Писаренко Г.С. Сопротивление материалов (1075902), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Во Втором сос*ойййй (рис. 365, б) сйстема йагру~каетсй ОбобЩенйой нагруакой, ОтмеченйоЙ индексом 2, а перемещения соотаетстВующих точек системы от этой нагрузки будут Ь|„Л~, ..., Л,~. Капп~Нем Выражение Воаможных работ Внешййх й Внутренййх сйл Длй обойх состокний системы, ВВЯВ Длй перпого состойнйЯ В ка- Р,' для Второго состОяния Выражение (13.4О) носит название гпеоремы о вгаимносгпи рабст (теоремы Бетти). Онз формулпруетсн следующим образом: воамож- йаЯ раббгпа вн('кйих (или вйЦгпреййих1 сил сосгполйиЯ 1 йа переке и~сйиЯх сосгпоийиЯ 2 Равна воаможйоЙ Роост вйиййих (или вйаткреййчх) сил соГшОЯйиЯ 2 йа перемси~ейийх соОИОЯйиЯ 1. Применим теорему о взаимности работ к частному случаю нз" гружения, когда в обоих состолниих системы приложено по одной единичной обобщенной силе Р» 1 и Р, 1 в точках 1 и 2 (рис.
366). Нз основании формулы (13,4О) Я И РА» = РА ° 3 тзк кзн Р~ = Р» 1, б, = б„. (31А1) Р Выражение (13.41) носит название гпео2 реми О взаимйойии перемеи1ейий (теоремы Максвелла). Формулируетсн она так: пере«~р «меи1ейгж гпочки прилбжейия первой силы по ее Й~ЩРавлейиго визваййое дейсгпвием еп'0" рОЙ едийичйОЙ сили, равно йеремеи1ейию оьочки приложсейия втпбрОЙ силы ЯО ее йаг1равлекию, вьаваййому действием первой сдийичйОЙ сали. теоремы о взаймностй рвот й перемещений имеют болыпое зйзчение в общей теории исследования напрнженного и деформированного состоянии стержней, пластинок, оболочек и других расчетных б ек в, Их пр ен е сущ венно упр р н, нх задач строительной механики, а также производство опытов по определению перемещений.
Полвзунси теоремой о вззймйос*й работ, определим прогйб 1ь»» балки посредине пролета при действии иа опоре момента М (рис. 367, а). Используй второе состоннйе балкй — действйе в то~не 2 сосредоточенной силы Р (рис. 367, б) — по формуле (1О.Щ прй а =- Ь = и х = О найдем угол поворота опорного сечени~и ~Ч~ 16Е/ Согласно теореме о взаимности работ, МЛ,» = РЬ»„ Пример ББ. Определить прогибы точен 1, 2 и 8 пала, нагруженного силой Р и точке С(рис. 36Щ. Вместо того чтобы устаиаилииать ирогибомеры и укаааниих точках, как »то йока»ано на рис. 368, о, на осноиании теоремы о Вааимности перемицении Доста" точно установить прогибомер в точке С, а силу последовательно прикладывать в тс:как 1, 2 и Л (рис. 368, б), Измеренные при атом в точке С прогкбы равны искомым. »»ример %. Показать, что при нагружении балки с консолью (рис.
369, а) моментом М, прнлОжеиным на расстокник —, Ог левОй ОпОры А, консоль ВС 1»3 остаетск неподвижной. Если нагрузить балку в опорком сечении В моментом М (рпс, 369, б), то максимальный прогиб на участке АВ будет в сечении».), накодкщемск на расстоинни От Опоры А. Следовательно, угол по- » И 1 3 ~Ё вэрота зчого сечения равен нулю (()о =- О). С Рне. Зба Если момент М приложить в сечении О (рис. 369, б), то на Основании теоремы о взаимности перемещен й на опоре В угол поворота сечении будет равен нулю (ч)з = О). Консоль ВС астаетск неподвижной, так как ее переме»кение, очевидно, может произойтн только в результате поворота опорного сечении В. а он отсутствует.
5 вз. ОицАИ ФОРмулА дяв ОпРеделения перемещжний. МЕТОД МОРА Рассмотрнм вначале произвольную плоскую стержневую систему (балку, раму„ферму и т. и.), нагруженную заданнымн силамн Р (рис. 3»О, а). Усилия в произвольном сечении системы обознзчнм через М», «Ь, Уп. Пуль требуетси определить перемещение (обобщенное) любой точки»п системы по иаправлению» — $. Введем вспомогательное состояние (рнс. 37О, 6), предстзвлякдцее собой заданную систему, нагруженную лишь одной единичной силой (обобщенной) Х» — — - 1, приложенной в той же точке т н по тому же направлению, по которому надлежит разыскать перемещение Л»р. У~илия в пронзвольном сече~ни вспомогательно~о состояння, вызванные действием единичной силы Х» — — 1, обозначнм через М,, «~„У,. Применим начало возможных перемещений длн вспомогатель ного состояния, приинмаи в качестве возможных действительные перемещення заданной системы.
Согласно формуле (13.33), ~ ~~ВМ~»й ~„~ ~ У~ЮрА ~ ~ ЯД~4з тРЗ Выражение (13.43) является общей формулой для упругого перемещения плоскОЙ стержневоЙ системы. Если исхОдить из Выражения начала ВОзмОжных перемещений в форме (13.32), то общую формулу для упругого перемещения МОЖНО ЗЗПИСЗТЬ В ВИДЕ ьр=~~~~~1м,(йр)р+~~ш,(йь)р+ ~~Р1Я(уй)р. (1344~ В О6щем случае действиЯ сил (см. рис 361) формула для пере мещ,ения содержит шесть слагаемых; +й„— '+йд+ '.
