Писаренко Г.С. Сопротивление материалов (1075902), страница 61
Текст из файла (страница 61)
ПРимер БУ. Определить велнчкну потенциальной энергии деформацкн, накопленную в шарнирно-стержневоа системе (рнс. 386), нагруженной в узле В вертнкальнок снлой Р. Стержни АВ н ВС имеют одинаковые размеры к кзготовлены нз одного материала. Рассматрнвая равновесне узла В, легко находим, нто стержни растягиваются одкнаковыми снламн.* Л'т — — Л'з = —, Р (13.6Щ г' 3 Следовательно, потенцнальная энергия деформации снстеми Р 12 Ф 1''З 1 РЧ 2ЕР ЕР ЗЯР (13.6Щ С другой стороны, на основании Формулы (13.10) потенциальную энергию деформации можно представить как половину пронзведення силы, прнложенной В узла» на Вертикальное перемещение узла Ьр~ т ее У = — Рл~,.
2 (13 76) Заметим, что, сравнивая формулы (13.69) и (13.7Щ„можно найти перемещение точка В по направлению силы 2 Р« Ьр= — — . 3 ЕЕ Пример Од. Опредюлнть пот юнцнальну»о зиер$'нк», иакоплеииук» прн деформа инн балки постоянното прямоуиаьното сеченни (» Х Ь, натру»кепкой, как показано иа рнс, 367. Будеч всходить нз фОрмулы (»3.67), сохранна члены, соответствуницне плоскому нзгнбу. Получнм ~") ит +") и» Г Ма (х)»Ь Г (Р «х) «Ь (13.7$) »зычнслення проводим по участкам. Выражеиня для изгнбаизцих моментов н поперечных сил в пронзвольных сечениях участков Имеют следукаций вид: для»» участка (О»ь х < а) Р«» РЬ М(х) = — х; Я(х) = —; для 1! участка (а < х < 1) 7»а Й$ М(х) = — (1 — х); Ц(х) "- Гослекннй член в скобках, вырви«авщнй влияние поперечной силы.
Прн обычных размерах балок не превышает 2 — 3%. В связи с зтнм прн ижнбе балки влиянием поперечной силы прн вычислении потенциальной ввергни обычно пренебреГа«от* Желая вычислить прогиб белки в месте приложения нагрузки„представим похенкнальн$чо знвргню,щформацнн банки В В$ще У = — Рйр 2 (13.731 и, сравнивая выр«пкекни ((3.731 н (13.721, пренебрегая в последнем влиянием поперечной силы, найаем Щкм'нб В сечении 8« й РаЧФ р= м'.и (13.74з Пуст~ упругая сйстема статйческй нагружена проиавольной йагрузкой (~ и некоторой обобщенной силой Р (рис.
388). Вычислим потеициальн)чо энергию, накОпленную при деформации системы. С этой целью для удобства примем следующий порядок нагружения. Вначале нагружаем систему силой Р. Перемещение точки приложенйя сйлы по ее направлению й от ее Действйя обоаначим Лрр. Затем прикладываем нагруэку Я. В результате дополнительнОЙ деформации сила Р получит перемещение ЛрО. Полное (обобщенное) перемещение тОчки прилОжения силы О Лр Лрр + Ьрц.
«!3.75) р р д Очевидйо йакоплеййая потенннальл 8 ная энергия деформации численно равна рабОте Внешних сил: 0 = — Рррр+ РАЙ~+ Ц~о, (13.76) где Учо — энергия, накОпленная В Реаультате деформировання системы т~л~к~ сйламй ф чйсленйо раайая рабо*е сйл Я иа Выаааниых ймй перемещениях. Второй член В формуле (13.76) не содержит 112, так как на перемещении Лро сила Р, Выполняя работу, не наменяла своего аиаче- ннЯ.
Так как Лрр = Рбрр, то формулу (13.76) можнО записать В ВИДЕ У = — Р%рр+ Рйрд+ Цд. (13.77) Продифференцируем Выражение (13.77) по силе Р с учетом равенства «13.75): — =- Рррр + А о = Арр + Лщ = А. дУ др Обрааом~ ПВРВмзщРК$я шбчки лриАОжзиия 6606и~ииои сиАм пб килрйВАзкшО е дзй~ттзил ризйо чйстлл~д лроиззодйОЙ Олт л~~~филА~йМ зшрзии стзфбрмяции ЛО ж7$ОЙ зиАГ (теОрема Кастнльяно). Заметим, что, ~о~~ас~о формуле (33.77), Вторая производная Ог потенциальной энергии по обобщенной силе — = — = брр дЧ7 дар (13.'79) И ИМЕЕТ СУЩЕСТВЕННО ПОЛОЖИТЕЛЬНУЮ ВЕЛИЧИНУ.
