Писаренко Г.С. Сопротивление материалов (1075902), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Рздйальйые йапряжеййя от Вйутрейнего дзвленйя й От давления посадки складыВзются В обоих цнлнндрах. Суммарные Вп)оры напряжений после приложения дэвлениЯ будут иметь Вид~ представленный нз рис. 453, д. ХарзкЩ)ным Для них Является скз- ЧОК На ЗПЮРЕ Оэ И ПЕРЕЛОМ В ЗПЮРЕ О' На РЭДИ УСЕ КОНТЗ КТЗ ЦИЛИНДров. Рассмотрим расчет составных цилиндров. Прежде всего найдем ЗЭВисимость дзВления ф по кОнтзктной поверхности от Велнчйны имевшейся до посадки разности о между наружным диаметром Внутреннего цилиндра 7 и внутренним диаметром наружного цилиндра И (рис. 454).
Эта рээность представляет собой величину натяга. Поскольку пОсле посадки однОГО цилиндра. Иа друГОй наружный радиус внутреннеГО цилиндра и Внутренний радиус изружнОГО стано" Вятся ОдинакОвыми„тО Очевидно, чтО сумма абсолютных величин рздизльних перемеЩений ОбОих ЦилииДРОВ нз РЗДиусе ПОВерхнОсти к~~~ак~а, вызванных контактным Давлением, Должна быть равна ПОЛОВИНЕ НЗТЙГЗ ~ Т. Е* ~ИГ~+ ~И~~~ = —, 6 (16.29) Тзк кзк Величина изтйГЭ 6 7 ВЕСЬМЗ МЗЛЭ ПО СРЗВНЕНИЮ С РЗЗ- ~ ' б мерами радиуса поверхности кон- у такта, то при Вычислении пере- вмегцений будем считать, что гм = = г~ц = г (рнс.
454). ч 06ОЗнзчим через А, ~= — ' О1'- у НОШЕНИЕ ВНУТРЕННЕГО РЗДНУСЯ Пнлиндрэ к радиусу пОВерхнОсти Уме. 4И коитзктз ~ а через А~ =— отношение радиуса поверхности контакта кнаружному радиусу пи- ЛИЦДРЗ. ХОтя В большинстве случаеВ части сОстзВных цилиндров НЗГОТОВ- ляйн из ОДНОГО материала, бУДем Для 06ЩИОсти при решении заДзчи Вначале полагать Эти материалы рзэличными. Контактное давление Р будет наружным для ВнутреннеГО ци линдра и Внутренним для НЯружнОГО цилиндра. Абсол$отную вели чину радиального перемнцения Внутреннего цилиндра на контактной поверхности найдем по формуле (16.27~." г, ~ ~+Й~ 1и,! = — ~~-и,)л., В случае одинаковых мат6ризлОВ сопрягаемых цилиндров последняя фОрмулз упрО~ается и принимает Вид у (( — й',1(1 — ~ф Р ($6.Щ ~~с ($ + Й~~) (1 — ф + (! + 1ф (( — ~ф НзпрЯжения, вызванные давлением Р~, ОпределЯютсЯ поформулам (16.21)„(16.22) для внутреннего цилийдра и по формулам (16.14), (16.15) для наружного.
Отметим следующее ОбстОятельствО. Величину иатяГЭ Определя" ют~ Измеряя диаметры сопрягземых деталей микрометрич6скими ин струментамн или ДруГимн точными приборами, Поверхности ж Деталей никогда не бывают абсолютно гладкими: на них всегда есть следы Обработки — тэк называемые гребешки, которые сминзются при запрессовке. Вследствие этого действительная величина натяга несколько меньше измеренной, а действительное контактное давление меньше определяемого по формуле (16,32) или (16.33). Кроме этого следует иметь в виду, что формулы (16.32) и (16.33) слраведлнвы лишь в том случае, когда ни в одной из сопрягэемых деталей напряжения И6 превышают предела пропорциОнальиОсти.
