Писаренко Г.С. Сопротивление материалов (1075902), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Для вычисления усилий и моментов от такой нагрузки полезно и~е~ь в виду следую1цу1О теорему: фиайадейс1нау10иф~ фиэйол1ерйо ~~исиределеййой йируэйи> ~~>илгхиеййОЙ и ду~е л1обоео Оче~глийил> ~Риайй щюи3дВдВйию 88личийы ийхпейсидйосяи йщ) ужи йй длийу Щади> сиЯГиайиЩГЙ Я71у дну, ИГ~РисйдикулЯ,Рйй к зиои хО17дГ и Щ9О- ходиш чВ~мз Гю ссрВдийу. Для доказательства рассмотрим произвольный плоский криволинейный стержень АСВ загруженный равномерно распределенной нагрузкой интенсивности д (рис. 80).
Выделим элемент дуги й, центр которого имеет координаты х и у, а касательная к дуге в точке х, у Образует с осью абсцисс угол а. На этот элемент дейсгвует сила фй, составляющая которой по Оси х равна фй 81п с~, а по Оси у — фЬ соз с~. ИО ~Ь соз© = ~Ь> а 4Ь з1п а = ду, поэтому составляю1цие будут соответственно равны у~у и дух (рис.
8О). Обозначим равнодействую1цую нагрузки (т. е. элементарных снл фа) через Р. Проекция Р„равнодействую1цей на ось х равна сумме О 10 20 30 40 50 60 70 80 90 О 0,174 0,342 0,500 0,643 0,766 0,866 0,940 0,985 1,'ООО 1,000 0„985 0,"940 0'866 0,766 0,643 О',500 0,342 0,174 0' 0„500 0,498 0,470 0,433 О,'383 0,322 0,250 О',171 0,087 О* 1,000 1,072 1,'1!1 1,'1 16 1',088 1',026 0,933 0,812 0,672 О',5 — 0,500 — 0,324 — 0,128 0,*067 О 260 0,444 О',616 0„769 0,898 1,'ООΠΠ— 0,072 О„'111 — О",1 16 -О',088 — О,*О26 О',067 О',188 0,328 0,500 проекций элементарных сил фй„т. е.
сумме фф: Р„= дду=д ду=д ду=О. 6 Аналогично находим, что проекция равнодействующей на ось у г„= ~ ем=-д~ а*=д~ш-д~. АСВ А О Отсюда видно, что равнодейсчвукзцая Р =Р„=- ф, т. е. раВнз произведению Величины интенсивности нагрузки нз длину хорды 1, стягивающей дугу АСВ. Так как Р„= О, тО равнодействуюп~ая перпендикулярна к Оси х» т.
е. к хорде„поскольку Ось х нзпраВленз по хорде. Теперь вычислим сумму моментов элементарных сил относительно начала координат: — у ~ к~к+ ~ ~ в~ — " . О О Пу~~~ п~ечо равиодейству~щей О~н~си~~~~но нача~~ координат рзВИО хр. Тогда по теореме 0 моменте равнодействукхцей дР Рх~*= ~ИЛ, или ф х~ =— Откуда хР = —. Значит, равнодействующая прОХОдит через середину хорды. Теорема до~азана. В качестве иллюстрации применения этОЙ теоремы рассмотрим следующий пример, Найдем выражения для изгибакхдего момента, поперечной и проДольной сил В сечен~Их кругового криволинейно~о стержня АС (рис.
81, а), загруженного на части АВ равномерно распределенной нагрузкой (считаем заданными величины д, К а и р). В этом примере криволинейный стержень имеет два участка— АВ и ВС. В произвольном сечении В~ на участке АВ (О:", ~р с а) вычисляем усилия и моменты кзк результат действия нагрузки, прило" женной к Дуге АВ,. Равнодействующая этой нагрузки Р, =- д ° Ао, = 2дК з1п ~' перпендикулярна к хорде АВ$ и проходит через ее середину, следовательно, направлена по биссектрисе угла АОВ,. Поэтому при Усилия и иэгибающий момюит в п~эоиааОльиом саннии В, участка ВС (а ~.' 1г < Щ являются Роз ультатом дюйствия всей Распрсделйииой иагруэки.
