Писаренко Г.С. Сопротивление материалов (1075902), страница 76
Текст из файла (страница 76)
(18.6) При атом, сОГласнО Выражению (16.2), Р1, = (1 + 2 сОВ с~) о;,Р. (18,7) После поивлениЯ пластическоГО течении В среднем стержне кОИ" струкциЯ еще сохранйет спОсобнОсть Воспринимать Воарастакйц)чО йзГруаку. При Этом усилие Б среднем стержне Остается постоянным и раВИО Ф~~. Конструкция превращается Б статическн Определимую и усилия В крайних стержнях Определяются из услОВия раВИОБесия узла (рис.
489): Исчерпание несущей способности конструкции наступит, коГда и Б крайних стержйих йапряжеййя достйт йут предела текучестй. СоотВетствующая Этому моменту иаГрузка Рпр — — О,Р+ 2Ра,сова =- (1+ 2соаи) О,Г. (18.9) ~ Запас прОчнОсти при расчете по предельному состоянию ~щ~ (1 +2саьа) в,Р (13 16) ПР р Р 1 Очевидно, что а,р.'> а,. Например, при а = 30' — "р = 1,19, '1'аким Образом, расчет НО предельйОму состоиййю позволил обйа- ружйть скрытый запас работоспособйости конструкции.
Определим запас прочности трехступенчатоГО бруса (рис. 49О), НБГОп)влейиоГО ия пластичнОГО материала. Расчет по допускаемому напряжению. За- дача Ойий раа статически Йеопределимаи. УслОБие равиОБесиЯ имеет следующий Вйд." Мд + КБ — 2Р = О. (8.11) Деформации участкОВ бруса ДОлжны уДОБлетворйть услОВию И, +И~+Из О, ИЛИ йЛ= 2 ~Ь.
3 (1 Подставляя значения Кл в выражение (16.11), найдем, что Яв = — Р. 4. (1 Реакння верхне о закрепленйя ЙА = — Р. 6 5 (1 Участкй 1 н П бр~са сжаты усилием Уу = Фм = 5 Р~ а учас" 4 6 ток 111 растянут усилием Иц~ = — Р. 5 НаибОльшие напряжениЯ Возникают В поперечных Сечениях Верх него участка, Эти напряжения Оц~ = — = —. ~ш 6Р Г =5Р (16.15) Запас прочности по пределу текучести 1 П о, Ь о,Х (16.16) ОШ Расчет пО предельйОму состОяййю. Прежде Всего Выясним, какое состояййе для рассматриваемой системы предельное.
Из ВыпОлненного Выше расчета следует, чтО В пределах упругости ош ."~ О~:>ад. Поэтому при возрастании нагрузки предела текучестй сйачала достигйут йапряжеййя в Верхйем у~ветке. Это состояние йе прйведет к исчерпаййю несушей спссобйостй с~стемЫ, так как нижние участки, находящиеся еще в упругом состоянин, будут сопротивляться Возрастакяцей нагрузке.
Уснлие, Восприннмаемое Верхним участком, при зтом постОяннО: УМУ, = ЯЛ = О,,Г. (16.17) Участки 7 и П окаты силой ФУ = И~» — — Дв = 2Р— Йл — — 2Р— О.Р. (1Ы8) Прн дальнейшем Возрастаний нагрузок Р пластическое состояние йаступйт в ййжйем участке 1, где йапряжеййя боЛЬШе, чем В участке П. ЭтОт мОмент и соотмтствует исчерпанню несущей способности системы, так как средний участОк, находясь между пластически деффмйрованными Областями, не Встретит ВозрастаюЩего сопротивления перемицению.
Таким образом, предельное состояние системы характеризуется появлеййем текучести одйовремеййо В Верхнем и нижйем участкаХ. Йредельную нагрузку найдем из услОвия 2Р„„— а ~ (16.19) Рдр =и 'Г (18.20) Запас п«ючности с~стемЫ, нагруженной силами Р, (18.21) Сопоставляя формулы (18.16) и (18.21), видим, что запас прочнОсти ОказалсЯ большнм, чем В случае расчета по дОпускаемОму напряжению.