При пОЯВлении же пластических деформаций контактное дзВление будет меньше, чем определяемое по этим формулам. Найти его можф но методами теОрии пластичности. $ $64. темнеРАТМРнь(е налииненив а т©лстостенных цилиндР,ьх Если толстостенный цилиндр нагревается неравномерно, то В нем появляются температурные напряжения, которые суммируются с напряжениями, вызванными давлением. Часто температурное поле симметрично относительно оси цилинд1и и постОянно пО его длин6.
При этом услОвии тзкж6 мОжнО считать чтО поп6речные с6чения, лежащие из достаточном расстоянии от КОицОВ цилиндра, ОСТЗ1отся плОскими и деформация 6 пОстбяннэ. Для решения температурной задачи можно воспользоваться тем же метОдОм„котОрын был применен при расчете цилиндра на дей стВие внутреннего и ВнешнеГО дзвл6ний. При этОм урзВнение рзв" новесия (16.1) не изменится.
Геометрические соотношения (16,2) и (16.3) также сохранятся. Несколько иными будут физические за ВНСИМОСТИ. ОбОзнзчим через У повышение температуры, ззвисяпФВ6 От рэ" днуса Г, а через а — коэффициент линейного расширения, 4 1 Ф ВОспОльзУемся Обпбщенным зВкОНОм Гуки, дОбЗВНВ к дефОрмз' циям, ОбуслОВленным нзпряжениями, темперитЯ)ные рисширеииЯ» 1ОГДВ Для ВВ, 6~.~ ФВ НОлучим следун)щие фОрмулы 6 = — (тт — РО, — )н)е) +стХ = сОп$1; 1 6,. = Е (От — 1Н)„— 1$УВ)+%7; 1 (16.34) ! ВВ = — (О — Р~а — Р у,) + ~тХ.
РбшВИ зти урВВнения ОтнОсительнО ИВпря)кений, нзидем, чтО а =- ) 1(1 — 1))В +рв,+рВΠ— (1+р,)стХ1; а, = 1(1 — р) В, + рве+ 1те,— (1+ м)ат); (16.3$) ОВ = 1(1 — и) ВВ + нв, + рв, — (1 + 1)) стТ1. Е Вырзжзя в этих форм)лих деформации через перемещения: ди И В = — ЯЗВ=в Ду. В Из зтОгО урВВнения мОжет быть ОпределенО перемещение, если нзВестен ззкОн изменения темперзтуры Т (Ф) пО тОлщине стенки ци ЛИНДРВ, ПОследнее урВВнение мбжнО предстВВить В Виде Интегрируя зто ураинение ДВВ раза по г„найдем общее рещеине: и = — ~ ЮХттЬ'+ Аг+ —.
1+н В ($6.37» т МОдуль унрутости Е зависит От ти4псратурч, Эдссь Вто нс учитнааютсн, что Виолис донустнно, если разность тсмпсратур внутренней и наружной новсрхностай внлинлра невелика. В таком сауна МОДУль Ь' СЛЩ'Вт брать равнни всо значению нрн ц)сднсй ~ипсратя~в стсйки цилиндра+ Постоянные А и В Определяются из услоВий для 4у на внутренней и наружнОЙ повсркностяя ~~илиндра.
Так кан атн повсряности свобОдны От наГруаки, тО (а,)... 0 И (а,);=~, = О. Подставив в выражение (16.35) для а„деформации а, = —,„и Вв = —,, а затем полученное решение (16.37) для и, будем иметь (16.38) Приравнивая ЭтО Выражение к нулю при Г = /~ и Г = м~„получим два уравнения для Определения А и В, репия которые, найдем„чтО А (~+и) ( — ~Ф 1-Р т~-к~ 4 В = —,2 р ~ФТГ дг. 1+, 1 — Р а — ~ г, После подстановки Этих значений В фОрмулы (16.35) получим . (16.41) В последнем выражении неизвестна Величина а * Если цилиндр имеет возможность свободно расширяться, то а~ мОжно найти из условия, что продольная сила В поперечном сечении равняется нулюз т. е» ~',ГЙ =О.