~йа. ~13.46) Индексы у, г в формуле (13.45) обозначакл главные осн, индекс Фира — крутящий момент. Заметим, что общая фОрмулз (13.45) прима д я кр ржней малой кр В ы. Формулы (13.43) и (13.45) впервые были получены Иором. Определение перемещений по зтим формулам часто называ~от Методом Мора. Отметим, что метод Мора являет~~ самым О6щнм методом определения перемещений стержневых систем. Его значение особенно велико при расчете статически неопределимых систем. В 6олыаинстве случаев при определении перемещений в балках, рамах и арках можнО пренебречь Влиянием продольных дсфОрмзций и деформаций сдвига, учитывая лищь перемещения, которые Вызываются изгибом и кручением. Тогда формула (13.43) для плос- кОЙ системы принимает Вид точенной силой.,В произвольном сечении первого участка балки (О < х ~ Учитывая симметрн2о» йолучим 2 2 М« (ж) М«» (х) «Ь в (» 2 ~ « з ~ В ~,«4 А« =2 И аК3 Я~Я Я~ =.ЗЧ И Учтем влиЯнне кзсательних напрЯжений из искомый йрогиб предполагая, что балка имеет прямоугольное сечение.
Очевидно приО~~ х ~ — 1 Ц(х) = —. 2 Ба основании равенства (13АЗ) прогиб„вьвваинцй действием поперечиьтж сил» 2 2 1=12' а 6= — — Е. Е 3 — — — ° Суммируя внрзжения для перемвцеиий» нзкодим» что 5 ф~ 2 дР 5 ф4 «' З2'1 Лю = — — + — — = — — 1+26 —, З84 И 5 И З84 И Второй член в скобкзк» отрзжзкяций влияние йойеречиой силы» йрн — =- —, равен 0,026. СлеДОвательно» йрогнб, вмзвзииь~й йо- ««3 йеречнон силой» составляет м~~~~ 3 4 про™ба» выаваиного иа~ ибзк«- щимн моментами.
2. Для определения угла поворота опорного сечения вспомогательную балку нагружаем единичным моментом (рис. 371, а). 1)ри Определим ВертинальнОе перемен1енйе узла о шарнйрно-стерж- неВОЙ системы 1рнс. 372, й)„состоЯШей на даух Одннаноных стер®- ней Ав и ВС постоянного поперечного сечения. Вспомогательная система покаЗана на рис. 372, 6. Выреаая УЗел И и ра атр я рав В, О находим усилия В стержнях для ОбОих сОстОяний.
Стержень Ф~, У, А8 Р 1 ВС вЂ” Р— 1 На оснонанни формулы (13.48) ~1Р-Ха~~ -'я Р,Ф~ (13.59) Пример Б7. Раеположенная в горизонтальной плоекоетн рама АНС не. 373, й1 еоетонт на даун етержней одпнаноного круглого поперечного еейеннн. предЕлнм нертнкальное перемекенне точки С, Вепоми'ательнан снси!Ма пока нана на рис. 373, б. Перемещение Лп, определим неъодн на формулм (13,45). Длн пронанольнмн Сечении днух учаеткон имеем: длн 1 учаетка 1О < х е6 а) М„=- Вц М~~ —. 0„ тельное состОяние системы единичной силОЙ (Обоб»ценной) Х» "= 1 (рис.
374„а). Применяя начало возможных перемещений для вспо- мОГательнОГО состояния и считая возможными дейстВительные пе" ремещения, Вызванные действ~ем температуры, на Основании формулы (13.44) находим л,т = ~ ) м, (~ю)г+ ~~~~ 1 кфшж. После подстановки формул (13.53) и (13.54) получим Л,т-~~~~~Мр ™, '-Иа+ "Г ~Ш,и "2 'Ф. »)3.66) Формула (13.56) применима и для брусьев малой кривизны. В фермах, Где действу»от тол~ко продольные усилия, температурные перемещения определя»отся по фор- муле та Та Л~т Х Ш,иЛ, (33.!)7) 1~»»>О Где 7 = — температура на»»~о »н+»ь 2 ~»-» ОСИ СТЕРЖНЯ, ПО.
')) '»~ стоянная по его о' ») дЛИ НЕ. Суммирование проводят по всем стержням фермы. Знак перед вторым членом в формуле (13.56) зависит от выбора правила знакОВ для изГибак)щеГО момента. Если СчитатЬ изГибак)- ь»ий момент полОжительным, кОГда Он направлен так, как показано на рис. 375, а, то перед Вторым членом в формуле (13.56) сохраняется знак еплкю). ИИОГда нз! Нбаккций мОмент считак)т пОлОжи*ельным, если Он направлен, как по~~~ано на рис. 375, б. ТОГда перед Вторым членом в формуле «13.56) берут знак аминус)).
Напомним, что В статически определимых системах температурные перемещения не вызыва»от усилий У, 9 и М в элементах систе 4ы. В случае дейстВНИ наГрузки и температуры на плоскук) систему Общая формула для переминений предстаВляет собой сумму членов формул (13.43) и (13.56): Пример о8. Определить горизонтальное к кертккальное перемещение, а также $йол покорота екобйлноуо конка етальнОЙ консоли (ркс. 376, »)1, кыааанкь)е кераккомеркь)ь» катрекоьь Длина балкк 1 = 2 к„ кмеота ееченкк »» = 1О ем, а = 118 ° 10 'т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
