Писаренко Г.С. Сопротивление материалов (1075902), страница 65
Текст из файла (страница 65)
418). 3аиишем усяовие (14. 18) в каноническом виде: б„,„1Х„1+б .Х„+б„+1Х+1+ А,р =О, (14.19) ДДЯ определении перемещений б и Ь» Входищих В уравнение (14.19), строим эп1орь1 изгиба1ощих моментов В основной системе отдельно от заданной нагрузки (рис. 418, а) и от каждой из лип1них неизвестных, равнь1х едннице (рис. 418, б — г). Площади эпк1р от заданной на1"рузки на и-м и (и + 1)-м пролетзх Обозначим соответственно через Яд и Йд ~-1, а расстояния центров тяжести этих площадей От левой и правой ОпОр сВОп'О пролета через йд~ Ьп йд.~„1 и Ь„~ 1 соответственно.
ПрименЯЯ спОсОб верещаГН- ~(а-Ф А~т 4 Х,+1 на и полаГая, чтО иа протяжении д-~~ д )а+1 каждОГО пролета балка имеет пО стоянное сечение» пОлучаем Ь„,~ = — Ʉ— + 3 а„ Е1„" 1п Р ~пИ ® = — 0~., —, (34.201 Ь +1 ЕУФ+1 " 1и+1 а, ~Ь а14„, ~Л- Е„1 2 Э Ы ® (14.И) бпла= — — "-1 — + П УУ Оа 1 АМ л~ ~л Ф1 ~~+1, 2 + Ф 1 Ф ЕХ„.„1 Л ' З ф=У у =/ 6 '+~ .
1 д ~® ЬИп ЗЕХа+1 * 1 '~+1 «+3 Фе / Ж,+1 г (14.23) бЕ"~а+1 Фиа. 4$$ ВнОсЯ Вь1ражеиин (14.٠— (14.Я3) в Формулу (14 19), получаем следу101цее уравнение: ПоскОльку при такОм ВыбОре ОснОВнОЙ системы Все лишние ненаВестные представляют собОЙ изгибзюп~ие моменты В опорных сечениях балки, то В уравнении (14.24) принято Вместо Х» писать М». УЗКИМ Обрааом, »л »п+$ а+1 М»- — +2М, — + — +М ~~— А» »ю '» +~ А„+~ С Р»~ Уравнение (14.25) называется фж~дйей»»е»и й~~ех ~ко»ней»ноа. СОстзВО ЛЯЕМ ИХ СТОЛЬКО„СКОЛЬКО ВВОДИМ шарниров„обрааовывая основную систему.
Чтобы написать эти урав- Р Р$» ~ ФГ ~ Пения, достаточно в формуле(14.251 ~Р~ -'~ ~ ДЗТЬ ИНДЕКСУ Л ПОСЛЕДОВЗТЕЛЬНО значения 1, 2, 3 и т. д., соответстВукмйие номерам промежуточных Опор. В каждое иа таких уравне" ннй входит не более трех неиаве»"»» стных Опорных моментОВ Мд 1, М„, а, а, а Мд-~-» 3 В первое и послеДнее уран нения — только по дВз ненавест'- Рмс. 4ФФ НИХ МОМЕНТЗ. РЕШЕН ИЕ" СИСТЕМЫ легко выполнить методом последо- ВзтельнОГО исключения неизвестных. Для балки постоянного поперечного сечения (Х = сопМ) уравне- ННЕ ТРЕХ МОМЕНТОВ УПРОЩАЕТСЯ ТЗК: Рассмотрим примеры составления уравнений трех моментов.
На рис. 419 изображена Двухпролетнзя балка. Системз ОДин раз статически неопределимз. Уравнение грех моментОВ следует написать Один рза для прОмежуточнОЙ Опоры». ПОлзГзя В уравнении (14.26) й = 1, имеем ид+яи,р,+щ+ид,- — 6(~~~-+ ~~ ). (142т) Поскольку крайняя левая Опора шарнирная и не нзгрул»енз сО СРЕДОТОЧЕННЫМ МОМЕНТОМ~ ТО М„= О. Момент на крайней правой опоре равен моменту от нагрузки, при- ЛоЖЕННОЙ К коисОЛИ.
СледоватЕЛьНО, дф М, а Очевидно Таким образом, Уравнение (14,27) принимает внд 2М,(~,+Ч= — 6~ —,, *, + „~+ —,~,. 1Ра$ ~~,+с 941 4$ Отпода ле~ко найти момент М,. Если левый копен балки защемлен (рис. 42О, а), то защемление моино замен ить Дополи ительиым пролетом бесконечно бол иной жесткости илн бесконечно малой длины (рнс. 42О, 6). Уравнении трЕХ мОмЕНтов Дли 1-Й и 2-й р опор следуккцие: МД~+2М,(1, +1Д+МД= — * ГО~а, ОА ~ П (у Р 2 МД + 2Ма Д + 1З) + МД = .3' = — 6 =+ — ' 0,а~ Яф~ В ОЧЕВИДНО Яд ~3 е 8 К а =6~= —; М~= О. 3 3 ь~,аа Кроме ТОГО, В первом Уравнении системы следУет положить |1 = О.