( У'~ Подставляя Оода значение о из Выражения (16А1), наЙДем: 2 КТ) Й' ИТ е Е 2 1 Р '2 2У2 Вычислить ЯТ)" Й' и определить наприжениЯ мОжнО„если Язве стен закон изменения температуры Т (г) по толщине стенки цилиндра. На ибОАее простым и частО применяемым В технических расчетах законом изменения температуры является линейный за- * 11ЙМФТ» КОН. ПУСТЬ T = Т,— 7", ОбО- значаетпревьппеииетемпературы 44ЖИ Вщтренней пОверхнОсти пилннд- 4%6уТ~ ~рддр 4~ ра иад температурОЙ наружнОЙ б~ поверхиости, ТО)'да Линейный закОн изменения температу1)ы по 5 радиус~ цилиндра Выразится д' формулой Рис. 4И Т~р' = Т~ ' . (16.46) Подставив зто выражение в формулы (16.39), (16.4О), (16.45) длЯ напряжений и выпОлниВ инте) рирование~ пол1~чим е,,т 1 ~ ~ 4~ 2-41. ав — (,, ~~+ —,, — ~1+ —,,~ )л ~, ~, (16.48) ЕаТ~ 3 (1 — р) (~" — к)) Эпк)ры расп1)еделения напряжений по толщине стенки цилиндра О отноп)еиием А = — "' = О,б при м = О,З предс)звлены на рис.
455, а. ИИО7дз щ)йиимЗют, что В толстостбнйых цилиидрзх темпсрвтур3 ИЗМЮНЯСТСЯ ПО ЛОГЗрйфМИЧЮСКОМ)» ЗЗКОНУ УСТЗНЗВЛИВЗВМОМУ ТИфйСЙ ТЕПЛОПЮ~ЖДЗЧИ: Т(,) = — Ы вЂ” "' ($6.И) 13 —" У'~ Подетввив зто Вирзиейие в формуль1 (16.39), (16.40)„(16.45) и ВыПОЛНИВ ИНТСГДИРОВЗНИЮ» ПОЛУЧИМ Ей7 1д $~ + 1 3 1П й ° (16Щ 2(1 — ф 1п — ~ У ВНУТ(МИНЕЙ ПОВЕРХНОСТИ ЦИЛИНДРЗ Ю,=01 ь',, 1 2(1 — 31 Ь вЂ” ® 2 $ 2~~~ у 1 —,, 1п — '~. (16,57) 2(1 — р) 1а — ~ Эйолфы Рзспрвделвйия нзп11я1ксйий по толн(йне стейкй цилиндрЗ с Отношвййем Й ~ —" ~ 0,5 п(1И (~ = О,З в случЗВ ИЗмВнвййя тСмпеРЗТУРЫ ПО Л0$'3()йфМИЧЮСКОЩ ЗЗКОН~ П~)6ДСТЗВЛЮНЫ НЗ РИС.
455, 6. ОТМЕТИМ, Что ВбЛИЗИ ТОРЦОВ ЦИЛИНДРЗ НЗПРЯЖЗННЯ, ОПРЗДЗЛЯЮМЫС ПОЛ~ЧИННЫМИ фОРМ~ЛЗМИ~ МО1'УТ ЯМЩИТЬ МЕСТО ЛИШЬ В ТОМ СЛУ чзе, сслй торцы будут йз1'Ружень1 повс(~хйостной йз~руЗНОЙ, НЗмвййКИЩЙСЯ В СООТВЕТСТВИИ С ФОРМУЛОЙ ДЛЯ О~. $цниы сгенки цилиндра, х рйкт~".рпл~емым ВеличииОЙ Отнон»ения Внутреннего радиуса к наружному А — —.