Для ПЛОСКОЙ стержневой системы, искодя ив общей формулы (13.67), потенциальную энергию деформации запишем в Виде где М (з), У(з), 9 (з) — усилия в сечении стержня. Применяя правило дифференцирования по параметру, находим, М(ж) ~Ь дМ Я (33.82) Е4 дР Чтобм ОпреДелить лниейное или угловОе перемеЩение В точке, где по условию эадачи сила Отсутствует„в этОЙ ~ОЧКе следует прилОжить соответствующую фнктиВную О60бщенную силу.
Далее написаВ Вьцэажеиив А 8 для потенциальнОЙ энергии От системы сил, Включая укаааииую фиктивную силу, сле- П дует Взять его производную пО этОЙ фикр ~4$ тиВИОЙ силе и В полученном Вщмикенин для перемещения полОжить фиктивную на В грузку равной нулю. о Пример И, Онреаелнть по способу Кастнльв йо утол новорота сноб~ното койка койсолй, натруженной равномерно расйределеййой . йатруакой (рйс. 369, а). В укаааййом сеченнн балкн в качестве фнктнвной йатрузкй нрнкладываем момент Ме (рйс. 389, б). Укол поворота сеченнй А, соскасйо формУле (13.Щ дЦ Г М(4Ь дМФ ЕЛ=Ъи = — = ) дм1 =~ ЕХ дМ' В 4 Прнниман Ме = О, получаем ф3 ~л= бЕ1 Отметим, что общая формула (13Аб) для вычисления перемещений в стержневьгх системах, не требующая написания выражений поте$щиальнОЙ зне$6'ии и их дифференцирования, вытеснила из раСЧЕтНОЙ ПраКтИКИ СПОСОб КЗСтИЛЬИНО.
ОдиаКО ПОСЛЕдннй ИВЛИЕтся общим способом определения перемещений в нестержневцх системах (пластинках, оболочках и деталях, все три измерения кото- РНХ ИМЕНУГ ОДНИ ПОРЯДОК), Вмразив потенциальную Энергию деформации в функции независимых пеРемеЩений Ь», Ла, ..., Л„, можно показать, что частнаи пронззОдная От ПОтенпнальнОЙ мам'ни ПО любому перемещени»0 равна силе, действующей по направлению перемещения, т. е. Пример 62. Снмметрнчнав гпарнирно-стержневая система нагрунгеиа в узле .8 вертикальной силой Р (рнс.
399. Определить величину силы Р, если опус. канне узла равно Лр, 4 - »". Ю Введем обозначении; ໠— угол наклона стержня к вертикали~ »» — длина стержня; Е»Р» — жесткость поперечиОго сечении сайкин. Стеркнн„равио иаклоненнме к вертикали, нмиОт Одинаковые жесткости. ЛЕГКО ВИДЕТЬ ЧТО УДЛНИЕИНЕ Ф-ГО СТ6РЖНЯ Л» = Ь»,сов»з», Пфйи~ф 63. ПОльэуйОь ~еОрпмОЙ О мййпмумО ИОт~®иильйОЙ ппеф~йй ОИПО- делйть реакцию шаринппО-водвйжппй Опорц бруеа малОЙ крнвйищ, изОбрвкен- ИОйО йй РНО. 392 БРУО ИЙ~РУмпи ОООРОИОтО мням мОм~йОм и ОИОРИОм ОО ~Опий В.
