО отметить, что Главные моменты инерции ОбладЯОт свОЙ- ствОМ Экстремальности. В зтом леГко убедитьсЯ, проднффереициро. ВВВ Выражение для момента инерции Относительно произвольной оси «см. формулы (2.34)) по переменной а: ~У,. — „~~- = — Х, а~п 2а + У„з1П 2а — 2Х,~ савв 2а =- / — 1~ — 2 3 ссв2а — ' яп2а = — И.~.. ~У Огсюда следует, что производная — „„" обращается в нуль, когда е~у у О 3 этО значит» чтО экстремальные значения имеют мОменты инерции относительно главных осей.
УчитыВзй, что сумма МОмеитоВ инерции ОтноснтельнО дВух язвим" но перпендикулярных Осей — Величина постояиная, МОжно заключить, что относительно одной из главных осей момент инерции имеет максимальное значение, а о~носи~е~~~о другой — минимальное. От~~тим, что п~о~кос~и, проведенные через Ось ~~~р~нй и главные Оси инерции его пОперечиого сечения, называют злпайыми ПЛОСКООПЯМИ. Вычисление моментов инерции по формулам (2.45) илн (2.43), (2.44) можно заменить простым графическим построением.
При этом различают прямую и обратную задачи. Перва~ заключаетсй и определении моментов инерции относительно произвольных центральных осей г, у по известным направлениям главных осей и величинам главных центральнь|х моментов инерции (формулы (2.45) 1. Во Второй задаче, имеющей наиболыпее практическое значение, определяют положение главных осей и величины главных центральных моментов инерции по известным моментам инерции Х„Х,„Х,у относительно любой сис~е~~ прямоугольных центральных осей Ц~фмулы (2.43), (2.44) и (2.38) 1, П р Я м 3 Я 3 а Д а ч а. Пусть трсбуетсй ОпреДелить мОменты инерции У„Х~, 1,„относительно осей г, у (рис.
31, а) по известным изправленийм глазовых Осей н Величинам .~„,,~,. Длй определенности полагаем У„ .~ 1„. Аналитическое решение дается формулами (2.45). Графическое построение ОсуЩествлйют следу1ОЩНМ образом. Введем в рассмотрение геометрическую плоскость и отнесем ее к прямоугольной системе координат. По оси абсцисс будем Откладывать осевые моменты инерции Х„(У„, 1„, Я„1 и т. д.), а по оси ординат — центробежные Х„о (У,„и т. Д.). В соответствукхцем масш~абе откладываем от и~чав кООрдинат О вдоль оси абсцисс (рис.
31, б) отрезки ОА и ОВ, равные слави момент инерции. О резок АВ де Ола, т что ВС = СА — "". Иа точки С радиусом СА описываем окруж- 2 ность, называемую кругом иигрцаа. Для Определения момента инерции относительно оси а, проведенной под углом а к главной оси и, из центра круга под углом 2и проводим луч СВ, (положительные углы Откладываем против ~асовоЙ сгрелкн). Пока~ем, что Ордината точки .О, круга равна центробежному МОМЕНТУ ИНЕРЦИИ Урга а абСЦНССа — МОМЕНТУ ИНЕРЦИИ ОТНОСИТЕЛЬНО данной оси з.
Имеем = У„СОУсг+ /„з1п'а. (2.47) На основании формулы (2,45) видим, что Щ, = 1,. Таким образом, в соо*ветствующем масцггабе абсциссы точек круга инерции дают нам значения Осевых моментов инерциие а Ордннаты — центробежных. Чтобы получить значение момента инерции относительно оси у, перпендикулярной к Оси а и, следо~ательно, проведенной под полОжительным углом 1л = са + — к главной Оси и, проводим нз 2 Иеитра круга луч СВг под углом ф = а ~а + — ).
Очевидно, ои ~алие~си пРодолжением ЛУча СХ)д. Абсцисса ~очки В„(ОТРезок ОК ) равна моменту инерции 1„. Ордината атой точки К О„дает нам значение центробежного момента инерции с обратным знаком ( — 1,г), что соответствует повороту осей на 9О'.
О* им, что Д у взаимно пер Д улЯрным Осям с ствуют две точки круга (В„О„), лежащие на одном диаметре. Проведем из точки О, прямую (цл.риховая линия на рис. 31, б), параллельную оси г, которой она и соответствует. Точка М ее пересечения с кругом называется полюсом круга инерции '. Легко показать, чтО линия„соединЯющая полюс с любОЙ 'гочкОЙ кРУгаа дает ' Иногда эту точку назыаауот глааной уууочкод или фукугом круга пнгрчии. направление осн, котороЙ эта точка круга с~ответ~~~уе~. Покажем, например, что прнман МА дает направление главной оси и. По построению угол АСХ), равен удвоенному углу а между осими и н г. Угол Х3,МА, как вписанный н опирзвщнйсн на ту же Дугу АВ„равен половние центральнОгО угла АСВ„т.
е. Ф. СледовательнО, линиЯ МА, состзвлнющаЯ с нзпрзВленнем Осн а угол а, параллельна оси и. Аналогично, прнман МВ параллельна главной Обр 3 т н з и 3 3 Да ч 3. Пусть известны моменты инерции 1„1„, Х® площади сечении бруса относительно некоторой системы перпендикулнрных Осей Я, Д (рис. 32, и)* Требуетси Определить главные моменты инерции н положение главных осей. Для определенности построения примем, что Х, ": 1~, 1,,:> О. В геометрической плоскос~и фнс. 32, б) строим точки .О, и В~, соответству~ощне моментам инерции относительно осей У и ф, Абсцнссами этих точек Явдщотси осевые моменты инерции: ОК, = Х~; ОК, =,Уд", ОрДинзтамн — Центробежный мОмент инерции Ад~причем К~В~ = Угу, КуОр = — Ду, Ч'зк кзк обетОчки пфииздлежзт одно~у днзме~ру, то, соединив их„подучим центр С круга инерции.
Из центра С описываем окружность радиусом СО, = СЕ~ = ' " + 4т,. ' (2.46) Она пересекает ось абсцисс в точках А и В. Очевидно„что абсциссы этих Точек — отреэкн ОА и О — н есть искомые главные моменты инерции Х„„1 В самом деле: ОА = ОК„+ К„С+ СЛ = 1„+ — ': — ~-+ ~/ ~ — '-2 — М-) + 1' = ~ Ф, + ~„) + ~0, — 4,)'+ 4~ ' ь лельнув осн г (у), до пересечений с кругом В фокусе М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
