Писаренко Г.С. Сопротивление материалов (1075902), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Выбираем проиэвольные сечения: 1(т на участке А1;» (О < «р «, Х"); «'«а иа участке 1СС (30~ а, «р 4; 90«); Фнс. ЗУ Ка на участке СВ (90' «ь «р < ИЮ; нли О < 11 < 90). Очевидно, на участке ВС удобнее пользоваться углом (1 = 18(~% — «р. Записываем для атнх сечений выражения М («р)„«,"»» («р) и Ф («р): 1»часток А1.» М(«р) =2,68 ° 2(1 — сов«р) = 6,36(1 — соыф ««» («р) = 2,68 а1п «р; (3.$$) Ж («р) = 2,68 соа «р," З»часток ВС М («р) = 2,68 ° 2 (1 — с«н «р) — 1 ° 2 (1 — сов («р — 30'Я," (~ («р) = 2,63 в1п «р — 1 ° а(н («р — ЗО'); Ф («р) = 2,68 сов «р — 1 ° ссе (гр — ЗО«'); М(Щ = 0,18 - 2(1 — с«»а Я+ О,Ь ° 2в(п(1; ЮФ) = — 0,18а1п)) — О,бс«бф; (ЗЩ Ф(р) = 0,13соар — О,Ьз1п11, нлн, поскольку () = 180'- «р, то см р = — соа «р, а в1п ф = а1п «р и тогда М(«р) 0,36 (1 + сов «р) + яп «)1 Ц(«р) = — 0,18$1п «р+ О,Ь саз «р; (3.24) Ж («р) = — 0,18 сов «р — О,Ь з)п «р.
Выражения (3.24) приведены для того, чтобы можно было осуществ««ть проверку, так как дифференц««р«»ванне ведется ПО углу «р, кот«фый дОлжен отсчить«- ватъся П1»Отив часовой стрелки, Для вычислен««й же уЯюбнее Формулы (3,23), так квк угол 11 острый, а «р — тупой. 3. Подставляя выражения (3.21)„(3.22) и (3.24) в формулы (3.13) — (З.Щ $'беждаемся в ик правильности, Например, для выражений (3.24) — — = — (-0,36 а(п «р+ сов «р) = Я («р); 1 «1М 1 Ю «1«р 2 — = — 0,18соз «Р-О,5 з1п «В = Ф («Р). Щ 4, Пользуясь Форыулзмй (3,21) — (3.23), составляем таблицы значений М, (1 и 1т': табл. 6 — для участка АО; табл. 7 — для 0С; табл. 8 — для ВС'. Откладываем вычисленные ординаты нз эпюрах М, Ф и Я (рис.
87, б). 5. По веерам отложенных ординат обнаруживаем. что () обрз«цается в нуль только в сечении А. Значит, только для этого сечения касательные к эпюрам М и Ж будут перпендикулярны к радиусу стержня. На эпюре «««' кривая, мыслейпо проведенная через вершины ординат, два раза проходит через нуль: на участке ОС и иа участке ВС. Пользуясь формулзмй (3.22) и (3.23), находим угловые координаты этих точек," иа участкеоС 2,68 сов Е, — соз («р„— 30') =- О; 2,68 соз «7«« — сов 30' ° соз щ, — мп 30' «з(п «р«„= О; 1,81 сов«р = 0,5з1п «1«6,' 1„81 1йщ,= — ". = 3,62; «~ = 74 35'; з1п «р„= 0,964, 0,5 Я „= Ц («р««) = 2,68 з1п «в, — яп («7 — 30') =2,68 ° 0„964 — з1п44'35' = 1,88 тс; иа участке ВС 0,18 соз Р«« — 0.5 з1п ()««О; 1д Р««0.36: Р««19' 45', з(п()„=0,338; соз1), 0,941, Я„,щ = (~ ф««) — 0,18 з(п Ц вЂ” 0,5 соз ()« = =» — (0,18 ° 0,338+ 0,5 ° 0,941) тс == — 0,53 тс.
