Писаренко Г.С. Сопротивление материалов (1075902), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Условиями равновесия будут ,"))„'Ж = О;,'),'У'= О. Благодаря симметрии алемента Второе условие удОВлетворяется тОждественно, а первое после подстановки выражений для усилий имеет следующий Вид: с ~. Х =- — арЮ + 1а, + йт,) (к + И~) И6 — 2 ~ пей в1П ~) = О. После раскрытия скобок получим — О,МИ+о;Ы8+ гЬрУ8 + а,дай + Ио„й дЭ вЂ” 2ОВЙ 31п — = О. дО В последнем уравнении Вааимно Уничтожаются члены 1 О~ЯМ.
Ж Ж ~Ю Вследст~ие малости угла — принимаем, что 31п — = —; отбрасываем член высщего порядка малостй д~,гЫ8 й делйм Оста~~неся Уравнение (16. 1) содерэкит двз неизвестных нзпрйжения О и Ое, Для их Определения, придерживаясь ОбщеГО плана реэпеиия статически неопределимых задач, рассиотрим еще Гебметрическую и фи- ЗИЧЕСКУЮ СТОРОНЫ ЗЗДЗЧИ. Геометрическая стОроиз задачи. Деформация злемента симметрична ОтиОсительно Оси и позтОму Вьэзовет радиальные перемещения Всех точек цилиндра (рис.
4Я, Р), Обозизчим рздиальнОе перемещеине цилиндрической поверхности радиуса Г через ((, ТОГдз перемещеиие цилиндрическОЙ поверхности радиуса Г + (»Г будет и + д((. Абсолютиое рздйальйое удлйнеййе злемейтз (эГ будет 1эзвйо й(„а Относйтельйое удлййеййе (16.2) Относительное удлинение В тангенциальном (окружиом) направлении на радиусе г найдем следующим Образом. Длина злементз по Окружйостй .цйлйндричссэ(ой поверхностй радиуса» после еГО прйращения на величину и равна «Г + (») (Е. Вычти из последней начальную длину Г(9, получим збсолютиое приращение Длины злементз нз радиусе у' В Окружном направлении: (Г + И) Ж вЂ” Г(Ю = МН8. РззделиВ абсолютное удлинение нз первоначальную длину Г(Е„ ПОЛУЧИМ ОКРУЭКНОЕ ОТНОСИТ(ЛЬНОЕ УДЛИНЕНИЕ« Физическая сторона задачи.
В случае двухсто- рониеГО 1эзстяжеиия, которому подверГается рассматриваемый зле мент, оэГласно закону Гука, напряжения и деформации связаны меэк.- ду с06ОЙ следующими зависим(эстями: а, ~М,+ИМ ае — — „,(ее+И). Е Б Учитывая формулы (16.2) и «16.3), получаем (»е= — +Р— — (-И ~ ° Й Подставляя выражения (16.4) В уравнение Ж~) для Определения перемещеиия и получим линейное дифференциальное уравнение второГО порядка с переменными коэффициентами (уравнение ЗаписаВ ато уравнение В виде и интегрируя его по к последовательно даа раза, найдем общее ре.
шеиие уравнения: а, ~ [(1 + р) А — ~~~ В~ ~е-~~(~+в)4+~8 ПостОянные интегрирования А и 8 находим из условий для О иа Виутреннеи и наружной пОВерхнОсгях цилиндра. Яа Внутреннен поВерхности (г = РД эти напряжения раВны Внутреннему давлению, т, е, О, — фу» а на наружной поверхности (г уД наружнОму давлению: О,, = — Р~. Ддя Определения постоянных А и В, согласно уравнению(16.7), получим следующих два уравнения Е Е Решая зти уравнения Относительно А и 8, найдем, по $ — р 4ъ-4ъ Е ~ г~ 1+ц «К(Рх Рд 72 — Ф'~~ Подставляя значения постоянных в Выражения (16.6)„(16.7) и (16«8), получим фОрмулы для Определения радиального переме" щения и напряжений (формулы Ламе): Сложив левые и правые чзсги Выражений для О, н Г»О, убедимся В тОм, что сумма радиального и ОкружнОГО напряжений — Величина постОянная: О» +Оа Относительная дефОрмзцня рзссмзтриВземОГО кольца В изпрзвле" иии„параллельном оси цилиндра, также постоянна на любам радиусе, т.
е. На Основании зтОГО цилиндр мОжнО рзссмзтриВзть кзк составленный из отдельных колец, нанизанных на ось. Поперечные сечения пилиндрз при деформации Остаются плоскнмн. В случае, кОГдз цилиндр кроме радиальных дзВлений Воспринимает еще и продольную силу Ф (например, при наличии диищ), в его поперечных сечениях Возникает напряжение П а~в (16.12) Я (Фу — Я й4= — и ~ T, (16.
Щ Напряжения О; и Ое при зтом не изменяются. Отметим» что Все приведенные формулы для деформаций и напряжении о', Ое и О~ справедливы для сечений, дОстзтОчно удаленных ОтдниЩ. Вблизи закрытых торцОВ цилинДрз Деформации и нз" пряжения несколькО искажены Вследствие Влияння днищ.
Рассмотрим дВз частных случая нзГруженин цилиндра, 1. Цилиндр нагружен только внутренним д а в л е н н е м, а наружное давление отсутствует илн мало н им можно пренебречь, т. е. р~ = р; рз = О. Формулы (16.9) — (16.1Ц для напряжений и рздиальнОГО перемещсния принимают следующий Вид: (16.14) $ $апрйжен$$6 $7 Вс$оду си$имз$ощее„а $$е — растяп$33$ощ66. Наибольц$ие значения О', н Оа будут у Внутренней пОверхнОсти цилиндра (ПРИ Г = Р'$): (;),= — Р: ~+да $$6.$7) дар ФМ,- .а $ — й й= — ' Г, Р РэдизльнОе перемещен$$6 у ВИУ$'- ренней поверхности (увеличение вну$- реини'О радиуса) Ьк.