Ч'огда Определив Опорнь$е моменть$„ВЬ$чнс$$ение реакций, построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил проводят обычным способом. Вначале определяют реакции опор каждой простой балочки От Заданной нагрузки и Опорных моментОВ. О60зиачим зти реакции для $$-го пролета через А„и .8„(рис. 421„$$), Очевидно, что ̄— М л+ «» 34.28) где Ад1 Вд — реакции толькО От заданной нагрузки нз пролете« Пол~ая реакция промежуточной Опоры $$ (рис. 421, б) з л+$ Здесь Йз Вд + Ау~+$ реакция Опоры п~ ВЫЗВзннзя действием заданной нагрузки„приложеннОЙ к про летам «д и 1д+$ После определения реакций строят зпврь$ «;$ и М для каждой двухопорной балочки основной системы. Окончательную зпюру изгибающих моментов легко построить также как сумму зпвр моментОВ От нагрузки и От ОПОрных моментОВ, $о ПРИЧЕМ ПОСЛЕДНЯЯ ЭПЮРЗ ИМЕ ~,$ ЕТ ВИД ЛОМЗНОЙ ЛИНИИ„С$$ЕДИ«Ъ ияющей Отрезки, Отложенные и НЗД ОПОрамн И раВНЫЕ ОПор л-« л «а ным моментам (см.
пример 68). 0 «т$ожно рекомендовать слеРме. 424 ду$ощий порядок расчета не- разрезной балки. После нумерации О$$ор и пролетов (ОпОр — с нуля~ прОлето — с еди иицы) под исходной балкой изображают основнув систему, нагруженную зздзннОЙ нзГрузкОЙ и неизвестными ОпОрными моментами. Лалее строят зпвры М для отдельных балочек Основной системы только От ззДЗИИОЙ нагрузки на прОлетах.
Вычисляют площади Й, зтих зпюр и координаты а«, «$| их центров тяжести. Для каждой промежуточной опоры выпись$вают уравнение трех моментов. Решая полученную таким образом систему уравнений, определяют неизвестные опорные моз$енты. Затем определяют реакции и строят зпюру НОперечных сил и изГибз$Ощих моментов. Последнюю зпюру, как указь$валось, можно построить как сумму зпюр моментов от нагрузки и От Опорных моментов. Промер 68.
Построить зп$орм нзгнбз$он$нк моментоз н поперечник снл ллн бзлкн, нзобрзженной нз рне. 422, 6. 2Р Ллн простоты нмчнсленз«$ прнннто о = —. Экннззлентнан езстемз показана из рнс. 4Ю, 6, прнчем зн$цемлекне лезого конца йикн заменено донолннтельнмм .И М~ = — — . 4 (14.3Ц Решая систему уравнений (14ЛЩ с учетом аыражения (14,31), получаем И, ~ — О $68~ М» = — О.ОЗВИ; Ма —— — О,ОБЭРИУ, Отрицательные аначения моментон сннаетельстаукй о том~ что и денстантель. ности они напрааленм нротиаоположно указаннцм на рис, 422„6, Ре»»»»цин»як»»» фнс. 423 опте.»»пем по фармулам (Н.Щ м (й.29)." А = О,бР+ О,1ЗР О,6ЗР", д = О,бР— О,ВЛЗР= О,ЗУР; Л,= э, ' =-О,ОИР; 8,= ~ ' =О,ОЫР; А„= — ф — — э = 0,8ОЗР; 3 Мф ф 8 ~ Ф 8 = — »ф+ — = 23»Р.
9 Мэ 8 В рассмотренных уже случаях предполагалось, что Все опорьг находятся нз ОднОм уроВие. Нз практике, Однако„нередки случаи СМЕЩЕНИЯ ОПОР ОТ ПРЮЕКТНОГО УРОВНЯ. В статически Определимых системах смещеййя Опор не Выаывзк»т дополнительних усилий В конструкпии. В нерзареаных же балках НЗ-33 их стзтическОЙ неопределимости эти смещения Выаыва»от ан3- чнтельние начальные напряжения, которые, как показывзк»т расчеты, Ззвнсят От Величины смещения Опор и жесткости балки, ВОарзстзя В прямОЙ прОпорнионзльности От Величины укаэанных фа КТОРОВ. Пусть»й — 1), й и (й + 1)-я Опоры получат смещения по Вертнкали соответственно на у„», у„, у„+1 (рис. 424).
