Писаренко Г.С. Сопротивление материалов (1075902), страница 13
Текст из файла (страница 13)
(р) = р, (»„(ф = 0; М,(р) = '«"М,=О. в сечении 0 М, = Р ° БС + «Д ° П» = Р1, + 4А (сжаты нижние волокна); М„= Р Я,в = Р1, (сжапа левме волокна). По этим данным стфоим прямоугольную эп~фу изгибающего ~омен~а Мя В горизонтальной плОскости и трапециевиднУю эпкфУ изгибающего мом~~та М, в Веотикальной плос~~сти. ПОльзуясь пост()оеиными эпюрами ((эис. «6), можнО В любОм сечении пространственного стержни найти Величины и иапршления Изгибакзц««й момент М = Ма и крутящий М = М от силы Р вычислим, умножая Р на соответствузхцне плечи: АВ = К з«п«р н АЕ = суС = Ю (1 — соз«р). Чтобы вычислить составлякхцие М и М„„от действия момента М, перенесем мысленно вектор Мд в точку С (рис.
9!, 6). Проекции этого вектора на оси у и х дадут соответственно составляющие изгибьчощего и крутящего моне«ггов в ао сечении С. Придерживаясь принятого правила знаков для М„„н считая М положительным, есаи он вызывает сжатие в нижних волокнах стержня, получим следующее' М («р) М, («р) = Ртт зтп «р + Мл з«п «р = (РД'+ Мд) з1п «р; М„з («р) = Мз («р) ° — РА'(« — соз «р) + Мл соз «р = (Рк+ МА) соз «р — И(. Прк Р=200 кгс, М « — — 2000 кгс ° см, К=ЗО см М («р) = еООО а1п «р кгс - см; М„(«р) ° (8000 с«и «р — бООО) к«с * см. О~ставляем таблицу (табл. 9) и по полученным данным строим эпторы М и М„(рнс.
92). Иногда зп«оры для пространственно загруженных криволинейных стержней ~троят не на проекции стержня, как это сделано иа рис. 92, а в перспективе (рис. 93). Как уже говорилось ($ И). в сечениях нагруженного стержня действутот непрерывно распределенные по сеченнто внутренние усилия. Приводя их к центру тяжести сечения, получаем главный вектор Я и главный мОмент М, проекции которых на главные централь» ные Осн сечения У, Я и Ось стержня х ДЯОт величины ту, (~~д О», Ма М Мзр и азываемьте Уси л и Я мн и мОментами В сечении, На рис. 94, а показаны распределенные по левой стороне сечения усилия, являкхциеся р«.";«ультатом действия правой части стержня (изображена тптриховой) на левуто, их главный вектор Ф и главный момент М. Вектор К представляет собой некоторукт сумму усилий, распределенных по всей плотдади сечет«ия.
Рассмотрим бескОнечнО малый элемент плОщади дР (рис. 94, б). В силу малости элемента можно считать, что внутренние усилия, прилОженные к его разлячицм точкам Одинаковы по Величине и изпрзвленикэ. Тогда раВнодейст" Ф Д Вукэщзя их бЯ будет проходить через центр тяжести элемента ~У', ! координатн которого равны д 3 а и ю. Следовательно, приводя эти ' ' х усилия к центру тяжести эле мента ЙГ, получим главный Век- + тОр Щ и главный мОмент рзв" ный нулкэ. а6 Проекниями 10~ нз Оси х, у, 8 д будут элементарная продольная Г -Ф а сиЛЗ дЛ и элементарные попереч" О Ю ные силы дЯаи Щ,.
Поскольку, как было сказано, усилия на эле- МЕНТЕ МОЖНО СЧНТЗТЬ РЗСПРЕДЕ- Ряс. 94 ленными равномерно, то, разделив величины ~Й~, Щ „и Щ, иа площадь дР, получим величины ПРОДОЛЬНЫХ И ПОПЕРЕЧНЫХ СИЛ, ПРИХОДЯЩИХСЯ На ЕДИНИЦУ ПЛО щади: Эти Величины називааэт напряжениями в точке у, г проведенного сечения стержня, причем а — нормальное напряженнее Т вЂ” К З С 3 Т Е Л Ь Н О Е НЗПРЯЖЕИ ИЕ.
Они измерякэтся В единицах силы„деленных нз квадрат длины. В расчетах О' н ъ' Всегда будем Выражать В кгс/см . При экспериментальных исследованиях свойств материалов, В тзкэке В справочных тзблипах напряжения частно Вырзжзкэт В кгс/мм . Таким Образом, Фии~РЯЯсГни8м йцзаюи73сл зиуирВйнял с~а, Фп" НВСГНЯи и едйнпЦГ лАОЩйди 6 дйнной иочкс РпссмЯПРЯмкмоео СОЧВ йпл.
Иногда кроме нормальных напряжениЙ а и касательных туФ та рассмзтриваиэт ице и ПОлиое напряжение р ~ (3.27) т. е. Величину полного усилия, приходящегося на единицу площади. Очевидно, а Сосласао СИ, яапраэкенаа, как н Лаааенна, йамарнет а пасааляа (П4 (см. $ 1ЗЭ, В Обп1ем случае нзгружения тела напряжения различны В рзз" ных точках сечения (кзк принятО Говорить, нэпряжения распределены по сечению неравномерно), но Встречается также и равномер- НОЕ РЗСПРЕДЕЛЕИИЕ НЗПРИЖЕНИЙ.