Ей Равиодействую- щая Р =-ц ° АВ= 2дйз1п— 2 псрпбнДикулярна к хорДФ АВ и направлена по биссюктрис6 угла АОВ, Поэтому при сс ~" Рис. $$ ~ «р *~ ф Ф ар) = — рвв в! и (П вЂ” — ) — Яда в ~и — в~в р — — ); сс 1 а 1 а1„ 2/ 2 ~ я1' (~(ф) = Р, СОВ ф — я / = 2ф~ 81П вЂ” СОВ ~ф — ~ / ', (Зв И) Мйрр-Р,.
врК= Рвррввп~~р — в ) =2рввв~п в в~п~вр- в ). Задавшись величинами углов а и р, вычислим аначвиия Ф ®, (~1 (чр) и М (4 при различных аначениях 1~ и построим эпюри. Зна- Пусть на криволинейный стерженьх действует проиавольная иагруака (рие. 82). Проведи два бееконечно бл««эких сечении под углами «р и «р + Йр, выделив«произвольный элемент АВ так, чтобь« в его пределах ие было сосредоточенных воэдейетвий. Положительный угол «р откладываем, как обычно, против часовой стрелки. Длина «Чтобм избежа«ъ несущественных„но усложни«он«их рассун«денни воиросоа о аиаках изгибакецих моментов, о«раничимся случаем схержия, оси которого не имеет точек иере«'иба, О 0,259 0,500 0,707 О',666 0„500 0.707 0,666 0,966 $„'ООО 0,000 0,034 0,134 0,293 0',500 0,866 0,707 0,500 0,259 О',000 0,000 О',034 0,134 0,293 О,ЯВ дуГи выделенноГО элемента Равна 6Ь, Радиус кривизны — Ф", цен" тральный УГОЛ соответствукмций дуГе АВ, Равен Иф.
В сечениях, ОГраничивающих элемент, действ)~ки' $фодольные лы Ф Ж+ дж, поперечные силы 0 и 6+ Щ, б цие менты М н М + йИ (рис. 8З), ааменяющие действие отброшенных частей СЩФкня. П(~и ~ы~оде эависимостей для криволинейноГО стержня будем нолаГать, что йаанбйямчнй мОФейш счйиижпсч йоложншсльйыи, сслн ой аызиаиеи Окйжйе бйфйцм'ййнх волокой ЙуюраГйя ('аолокой„рйсх16- .~О~Г~'ййыт йо аоайфй~й ~~~фойе), о фосн~ейлсййол йоафф.",ко йолоатиисльйй, сслн йифйалайй А ф'ййцуф Кйбйайи. Рассмотрим условия равновесия элемента (рнс.
83) — суммы н))оекций всех сил на Оси АВ и Щ соответственно и с~'мму моментов снл относительно точки В; ~~~'н .,„лв =- ф + дф а1п + + (У + дФ) соа — + — Дсоа — — Фа~и — ' — ф «АВ = О; 4ф . 4ф 2 2 (3. $2) ~~,МВ= — (М+аИ)+М+(~ ВС+Ф * АС+д ° АВ. — =О. ЯВ , Учитывая, что а1Н вЂ” —; Сов — = 1; дф Й~ . Лф 2 2 ' 2 Это и есть искомые дифференниальные зависимости при изгибе криволинейного стержня. ПоскОльку ЫЯ' =- 4Ь, их можно записать еще и В таком Виде; дй дй (3.16) (3.17) — = ф. ЙИ (3.16) Зависимости (3.13) — (3.15) позволяют прсверять правильность составления выражений для Ж (~р), Я (~р) и М (~р) при изгибе, в частности кругового криволинейного стержня.
Так, нетрудно убедиться, что выражения (3.9) — (3.11) в рассмотренных примерах составлены правильно. Иа формул (3.13) н (3.15) следует, что в сечениях, где М н Ж достигают экстремальных значений, Я =- О. Это обстоятельство дает Возможность В изВестной степени контролировать правил ь" ~ОСТ~ построения апюр Л', ~ н М. 'Хак, на эпюрах рис. 79, 6 В сечении Е, где Я =- О, момент М =- М „, а усилие Л~ =- Ф~„,.