Ф'~ ' Напряжения определяются по формулам (36.30) и (16.И), котоРые в ДйнноМ Случае УДООНЕЕ ЗйПИСйтЬ, Введя Отноп»ЕИИЕ Й = ($6.5$) При изменении толщины стенки цилиндра напряжениео; остается сжимающим и плавно изменяется по гиперболическому закону От значения — ф» у Внутренней пОВерхности дО значения — ~Рр у на" ружной (рис. 456, а). Для Вычисления напряжений ай у Внутренней поверхности»»илнндра (г = г») и у наружной (г = г,) формулу (16.59) можно записать соответственно та к: Подставляя сюда различные зиачениЯ Й„можем Вычислить напря жения ай у Внутренней и наружной поверхностей цилиндра при заданных значениях Р» и Р».
На рис. 456, 6 — е покйзань» зпюрЫ ай при значениях й 0,707; й = 0,655; Й = 0,578; Й = 0,446; й = 0,354, 2. С т а л ь п а и т р у 6 й с внутренним диаметром Ь" =40мм пс»двергается внутреннему давлению р = 2500 кгсйм'. Определим толщину 8 стенки трубы по четвертой теории прочнОсти если до пускаемое напряжение для стали И 5000 кгс/см». Опасными Явлик~тси точки ТРУбы У ВнутРенней повеРхностиэ Где Главные напряжения имеют следукацие значения ~'а + ~~~ 1 + Аэ ~, -~Е- — Р- уР: т ~2 (16.66) 2 1 оз=о =О; Оэ=о = — Р.
Условие прочности по четвертой теории Оэкмч = ~- 1~К вЂ” ИЗ) +Р~ — ОЭ)~+(Ож — ОЭ) ~К ~'2 после подстановки наприжений из формул (16.6О) принимает вид ИЛИ оэии»" ~ ~ ~ ~э Р~ + 1 аэ Р +~И ~~Ю (1662) г"г 1+Ьэ ~э 1+Ю УДЗ ЙО1' — И') ~' — 2 Ы" А'+ (Ы' — Зрэ) = О. Ре~нзя относительно Й', получаем Тзк кзк й' < 1, то перед корнем следует взить знак амииусз. Тоцр Ю- Толщина стенки трубы 3 = (55 — 2О) мм = 35 мм. З~ Найдем Оптимальную величину давления~У натяга с оста вн О с О ц и л и н д р а из услОвия рзВИОпрочности Внутреннио и нзруж- НОГО ЦИЛИНДРОВ И ВЕЛИЧИНУ ДОПУСКЗЕМОГО ВНУТРЕННЕГО ДЗВЛЕНИЯ Рх. Х~ано: ~~ = 4ОММ;к, = 11Омм„к, =8Омм; И 6ОООкгс~см'. Расчет выполним по четвертой теории.
4%1 Наприженин ВО внутреннем цилиндре будут иаибольшими при г = г1 и такими согласно формулам (16. 14), (16.15) и (16.24): (а.,).-., = — Р; »~~ +»'» 2»~~ (16.63) (»т91)~=»'~ = ~ Р Р» о д Р»: = 1МР1 М7Р~. 'Ъ '» В наружном цилиндре напряжения будут наибольшими при г = = ~, и такими согласно формулам (16.14), (16.15) и (16.17): 4~ (о а) — = а и ~1 /Р» Ре = О 136Р» — Ра И е Г2 — ~11 (оки)4 ~, = ~ я ~1+ р/Р»+ ~ ~ Ре= О.44Р»+3»25Р~» »а»а Подста~~~ выражение напряжений черви д~~л~~ия, ~с~об~дившись От радикалов и приведя подобиь»е члень», получим 3,74Р~~ — 13,62Р,Р— 7,68Р~ = О. Решив это уравнение Относительно Р1, найдем, что Р'(ае )' — (ов,) (о.») + (о.»)' = (о).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