При кручении стержней с круглым поперечным сечением касательные напряжениЯ В упругой Области пропорпиональны расстОЯ- ниям точек сечения от оси стержня (рис. 491) и определяются по формуле «И„ (18.23) ~~эй~ = В, Когда крутягцнй момент увеличивается, то плас~~~~ск~е деформации появляются не сразу по всему поперечному сечению„а постепен- ИО, по мере «юста момента распространяются от наиболее уд~ленн~х тОчек к Оси стержня. ВследстВие этоГО расчеты иа прочность по напряжениям %ест в наиболее опасных точках И ПО ПРЕДЕЛЬНОМУ СОСТОЯ- Т нию дают различные результаты даже В статиче- « ~~у ски определимых системах, Расее~ по предельному состоянию и в этом случае позволяет обнаружить дополнительные резервы прочности.
Рассматривая ИИ"чение В пластическои Обласги, буДем преДПО лагать, что зависимость между касательными напряжениями и Относительным сдвигом для материала соответствует идеализироВанной диаГрамме с иеОГраниченным Горизонтальным участком (рис. 492). При иекОто«юм значении крутЯЩего момеита «И, = т.В „, напряжения т~„, в наиболее удаленных точках сечений достигйут преДела ~екучес~и.
Вследс~~~е «юста напряжений Во Всех точках, лежащих ближе к осн, стержень сохранит способность воспринимать Возрастаккции крутящий момент. С дальнейшим уВеличснием ПО- следнего рост напряжений приостанавливается в тех точках, где они достигли предела текучести, В Остальных же точках, образующих так называемое упругое ядро, напряжения Возрастают, 3пюра нзпРЯжений, соотаетстВУющаЯ этОму сОстОЯнию стеРжнир пРииедеиз нз рис. 493, и.
Упругое Ядро имеет радиус Г~ и,огда плзстическзЯ ЭОИЙ Охазтит Все сечение, несуЩЗЯ способ" ИОсть стержнЯ будет исчерпана„тзк кзк В Дальнейшем Он буДет азкручиазтьсЯ без уиеличениЯ крутЯЩего момента. Эпкрз изпрЯжений йри этом состоинии стержнЯ иаобрзженз иа рис. 493, б. Вычислим ВеличинУ ПРедельного кРУГЯщеГО момента Мпрр соот Ветстаующего исчерпанию несущей спОсобнОсти стержни.
Выделим В пОперечиОм сечении элементарную площадку В Виде кольца шириной ф (рис. 493, а). Величина площадки, на которой Дейстауют касательные нзприжении т,, состзаит дР = 2прф„з Величина момента От этих нзпряженнй ОтиосительнО Оси стержня будет Т,2щРф. Крутящий мОмент В сечении рзаен сумме Всех Элементарных мО- ментОВ Внугренних сил. Поэтому М,р т,Ьв ~ рЧр, 4 М„,=Т,В'„( ). (18.26) Найдем отношение предельноГо момента М,~ и момента М„при КОТОРОМ В СЕЧЕНИИ ВПЕРВЫЕ ВОЗНИКНУТ НЗПРЯЖЕНИЯ ТЕКУЧЕСТИ: (18.27) ПодстаВИВ значении %'р(дщ~ и В р йолУчим ~йР ~йР 12 Р 16 ' ($8.28) М,, ИЛИ Таков скрытый запа~ работо~~особнО~Т~ круглого стержня, Обнаруживаемый при перекоде От расчета по допускаемым нап«)яжениям к расчету пО предельному состоянию.
У скручиваемых стержней кольневого поперечного сечения рас пределение напряжений в упругой стадии ближе к равномерному, позтОму раЗнипа в запасах прочности, Обнаруживаемая при расчете ПО ПРЕДЕЛЬНОМУ СОСТОЯНИЮ И ПО ДОНУ У скаемь)м напряжениям буДет меньп)ей. В качестве п«)имера рассмОтрим СТЕРЖЕНЬ КРУГЛОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕ- н ия, концы которого жесткО защем" лены «рис, 494, а).
В промежуточном 1 сечении стержня приложен закручивающий момент М„. Определим запас прочнОсти при расчете по допускае" мому напряжению и по п«)едельному состоянию. Ра счет по дон ус кае м ом у на пр Я же н ию. Раскрыва- д ем статическуто неОпределимость зада- Гиа, 4И чи при упругом сОстОянии материала. Обозначив «)еактивные моменты через Мл и Мв получим уравнение равновесия в таком виде: Мд+ Мв — — М„, (18.86) (18.31) Реп)ая совместно уравнения (18.801 н (18.32), найдем, что 2 1 МЛ=Мьр= — М„; Мв=ММ = — М„.