4$2 $1+Р и,, = -'- [ —,, + р р. (16.18) Напряжения и перемещение у нзружнОЙ НОВерхностн цилиндра СЛ6Ду $ОЩИ6: (36, 19) (16.26) 3$$$оры нэпрЯжений $$ и О$$ для рассмэтриваемо$О случэЯ при От" ношении $$ = —" = О,б приведены на рис. 452„а. Напряжения изме- Ф'~ $$Й$отся по $'ипер$$оличесному заиону Нэноолее Опзс$$О$$ с точ$$н зрения прочности является точка, лежащая у Внутр6нней пОВерхности ЦИЛИНДРЭ. Определим допусеэемое Внутр6ннее дзвл6ние в цилиндре при 663- трэи$$чиом увеличени$$ тОлщины стенки. Полэ$'эя Г$ -~- оо и прпнимая в формулах (16.17) А = О, получим (о,),, = — р'„(ОВ) —, = р.
Используем, например, треть$О тсори$О прочности: Оэкв$$$ = $$$ — $$з 4. Ы. В рзссмэтриВаемом случае ~'$=(М.=;=Р И О~ — — (О',) =;= — Р и зто услОВие прочнОсти принимает Вид 2р ~~ (а$, ОГКУДЗ 1«)1 Р 4~~ 2 Цилнйд1) с Весьма толстОЙ стенкОЙ не допускает Внутреннего даВлеййя, большего Опредедеййой велйчййы. '1'аким Обрзаом, увеличение толщины стенки цилиндра не всегда является эффективным способом увеличения прочности. 2. Цилиндр наГружен только внешним дзвл6н нем: Р, = Р; Р) = О.
Б этом случаеформулы(16.1О) и (16.11) Для напряжений и формула (16.9) Для перемеЩений принймзиЯ,' следук)щий вид) уя T, (16.21» «те = — 1+ — Р' 4 г~~ — г) (16,22» 1 — «4 юг" 1+ «««КР 1 Е г2 г2 6 ~2 ) Обз напряжения сжимающие, причем по збсолв)т)«ОЙ В6личйне 69 >' Ог~ а РздизльйОе пеРемещение напРзвлейо к оси цилинд1)з (Рз" днусы уменьшай)тся). У Внутренней пов6рхиости цилиндра (Г = Ф')) (Ог) -; = О' (Ое)г=г« = ~ ~««Р 2 (16.24) 2 (16.25) У нзруэкнОЙ поверхности цилиндра («" = Г)«) (аг), = — Р; (О4Ф-г» = ~,~з Р $+Р (16,26) «'««1 + «« г,— р11 )«« (16.27» Эпюры напряжений а„и ав при й =.
г' = 0,5 приведены на рно. 452, б. Нанбольшеп) по збсолк)ТВОЙ величйне анзченйя напряжение Ое дОстиГает у Внутренней поверхности цилиндра, Как и в случае Внутреннего дзВления, нанбОлее ОпаснОЙ ИВляется точка у Внут1)еннеЙ поверхности цилиндра. Ум6ньшейие наружнОГО радиуса сплОшнОГО цилиндра (без Внутреннего Отверстия) получим, положив В Формуле (16.23) Г~ = О и Г Ф'у ТОГДЗ Прочйость цйлийдрз, работающего прй Внутреннем давлении, с увеличением толщины стенки возрастает тОлько до определенного предела. Выше было показано, что даже при бесконечно большом наружном радиусе внутреннее давление в цилиндре не может превыпить Определенной Величины.
Исходя из расчета нз прочнОсть пО ДО пускаемым йапряженйям и воспользовавшись третьей теорйей прочности, мы пришли к Выводу, что ни при каком увеличении толщины стенки цилиндра еГО нельзя изГОтОВить нз даВленне, большее, чем р = —. Объясняется это тем, что с увеличением радиуса напряже1о1 ния О, и ОВ быст$ю убывай)Г н материал наружных слоев цнлйнд1)а работает мэлозффектнвно.
Распределение нзпрЯженнй можно улуч" шйть, разгрузив внутренние слои за счет боле~ йнтенсйвного йспольЗОвзиия наружных. Для Этого нужно сделать цилиндр составным, надев один цилиндр на другой с натяюм (обычно с помощью горячей посадки). В таких цилиндрах Величина допускаемого внутренйего дзвлеййя может быть зйзчйтельйо б~льше, чем в цель~ом цйлйнДре. ПОДОбным ОбрззОМ изГОтовл ЯЮГ Орудийные стВОлы. При посадке ОдногО цнлиндрз нз друГОй с ИЭГЯГОМ ок1)ужные напряжения ай во внутреннем цилиндре становятся сжимающими, а в наружном — расгягивающими (рис.
453, а), Если такой составной цилиндр подвергнуть Внутреннеыу давлению„то в нем ВОЗНИ кнут дополнительные растягнвающие окружные и сжимающие радиальные напряжения (рис. 453, б). Эти напряжения определяются по формулам (16.14) и (16.15) как для цельного цилиндра. Окружные напряжения от внутреннего давления будут складываться с напряжениями От ПосэДки В ИЗРужном цилиндРе и ВЫЧНТЭТься иЗ Них ВО ВиутрЕН" нем цйлййдре.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