В результате этого В ОсноВНОЙ системе участки 1»» и 1»»+1 повернутся на углы ЛеГкО Вилеть, чтО тзкОе смешение Вызывает Взаимный уГОл пОВОротз тОрцовых сбченнй у й-Й Опоры бя,я 1Х ~ + баяХ + б д+»»4+~ + Лае =' 0 (14,34) и ВИ1»зжзет требОвание Рзвеиствз Нулю ВзаимнОГО уГлз пОВОРОта цъцовых сечений у а-й Опоры, ВызваинОГО действием Всех лишиих ие известных и смицеиием ОНО1». Виоси в уравиение (14.34) зиачения О из уравиений (14.21) — (14.23) и Л~ из выражения (14.33), при я У„= У„~ = ...
= сопМ получаем следуйжйе уравнение трех мОчеи- ТОВ: и-й М Д + 2М„(1, + 1„~ ~) + Г» + М„+Д,.~ ~ =- — 6ЕХ (8„.~ ~ — Щ. (Я (14.36) Рие. 424 ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОПОРНЫХ МО" ментОВ, ВОзиикзкйцих ВследстВие смещения ОНО~э, сОстзвляют и 1»снйиОт уравиений типа (14.35). Заметим, чтО изчальиые иапряжеиия, ВОзникиОиие От смещения Оп~», мОГу~ быть испОльзОваны для Вырзвиивзния иапря»кений От зздзниОЙ нзГ1»узки, Пример 69. Определьть йапряженяя, Воаникающйе В стальном Валу, устанОВ- Р лейном В трек Йодшййнйкак (рис.
425, Й), д Ф Г / Р Йрй смещенйи Вниа на 2 мн краайеГО праВого подшипника, Дйаметр Вала И =- 4 см, РасстОянне между подшипникам и = 5О см. ПОдшйпййкй рассматриаать как 6 шарнирные ОЙОры б Зкаийалеитная сйстема покааана йа рис. 425, б, а Так как крайнне опоры р шарнир пыс, тО д с Ма=Ма=О; Рис Л2$ КРОМЕ ТОТОФ Е~ --- О. СлеДОааТеаьно, ураанение тр~м мой".Йтоа, ЙОЯВГЯЯ В Ураннении (14.35) Й = 1, мо»кно аайисать В аиде 2МТ й = — бЕ.ГВ„, т Индекс 4сэ Йрй Л Указывает, что Ррьчнной обобдценного перемещен„„Я . ЛЯЕТСЯ СМЕЩЕНИЕ ОПОРЫ. Жб М~ = — 1,6— ~3 Ная66льшм кзйряжюние В сеченна нза Оп(фОЯ 1 а = — '= — „= 320046=960 кГЕ/и~. М, Э,Иб В' 2%УР Статически неопределимые системы„содержащие криволинейные стержни, рассчитывз~от по ~~ТОДу снл В такоЙ ®е последовзтельйости, кзк н системь1, рассмотренные В предыдущих параГрзфах.
В Этих случаях, ОднакО, перемещения, ВхОдящие В канонические уравнеййн, нельзн вычислнть пО Способу Верещагина. ДАН втОЙ цели рекомендуется применять метод Мора. В качестве примерз рассмотрим круГОВОе кольцОНОстОяннОГО поперечного сечения, растягиваемое двумя равными и противоположно направленными силами (рис. 426, а). в,ак замкнутая системз, кольцО трижды статически неопределймо.
ОдйакО использование симметрии прй выборе осйовной сй- СИМЫ СУЩЕСТВЕННО УПРОЩЗЕТ РИЫЕНИЕ, Ха О. Разрезав кольцо на две части по оси А~А, (рис. 426, в)„из услоВий раВновесин ОтсеченноЙ чисты нзхОдим, что Осевая сила Хэ = ~= —. Остаетсн только Определить неизвестный изгибающий момент 2' В с~чейни Аа. Окончательнан эквивалентнаЯ системз показана нз рнс.
426, а. Каноническое урайнение перемен~ений, Вцранппоц~ее услойие ра- ВенстВВ нулю ВзаймнОГО Угла поВОРота Граней РазРезад имеет ВИД ЬПХ~ + Ь~Р = О Козффнциенти зтОГО урайиения Определим пО спОсОбу Мора, сначала рассматрйная Оснойну~о сйстему под дейстййем задаййой йаГрузеи, а затем — пОд дейстйием лишнеГО неизйестнОГО единичнО Р ® ® го момента 1рис. 427~. Влиянием Вд Осейык и поперечнмх усилий пре- ~У 1р ддбддгвем. Очевидно / ~д,д~дй Х,=~ д!д= ) 3 дг ~г М ( ) И Р РИЕ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