6. Откладываем Ордййзты Я „й Я„м«й проводим крйвь«е эпюр (рис. 87, б). 7, Анализируем эпюры с точки зрения Об«цйх с~ОЙ~~в: а в шарнирах А и В моменг М = О; ) )«сечении С приложен момент М = 3 тс * м и на эпюре получается скачок нз эту величину„ в) в сечении С приложена сила 2 тс, чему на эпюре 9 отвечает скачок, а на эпюрах М и «««' — переломы; г) в сечении 0 приложена сила 1 тс, чему на ' пюре Ж отвечает скачок, а на эпюре Я вЂ” перелом; д) в сечений А усилие 9 = О н касательйые в этой точке к эпюрам М и Л« вертикаль««ы (перпендикулярны к Радиусу); е) в сечениях «р — — «ра и 1)=()„усилие У = О и на зпюре () в этих сечениях есть экстрем~ыы» ж) на участке АС усилие Я» О, М возрастает„а «т" убывает (если двигаться ВДОль стержня в направлении Отсчета 9«» т.
е* из тОчки А против часовой стрелки); на участке СВ усилие () С О, М убывает, а Ф возрастает; з) на участке О «р я, «р и 0 ~ р «4 1)0 усилие «т > О и () возрастает, а на участке ме«кду «р, и ()„Ф < О и Д убывает; и) значения () и В в сечениях А и В соответствуют величинам ОПОР ных реак" цйй. х Здесь и далее цифры в квадратных скобках, номе«ценные в головках таблиц, указывают значение соответствующей графы.
а В=(Т(+ + (»»1 ~»а 0,18 0,17 О',16 О',13 0,09 О,'Об О 0,18 О',04 — 0,09 — 0,22 — 0,34 — 0„43 -О",50 Π— 0,13 — 0,2б — 0,35 — 0,43 — О 48 — 0.50 — 0,50 — О',53 О 52 0,48 -0*,41 -0,*30 -О',18 -0,50 — 0,48 — 0,43 — 0,35 О 25 — О,'13 О Если стержень имеет прямолинейные и криволинейные участки, тО иа прямолинейных участках эпюры строят тзк, кзк для балок или рам, а на криволинейнь(х» — как было показано В предьццщем примере.
В конструкциях Встречаются стержни» Оси кОторь(х не лежат В ОдноЙ плбскОсти, а также и плоские системы, находящиеся пОд воздействием пространственной нагрузки, В поперечных сечениях У таких систем могут дей" Ю стВовать Все шесть Внут-у' ренних силОВых Фактом ров: Ж„Я„(;(„М„М„ М, (сы. рис. 40). ( методикой НОстрОе. » е ния эпюр В этом случае познакомимся на примере стержия» Ось кОторогО Ф предстаВляет собОЙ прО" странственную ломаную х линию (рис.
88). Усло- д' НИМСЯ ПРИ ПЕРЕХОДЕ ОТ П одного стержня сисгемы Рж. $6 к другому совмещать Ось Л С ОСЬЮ РассматРНВЗЕ- мого стержня, соответствет(но располагая положительные направления осей у и г (рис. 88, а, 6). Эпюры изгибающих моментов по-прежнему будем строить на СЖЗТЫХ ВОЛОКНЗХ, ПРИЧЕМ О~О((ЕйШИРОЗОПН» ИХ йУЖйо ШОК» Ч»ПОбЫ ПЛОСКООЯЬ ЭПЮ~М4 ООЗПОд((ЛО О ПМОСКООЗПЬО дЫОИВЙЛ ПОРЫ П(О8О ЙЖИ- 6((юи(ГЗО момейпш, длл йоп(О~РОГО Ойй пООп(роейй. Знак изгибзкчцего момента ~води~си произвольно и притом ~~л~~о в случае необхо- димосГЙ записать сООтБетствующее урзВиение (как для плОских рам и криволинейных стержней). Для продОльиых сил и крутящих мо ментов сохраняются прежние правила знаков. Эпюры Ж и Ми» мо.
туг быть ориентированы как у~одно, но ординаты всегда откладывают по нормали к оси стержня. Поперечные силы в сечении считаем положительнымй, если их направления совпздйнуГ с пОлОжи" тельными направлениями Осей у и х, Построение начинаем с участка АВ. Для произвольного сечения, »»аходя»цегося йз расстояний х От точкй В, определяем результат действйя сйл, расположенйых Слева от сечеййя (т. е. силы Р й равнодействующей распределеннОЙ нагрузки д): Ф вЂ” О, Я„= — д(1» — х)„~ = — Р; М риниО; М, = ~ ' (сжаты нижние волокна)", М = Р(»» — х) (сжаты левые волокна). В сечении В (при х = О) Ф= О; Я»,=- — ф», (~,= — Р; М,щ— - О, М= » М=Р1 ° По этйм даййым стройм эпюры для участка АВ (рис. 89). Пара момента М, действует в вертикальной плоскости ху, в этой плоскос- ти и ориентируем параболическую эпюру.