Экстремальные значения М и Й можно нанти следующим Образом. Из второго уравнения (3.9) видно, что Я =- О, когда в)п ~ф — 0~5 соз~ = О, т. е., когда 1~(р = 0,5„ч = 26' 34'; яп ч = 0„447; соз ~р = О,894. Подстав~~ эти ~н~че~ия з~п ф и сов ч. В первое и Третье уравнения (3.9), найдем М„, = (1 — 0,894 — 0,5 0,447) РЯ = — 0,1 18РЯ; Ф„,„, = (0,894 + 0,5 ° 0„447) Р = 1,118Р.
ЭаВисимОсть (3.14) дает Возможность найти экстремальные точки На ЭПЮРЕ Я В ТЕХ СЕЧЕНИЯХ~ ГДЕ 9 = Яюа(с ИЛИ 9 " Яани Ж= — аг, (3.19) если сечение находится на участке стержня с распределенной нагрузкой, или Ь'= О, (3.26) если ~е~е~ие на~~дится на у~аст~е стер~~я без распределенной наГрузки. Вследствие этоГО, на рис. 79, например, усилие (~ ИНГДе недостигнет экстремальных значений (касательная к эпюре (~ нн в ~ак~й то~ке не буде~ параллельна касательной к Оси стержня В том же сечении), так как распределенной нагрузки нет, а Ф нигде не раВно нулю.
Заметим, что условия Д = О, (3.19) и (3.20) необходимы, но не достаточны для достижения функциями Ф (х), (~ (х) и М (х) экстремальных значений'„прн ВыпОлнении нх экстремума может и ие быть, тогда ве у Щей юре буд точка пер ба„при 1 касательная и апюре обяза~ельно буде~ параллель~а оси стержня в этом сечении Эпюры Ф, 9 и М для криволинейных стержней обладают следующими свойствами (часть их вытекает из определения Ф, Ц и М, остальные — из формул (3,13)— (3.15)1: 1) в концевой шарнирной опоре и на свободном конце консоли, если они И не ззГружены внешними моментами, Рме. $4 М =-О„ 2) в сечениях, где к стержню приложен сосредоточенный момент, на эпюре М будет скачок (рис. 84), причем касательиые к эпюре до скачка н за ним параллельны;, 3) в сечениях, где к стержню приложены сосредоточенные силы, норм е к и ржня (т.
е. апр н е по рад усу), на эпюре (~ будут скачки, а на эпюрах М и Ж вЂ” переломы (рис. 85); 4) в сечениях„Где приложены сосредоточенные силы, направленные по касательной к оси стержня, на эпюре Ф будут скачки, а на эпюрах 0 и М вЂ” переломы (рис. 86); 5) в сечениях, где (~ =- О, на эпюрах М и Ж будут экстремумы, т, е.
касательные к эпюрам буду~ параллельны ~а~а~~л~ным к осн стержня в этих сечениях (рис. 86»„ 6) в сечениях, где М = О, на эпюре (~ будут экстремумы (рис, 85); 7) на участках, где О, ~ О, М возрастает, а Ф убывает в напржлении отсчетз тр; тзм же, где (~ <'„О, М убывает, а Ф возрастает (рис, 85 и 86); 8) на участках, где Ж ". О, Я возрастает в направлении отсчета В а где Ф:: О, 9 убывает (рис. 85 и 86). Ирамер Уд, Построить зпвры М, (~ и сдлп стержня, покеззпиоого нз рис.
87„а, 1, Определяем опорпые реакции: ~~~,Мд= — Ра ° 4 — 3+2 ° 2 — 1 ° 2(1 — созЗО')= О; Ра= О,И тц ~~»'Мл —— — 2 ° 2 — 3 — 1 ° 2 (1+ с«в Эу) + 1«л ° 4= Ц Д~ — — 2„68 т«" ~~Ма== — 0,18.2 — Нн. 2 — 3 — 1 ° 2(1 — а1п ЗО') + 2,68 ° 2= О; Нн = О,бта. Проверка: „"~ Х = О,Ь вЂ” 1 ° сов 60 = О,Ь вЂ” О,Ь О; ~~~У= — 0,18 + 2+ 1 ° сов М' — 2„68 = 2,87 — 2,86 = 0,01 тс. Погрен»ность в 0,4«)«» получилась вследствие округлений. 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
