Писаренко Г.С. Сопротивление материалов (1075902), страница 74
Текст из файла (страница 74)
ЭтО Обстоительство и необходимО учесть при БИЗОНА дифференциальнОГО уравнении упруГОЙ линии балки-пОлоски. диф4жренциальное уравнение НЭГиба длЯ балки-полоски можно получить таким же способом, как и длЯ обичнойбалки (см. $ 66). И При этОм стзтичес кз я и Геометрическая сто р 0 и ы э 6 д 3 ч и Вьфзжзютсн теми же ЗзвисимОстЯМН (1О,З) и (1О.б), что и В случае Обычной балки, 3 именно: 3) статическое ура внениев ~ о„уИГ = М (м); (17.27) 6) ГеометрическЗЯ зависимость— (17.28) Ф и 3 и ч е с к 3 я с т О р О н 3 3 3 д 6 ч н (связь межщ напря" жением О„В поперечном сечении и ОтиОснтельнОЙ деформацией 6~) ДЛЯ балки"полоски БЬЦэзжаетсй нз ОснОВзнии ФОрмул О606щеннОГО ззкОИВ 1 укз с учетОМ тОГО~ чтО В = О." ~Ъ 6'~ а = — — р,— Е $ ЕАэ ЕХ 12 (( — р~») 1 — (Р (И.36) называется Ци.4ийд~ичГскоп жимпкОспн»ю.
Онз больпде Обычной жест" кости пОперсчногО сечения балки Е1. Дифференциальное уравнение изгиба с введением общепринятого Обозйачеййй Ннлйндрическо(4 ~есткост~ через О записывается так: »» ~ - ~»»»,»1 дваждь4 диффере~щируя по х обе части этого уравнении и учитывая» чтО "— »7 (х) ПОлучаем уравнение В слЕдукмцем Виде; Рм (х) В ~~(" — — д(ж).
(17.31) Ч'аким образом, для балки-полоски днфферен- цизльнОС уравнение упругой линии будет иметь ВИД Р»»Ф. 436 Теперь выразим кольцевое усилие У~ Оболоч" ки через прогиб балки в (х) (рис. 478, б). Одновременно в (х) является й радиальньгм переметцением точек Оболочкй (рис. 480) ВследстВие дсЙствия (~„» М, й р. Это пе~~емеп(ение вызывает в ~пиротном направлении относительное удлинение 2к Я+в(хЯ вЂ” 2лй е(х) (17 33) В»~ 2йй й ( ° Считай» чтО мерндиональных напряжении растяжения В ОбОлоч кс нет, пОлучим кОльцсВОС напряжение а, = Еа, = — в (ж) Е (17,34) н, накОнец, НОльцевое усилие Ф~ = а~ ° Ь ° 1 = — и» (х).
ЕЬ и (17.35) Внеся это выражение В уравнение (17.32), получим (17.36) Уравнение (17.36) идентично уравнению (11.12) (см. ф 73), описываю»цему изгйб балкй йа упругом осйоваййй, если принять Я® (17.37) ПОзтОму преобразуем уравнение (17.36) так как Вто делалось В 3 73. Разделив уравнение (17.36) на В, учтя Выражение (17.3О) и Введя Обозиа чей ие ',/' 3(1 — р) (17.38) (17.39) ОчеВиднО Величина Й иЗмеряется В см ~ повтому переменная $=ах (17АО) будет безразмернОЙ. П1»имем ее За новую независимую пе$юмейную« ПоскОльку И'в ~х) ~ ~Вв ф 3 (! — р'~ Фи (ф йе»Р дР то уравнение (17.39) окончательно запишется в виде (17.41) Лсгко проверить, чтО частным решением МОГО Л»звнения будет (17.42) ОдноРодное же уравнение„соответствуй»»цее уравнению (17.41)„ в точносги совпадает с уравнением (11.16), и его общий интеграл записывается В виде (11.17).
Поэтому Общий интеграл уравнейия (17.41) будет иметь вид ц»(9 = Е»» +е ~ (А соз$+ В31П Ц+ е~(ССО3$+В»31ПЦ. (17.43) Здесь четвертая постоянная обозначена Ц, а не О, чтобы не путать ее с цилиндрической жесткостью. С физическОЙ тОчки зрения Очевидно, что В сечениях~ бескОнечно удаленных От рассматриваемого края Оболочки» Влияние Я» и Ме должно исчезать и а (юо) должно быть конечной величиной. Этому противоречит последнее слагаемое В Выражении (17.43), которое из-За мнОжители 0 неограниченнО возрастает на бесконечности.