Понятие Фнапряжению> игрэет очень Важную роль В расчетах нэ прочность. Поэтому значительная часть курса сопротивления мзтерйалов отводйтся йзученй1О Способов вычисления йавряженйй О' И Т. Нетрудно устэиОвить Общие зависимости между О и т с ОдиОЙ стороны и Ж, 9„, (~„М„, 1И, и М„р — с другой. Исходя из определений для усйлий н моментов ($14) и учитывая г~овмулы (3.26), ИМЕЕМ В последнем выражении ъ" представляет собой полное касзтельИОе нэпряжеиие В точке рзссмзтриВземОЙ площади: 3 р — рзссГОянне От центра тяжестн сечения до линии действия 4Щ (рнс.
94, а). Полученные выражения (3.29) — (3.34)„устанавливающие связь между напряжениями н внутренними Усилиями„будем называть свшпйчВскими щР1ииеййямй или йнпмерйлэньикю цясякеииями фйз'- йбэеесия, Хотя величины кОмпонеитОВ Внутренних сил В лзсбом сечеиии стержня обычно леГкО Определить, например из эп1ор, Однако для практических расчетов полученные зависимости непосредственно использовать нельзя, тэк как закон распределения напряжений по сечени1О не известен.
СледОВательнО„задача Вычисления нзпряже" ний ВсеГда статически неопределима. Например» зная Величину изгибающего момента М„в сечении„нельзя найти нормэльнью нзпряжеиия из формул (3,32). Все же, еслй, пользуясь теми илн ннь$мп соображениями, удается устзнОВить ззкОН распределения и или ию, то по ф рму (3.29) — (3.34) можно най и са Величины напряжений, Выводить формулы для напряжений в стержнях будем всегда по такОЙ С~е~е; 1. Рассматриваем статическ~,ю сторону поставленной зздзчй, т. е. записываем те из уравнений (3.29) — (3.34), которые нужны ДЛЯ ВЫВОДЗ.
2. Рассматриваем геометрическую сгорону задачи: нз Ос~ов~ Опытного изученйя даййого Вида деформаций стержйя й Определенных гипотез (В частности, г~потезы плоских сеченйй) устанзвлйвзем зависимости между перемещениями точек стержня и их положеййем В сечеййй Отйосйтельйо принятой сйстемы координат'. Этй зависимости называют хомОприческими урпдйениями. 3.
Рассматриваем физическую сторону: базируясь нз эксперй" ментальном исследовании физических свойств материала, Опреде ляем зависимость между напряжениями и деформациями (или пе" РЕМЕЩЕНИЯМИ). ЭТИ ЗЗВИСИМОСТИ ИЗЗЫВЗЮТ фИЗМЧССКН»ИИ ЯЖИИ8ННЯ»ИМ* 4. Проводим синтез, т, е. Совместное решение уравнений, полученных В и. 1 — 3, н путем исключения деформзйий (нлн перемнце ний) пОлучаем формулы, Выражакицие напряжения через усилия ИЛИ МОМЕНТЫ В СЕЧЕНИИ» Растяжение или сжатие стержня вызывается силамн„действу~ощпми ВдОль его Оси.
В этОм случае В пОперечных сечениях стержня из шести Внутренних силовых факторов возникает только один— проДОЛЬИЗЯ (Осевая) сила Л». Простейший случай растяжения стержня и эшОрз продольных сил показаны нз рис. 95, и, б. ОсеВВЯ сила В сечении является рзвподействующей Возникающих В кзждОЙ из тОчек сечениЯ нормальных напряжений. Отсутствие поперечных сил дает ОсйОВзнне предположить, чтО касательные йапряжения В каждой ТОчке поперечного сечения равны нулю« Выведем Формулу для определения нормальных папряжепий.
Прн решении этой задачи будем придерживаться указанной в $ 26 ПОСЛЕДОВЗТЕЛЬНОСТН. Рассечем стержень прОНЗВОльным поперечным сечением и — и (рис. 95, а). Статическая сторона задачи выражается уже известным уравнением (З.Ю): Из уравнения (4.Ц нельзя определить величину о, так как закон распределения последних В точках поперечного сечення не изве- СТЕН. Рассмотрим геометрическую сторону задачи. При наблюдении деформации растяжения стержня, на поверхнОсти которого нане сены линни„перпендикулярные к осц бруса (рис.
95, а), можно ОтМЕтитвв ЧтО Этн ЛИННИ, СМЕЩЗЯСЬ ПаРаЛЛЕЛЬНО СаМИМ СЕбЕ, ОСтаются прЯмыми и перпендикулЯрными к Оси бруса. Предполагая что укззэниэя карти из перемещения сечений имеет место и внутри стержня, приходим к Гппотезе плоских сечений: поперечные сечения стержня„плоские до деформации, Остаются плоскими и после нее, перемещаясь посеупвяевьно вдоль оси сеержня. рллобьвщ Ещ ПЕ ЖЕНЬ На П О ОЛЬНЫЕ П ЧЛЕЛЬНЫЕ ОСИ СТЕ ЖН ЭЛЕМ бесконечно малых попе ечн е чь е шем назы" их золокнйми.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