Ведя расчет ПО допускаемым напряжениям, имеем "е"~ ~мт "" ( ~ я 32М„Т~ (16.33) Отсюда запас прочнОсти по пределу текучести (18.34) Р а с ч е т п о п р е д е л ь н о м у с о с т о я н и ю. При увеличении скручивающего момента наибольшие напряжения на первом участке достигнуг предела текучести и затем зона текучести будет распространяться к Оси стержня. Когда текучесть Охватит все сечение, резктиВный момент МА Достигнет своего предельного знз- ЧЕНИЯ. ЕГО ВЕЛИЧИНЗ Мл р =- т 11Ги ю (18.35) нлн Мд Р=т,—. ЯУ (18,36) Это Состояние не будет предельным Для Всего стержня, так как Второй учзсток1 нзхОдящийся В упруГом или В упруГО"плзстическОМ состоянии (с упругим Ядром), сохранит С~особ~ос~~ О~аз~~~~~ сопротивление возрастающему моменту М,. Несущая способность стержня исчерпается, коГда и нз втором участке зона плзстичиости распространится по всему сечению.
Реактивный момент Мв при этом достиГнет сВоеГО предельноГО значения Мн р - т %~' ( ь (18.37) (18.38) Эпюрз крутящих моментОВ В предельнОМ состоянии стержня изО- браженз нз рис. 494, 6. Предельное значение скручнвающеГО момента для ВсеГО стержня найдем из условия равновесия (18,3О): М . р =Млпр+Мвщ или с учетом выражений (18.36) и (18.38): (18.39) Запас проЧНОсти (18.46) Таким образом, расчет по предельному состоянию показал, что запас прочности стержня значительно выше, чем тот, который дает расчет по допускаемому напряжению 1формула (18,34) 1. Огношение этих запасов прочности — = 1„78. Й ~ Иу Следует отмепггь, что расчеты по несущей способности Вполне приемлемы прн действии постоянных крутящих моментов, В поперечных сечениях балки при изгибе нормальные напряжения В упругом сОстОЯнии материала распредюлЯются неравномерно» линейно изменяясь по высоте балки (рис. 495, а).
Наибольшие нормальные напряжения в наиболес удаленных от нсйтральной линий точках поперечного сечения определяются по формуле М Оы»ке = При расчете на прочность по допускаемым напряжениям запас прочности определяется как отношеййю предела текучести материала к наибольшему напряжению. Этим самым за опасное принимается '4 ~ъч» ~»( сОстОЯние балки, соотвютствукхцюю дОстижюнию наибольшими нОрмальными напряжениями в опасных сечениях предела текучести. Такое состояние лишь условно можно считать опасным. Балка еще сохраняют с~~соб~ос~~ восприйимать увеличивающийся изгйбающий момент. Определим Величину предельного изгибающего МОмюнта В случае чистого изгиба.
Рассмотрим вначале балку, поперечные сечения которой имеют две оси симметрии. Пределы текучести при растяжении и сжатии будем считать одинаковыми, После появлеййя текучести В йайболюю удалеййых от нейтральйой оси точках сечения при дальнейшем увсличснии изгибающего момента пластическое сОстоянию материала распространяется В направлюййй к нейтральной Оси. До ~ол~о~о йсчюрпаййя несущей способнОсти балки В ее поперечных сечениях будут две зоны — пластическая и упругая (рис.
495, 6). Предельное состояние наступит, когда текучесть распространится по Всему поперечному сюченйю, так как после зтого дальйейшая деформация балкй пройсходйт без увелйчю- ниЯ изгибающего момента. Зпюра нормальных напряжений в поперечном сечении для предельного состоянйя изображена рис. 495, е. В рассматриваемом поперечном сечении образуется так называемый пластический ижрнир, который передает постоянный момент, раВный предельному изгибающему мОмюнту.
Предельный момент можно вычислить как сумму моментов относительно нейтральной Оси сил п»пг в поперечном сечении Где 8щщ~ — статический момент пло»пади пОЯОВини поперечноГО се чеиия Относительно нейтральной оси. ВЕЛИЧИНУ 25щ с ПРИНЯТО НаЗЦВОЪ ПЛ»тСИЦЧЕСКИМ МОМЕ»ИИОМИЖ- ротиеленал и обозначать Я7„,. Тогда М„р — — »»,И'„,. (36.42) ДЛЯ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯв ИМЕ»ОЩЕГО ШИРИНУ О И Высоту Ь, Отношение (16А4у характеризует степень узеличения запаса прОчности балки при пере ходе к расчету по предельному состояни»о. В С~у~~е 6~~Ни прямо УГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ ~ад М94 — = — =15.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