ПО. ЗТОМУ СЛЕДУЕТ ПОЛОЖИТЬ С=В =О. Тогда в9= ~~ +е ~(АСОЗ$+ВяпД. (17А4) Воспользовавшись известными диффере~щиальнымн зависимостими дли балок (где жесткость ЕУ За~енена Цилиндрической жест'- костью.О): йа 6Ь . 8= — =а— 0х а$ из формулы (17.44) получим следУГОЩие Выражении дли углов на- клОна упругой линии изгибаГощих МОментОВ и пОперечных сил", 9 = ае ~(А(соа$+ яп Я+В(соз$ — а(п Ц; М= Оа~е ~(2Аз1п3 — 2ВСОЗ$)," (~ = Ва'е ~12А(соз$ — яппи)+ 2В(соз$+ з1пф. (17.45) Выразим теперь постоинные А и В через Ч, и М .
Поскольку (см. рис. 478„6) Мр — — М~~ о, (~~ =Я~1 о, то„положиВ В последних ДВух Формулах (17.45) В = О, получим, что — 2В.Оа~ = М; ХЪР(2А + 2В) = Яе А = — (О +аМ); В = — — М. Подставив найденные значении коэффициентов а выражении (17А4) и (17.46), найдем окончательно: в = — „+ — е Я,СОЗР+аМ,(соз~ — з1ПЩ; М = — е ~Я,З1П$+аМ~(соа$+з1п Ц; Я = е 1Я (созе — а(п$) — 2аМ~З1ПИ, причем а дается формулой (17.38), а $ — формулой (17.4О). Полученные формулы предстзВляют репи'нне постзвленнОЙ зада чи, так как дают возможность вычислить В любом поперечном сечении ОбОЯОчки рзДизльное перемеЩение и» уГОл наклона 6 Деформи" ровзниой образующей к Оси Оболочки, пОГОнный НЗГибзющий мо. мент М и погонную поперечную силу Ц. Положительные направлепня зтих величин совпадают с положительными нзпрзВлениями т»»а,8а, Ме и Я~ (на рис.
478,6 т»»е ~ ~О, Ме > О, Я~= О, а 8, < 0). 'И'летовав и„ибные напряжения 'В балкь,п „, '„еленной В тонкостенной цилиндрической ОболОчке, мы пОлучили решение и для всей Оболочки. Напряжения О„~ В балке-полОске Являются нзгнбиыми напряжениями Ощ В мериДионзльном направлении Оболочки (В поперечных ее сечениях) з напряжения»т~ — изгибными напр Яженнями п» в широтном направлении (в продОльных сечениях).
Эпюры п,„н»т» по" казаны на рис. 481. Напряжениям и„ соответствует изгиба щнй омент М, ' л» з нзпрйжениям и» вЂ” мОмент М~. РВнеебылОООкэВВЯО, чтООу $кГ . б б~ 1ОГДЗ, ОчеВНДИО, Мт = рМ. (17.47) В продольных ~е~~ни~Х Оболочка тзкжеподвергзется растяжению или сжатию(в зависимости от того, изнутри или ИЗВне действует ДЗВЛЕНИЕ). Максимальные напряжения Определяют по фОрмулзм 6М . 6М» а»» Жлмбкс = ~р 1 П»мбкс = ~ ае + З а (17е48) Входящие сюда величины М, и Ф, можно найти по формулам (17.47) и (17.35» после того, как по формулам (17.46) Вычислены и» и М.
Имея же максимальные напряжения и выбрав ту или иную теорию прочности, МОжно провести расчет нз прочность. При этом нужнО ОбрзЩЗТЬ ВНИМЗНИЕ На ВЫбоР ПРЗВИЛЬИОГО ЗНЗКЗ В ФОРМУЛЕ ДЛЯ П»вщке. 13ыясним теперь, насколько далеко от края оболочки распространяется влияние краевых моментов Ма. Сделаем Это нз слеДуюЩем ЧИСЛОВОМ ПРИМЕРЕ* Пример И. Сталь»ин труба (Е = 2 ° 1О' кгс/см', р, = О.З) радиусом й = = 40 мч с толщиной стенка Ь = 2 мм наийнтса нод действием равномерного внутреннего давления»т= 25 кгс»см' и краевых моментов М®= 3,33 кгс х Х смlсм (рис. 432), — е я(саьй+з1пр; 6М 6Р4е ОФФкс йф АМ Е рй 6»И 1 Г3 — Р— В о = — + — н» = — + ра + — ໠— е (созыв »иаас йз р й авакс йз $ З вЂ” з1(п Ц.