ОьБпйчнм НОНЗЙФОъйую Рйинцню чО)жз Х КОц~ пи ОО$0йзийи тифОмы О мнйимумп ООи!ИцйпльнОЙ ВЙФдГни дбфОрмпции — = О. ЗУ ($Э.ЗЗ) 'Как как И= ~ ~Е~, тО формула (13.66) прнйй- Р М~®~Ь $(ЗК УЖ9 УКЗЗЫВЗЛОСЬ, СТЗТИЧССКИ НЕОПРСДЮЛИМЫМИ НЗЗМВЗЮТСЯ СИСТСМК, СИЛОВЫС фЗКТОРИ В ЭЛСМЕНТЗХ КОТЩЧйХ ТОЛЬКО ИЗ УРЗВНОНИЙ ~ЭЗВНОВССИЯ ТВЮРДОП» ТСЛЗ ОЩФДСЛИТЬ НСЛЬЗЯ. В ТЗКИХ СИСТЗМЗХ бОЛЬШЕ СВЯ36Й, ЧЕМ НСО6ХОДИМО ДЛЯ РЗВНОВССИЯ. ТЗКИМ О6РЗЗОМ, НЮКОТОРЫС СВЯЗИ ОКЗЭИВЗКЛСЯ В ЭТОМ СМЫСЛЮ КЗК ОН ЛИШНИМИ, З УСИЛИЯ В НИХ вЂ” ЛЙИЖИММ ЖИЗ6ЕИЛЙИММ. ПО ЧИСЛУ ЛИШНИХ СВЯЗЕЙ ИЛИ ЛИШНИХ НСИЗВССТНЫХ УСИЛИЙ УСТЗНЗВЛИВЯОТ СТЗПЮНЬ СТЗТИЧЮСКОЙ НЗОПРСДСЛИМОСТИ СИСТФМЬЬ 8 $37 9ьиан (ьаасметреиы иуостейшна сяучак статнчесюж иеееуеделимых смсвем> зйнймешм %969(нык исньпнвзии лмзнь Осевбе растяжение или сжатие.
В настоящей главе рассмотрим более общие случаи, причем Основное внимание уделим статически неопределимым балкам я фемам. На рис. 393, а показана шарнирно опертая балка — система статич~:кн ояведелнмзя и геометпнчески нензменяемзя. Все три реакции фл, Н,ь Йз) определяются из трех условий рзВновесия плОскОЙ системы сил. Используя метод сечений„легко найти силод вые факторы ф, М в любом сечении балки. Добавим еще одну связь, например шарнир- но-подвижную опору в сечении С (рис.
393, б). 4 и ' ' Х в резул ° ° а ° б лее ю прочной и жесткой однако с точки зрения геометрической неизменяемости эта связ~ армс. зэз лишняя. Теперь из трех уравнений равнове- сиЯ четыре реакции (ДА, Нд, Яз, Яс) Определить нельзя. Таким образом, балка, изображенная на рис. 393, б, Один рзз стзтнчески неопределима. На рис. 394, Й показана дВзжды статически неопределимая балка. Для определения пяти реакций есть лишь три уравнения равновесия. Следовательно системз сОдержит две лишние связи Онз мо жет быть образована, например, из консоли (рис. 394, 6) постановкой шарнирно-подвижных опор в сечениях В и С. В конструкциях чзстО Всгречзются статически неопределимые балки с ломаной осью — рамы.
В отличие от ферм, где стержни соединены между собой шарнирами и нагружены силами, приложенными в узлах, рамы имеют один или несколько жестких узлов. В жестком узле торцы соединяемых стержней не имеют относительных поступательных перемещений, а также относительных поворотсе. Рамные конструкции могут состоять как из прямолинейных, так н из криволинейных элементов. На рис. 395 показана дважды статически неопределимая плоская рама.
В этом случае, как и в предыдущем, для определения пяти реакций внешних связей имеем только три уравнения равновесия. Рамы могут бцть нагружены ВпОлне произВольнОЙ нагрузкой, любым Образом ориентированной. Статическая неопределнмость может быть результатом не тОлькО введеиия дОНОлнительных Внешних связей» ИО также и условий образования системы. Рассмотрим раму, показанную на рнс.
396, а. (3чевндно реакции Жд, Ндф .Йа Виеюних связей (Опт люп6Й Опреде. лить из уравнений равновесия. Однако после этОГО условия равно весия не позволяют определить все силовые факторы В ее алементах. Разрежем раму йз две части и рассмотрим равновесие одйой из ее частей (рис. Юб, б). Действие отброшенной части йа Оставленную заменено В кикдом сечении разреза 'Гремя силовыми факторами: осевой силой Л~„поперечной силой 9 и изгибзющвм моментом М.
Р Р ~И~ "Хаким образом, йз трех уравнений рзвйовесйи надле®ит ОпредЕ- лить девять неизвестных усилий. Система, следовательно, шесть раз етатйческй йеопределймз. Ойа состоит йз ДВух ззмкйутых бесшзрй~фиь~х контуров, каждый из кото~~х трижды Статически неопределим. Отметим, что постановка шарнира из оси стержня (рис. 397, Й) ОбраЩает В нуль нзГибающнй мОмент В даннОм сечении и, следов4Р- ТЕЛЬНО, СНИЖЗЕТ СТЕПЕНЬ СТЗ- тической йеопределймости нз единицу. Такой шарнир иззыВзют Одийочижм.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