Пара момента М„действует в горизонтальБОЙ плоскости ха, в этОЙ плоскости и Ориенти руем треугольную эпюру М . Переходим к участку ВС. Проекцию на ось стержня дает ттаько распределенная нагрузка, значит Й = 4» и эпюра Ф на участке ВС прямоугольна, Легко видеть, что Я, = О, а ф, = — Р, следовательно эпюра ( ~у прямоугольнз л»омент относительно оси стержня получается только от силы Р, причем к верхней стороне любого сечения он приложен против ча- совОЙ С~релк~ (смотреть сййау вверх, т. е. Бротйв направления оси М, = — Р1„ и эпюРВ М~р зДесь пРЯмоУГОльна Зпюры изгибающих моментов М„и М, на участке ВС прямолинейны, поскольку распределенной нагрузки на нем нет.
Следамтсльно, достаточно вычислить значения изгибагощих моментов в двух сечениях„например в В и С В сечении В момент М, = О, так как и сила Р и равнодействующая распределенной нагрузки проходят через Ось т этОГО сечения, В сечении С М, = Р1,. Равнодействующая распределепной иаГрузки момента М~ ие дает и в этом сечении, так как пересекает Ось .т сечения С.
По этим данным строим треугольник эпюры М, (рис. 89) на сжатых Волокнах, располагая его в плоскости ху, в которой действует пара изгибающего момента МДля изгибающего момента М, в сечениях В и С ~ф~ М =А. — '= —. 2 2 Сила Р не дает момента относительно осей у в сечениях В и С, так как Она иаРаллельна этим ОСЯМ. Следовательно, эпюРа Мр на участке ВС прямоугольна.
На рис. 89 прямоугольник построен на сжатых ВОЛОкнах и распОЛВГается в плОскОсти ха. Остало~ь построить эпюры на участке СВ. На Ось х проектируется только сила Р, причем она вызывает сжатие. Поэтому здесь У= — Р и эпюра продольных сил прямоугольна. В пРоизвольном сечении участка Я~ = 0~ а Яр = ф~~ сле довательно~ эпюра (~у прямоуГОльна, Мо е О ь и х получа я ко дей ия Ч (Р параллельна оси х), причем, согласно принятому правилу знаков для крутящих МОментоВ, этОт мОмент Отрийателен".
М,р= — ф, ° 21 = — —. Эпюра М„, вновь получается прямоугольной. Поскольку эпюры изгибающих моментов М„и М, будут прямолинейными, вычислим их значения только в двух сечениях — в СИ В: 0 сечении С М, = Р ° ВС = Р1~ (сжаты нижние волокна); М„= Р ° АВ = Р1, (сжаты левые волокна); изрибающих и крутящих моментов, продольной и поперечной сил. В качестве иллюстрации показанн усилия и моменты В сечении О (рис. 9О).
Пример Л. Построим эпэзры для пространственно загруженного криволинейного стержни (рпс. 91, а), расположенного в горизонтальной плоскости. Сечения 6ГО (например, покззаниое на рисунк6 пунктиром прямоуГОльное) такОВы, чтО одна из ~л~вн~х центральных осей ф совпадает с найравленпем радиуса, проведенного в центр тяжести (ц. т.) сечения„а вторая — а — вертикальна.
Касательная к окружности дает для каждого сечения направление оси стержня (оси 4. Сила Г" вертикальна, а внешний момент М приложен в плоскости концевого сещнпя А. 7'аблача У 0,707 0,707 6660 — 340 6660 0,259 0,966 7730 1730 й)70 0,966 0,259 2070 — 393О 7730 В данном случае, чгобы построить анказы, нужно ввести угловую координату ф и записать Выражения для усилий и моментов. При атом йрОще рассматривать проекцию стержня нз Горизонтальную плоскость (рпс, 91, 6). Ось 8 тОГДВ сОВ- падает с точкой С и отмечена точкой в кружочке, а сила Р— с точкой А и отмечена крестиком в кружочке; приложенный Внешний мамепт представлен в виде Вектора-МОмента, рассмотрев результат действия приложенных к стержню сил в текущем сечении С, получим й«(у) = '«',)( = 0; О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