($7.61) Подставив числовые значения р, »с, Ма, й и р, получим а „„= 5ООе Я(ссв$+з1пЦ; о» вЂ” — 5ОО+425е Яссвф — 125а Яз1п$=2О+ 17е Ясоз$ — ба ~з1пф. Пользуясь табливамн функций е й (созе+ з1п 4); е 4соз3 и е 4з1п ф (табл. 19 и приложение Щ„внчисляем значения о„а„с и о» для ряда значений $ (табл 191 и по этим данннм строим эпюры, показывающие изменение по длине оболочки максймалынлх мерйдйональнмх и кольиевмх нанряжеййй в точках у внутренней поверхности и поперечнмх и продольных сечениях оболочки (рис. 432), Эти эпюры показывают, что приложенные к краю оболочки изги- баЮщИЕ а1ОыЕИТЫ М„ОКВЗЫВВКТ ВЛИЯНИЕ Иа иапряжЕИнОЕ сОСтОянИЕ оболочки тОлькО В иепосредствеинОЙ близости От места их приложения. На достаточном же удалении От края напряжения практически сОВпаДают с теми, которые получаются В результате расчета Оболочки по безмомеитиой теории.
Наличие в оболочке честных быстро зату- хающих изгибных напряжений обычно называется красим зффек- и1о.я. Все сказанное относится н к действию поперечных сил Я„рас- пределенных по краю оболочки (см. рис. 477). В предыдущем параграфе было введено понятие краевого зффекта в оболочках, что во многих случаях упрощает расчет конструкций, которые по своей расчетйой схеме могут быть отнесены к цйлййдрйческим оболочкам. При этом большое значение имеет то обстоятельство, что, хотя формулы (17.46) н другйе былй получейы в предположении, что цилиндрическая ОболОчКа ПОЛубЕСКОнЕЧНа, ИХ, ОЧЕВИДНО, с успехом можно применять и для Вне.
433 конечных ОбОлОчек, если тОлькО длина НОследних заметнО превышает размеры зоны, занятОй краевым ЗффЕКТОМ. ДОпустим„что к т О н к О с т е и н О м у д л и и н О м у ц ил и н д р у (рис, 483) в сечении А — А приложена равномерно распределенная по периметру сечения нагрузка интенсивностью Д игам. В даннОм случае краевой эффект симметричен Относительно линии АА. Иозтому: 0 0,21 0,49 0,76 1,'04 1,32 1,'60 1;88 2,15 2,43 2,71 2,99 3,27 3,54 3,82 4,10 О 0,3 07 1',1 1,'5 1,9 2,3 2,7 3,1 3,5 3,9 4,3 4,7 5',1 5,'5 5,9 1,000 0,708 О,'371 О',151 О,'016 — 0,048 — 0,067 — 0,061 — О',О45 — 0,028 — О,'015 -О',005 О,ООО 0,002 О',003 О,'003 ,219 ,329 ,297 ,222 ;141 ,075 ,029 ,002 ,011 ,014 ',013 ,'ЯЕ ',015 ,ООЗ ;001 1,000 0,927 0,700 0,448 0,238 0,093 О',008 — 0„032 — 0,043 — 0,039 — 0,029 -О'„018 — О,"ИŠ— 0,003 О',ООО О',002 17,00 12,04 6,*31 2,57 0,27 — 0,82 — 1,14 — 1„04 — О,"76 — 0,48 — 0,26 -О',08 О,'ОО О',03 О,'05 О',05 О 1,10 1„'65 1 48 1,'11 О',71 О,'38 0',14 О,'01 О',06 — О,'07 — 0,07 — 0,04 — 0,03 — 0,02 — О',01 37„00 30,94 24,76 21,09 19,'16 18,47 18,48 18,82 19,23 19,58 19,Н 19,99 20,04 31*„00 20.08 20,06 Труба находится в условиях, близких к условиям предыдущего примера, НОВ~о~у ю~„~ Определяется формулой (17.54).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
