Писаренко Г.С. Сопротивление материалов (1075902), страница 78
Текст из файла (страница 78)
В расчет п1эинимаетсЯ наименьша и жесткОсть стержня,Ищщ, так как ~~евидно, что прогиб ~р~~~~йд~~ пе1эпеидикуля1эно к осн наименьшей жесткости, если Остальные услоВНЯ для изГиба ВО Всех плОскОстях ОдинакоВы, как В рассматриваемом случае. В Отлнчие От поперечного изгиба при продольном В праВОЙ части втого уравнения следует ставить знак емииусэ, так как абсолютная величина изгибающе~о момента ~М(х)~ = ~Рв~„ (19.4) а знак проГиба ВсеГда противоположен знаку Вт01эой производной, Ф~ т. е.
знаки момента М (х) и второй производной —, противоположны при любом направлении и, Подставив в уравнение (19.3) Выражение (19,4) для изгибающего момента, получим ~ЕХ„~ ~ = — Рнэ, ($9.5) — + — и=О. ~Рв Р АР ЕХ „е Введя обозначение фФ Е"~мин перепишем уравнение (19.6) так„- — + А'в = О. И~® яы получили ОднорсФное линейное дифференциальное уравне- ние, Общий интеграл которого~ как изВестно, п1эедстаВляется Га1эМОннческой функцией Ф = АВ1п Йх+,Всозйх.
($9„9) Постоянные интегрирования А и 8 Должны быть пОДобраны так, чтобы удовлетворялись Граничные условия а(Х)~ з= О; ПЭ(Х)~ -~ = О Из первОГО ГраннчнОГО услОВНЯ следует чтО 8 = О т. е. в(х) = АЗ1пйх. (19ЛО) Из второго условия получаем АЗ1пЫ = О. (19.11) Еслй допустить„что А = О, то прогиб будет тождественно равен нулю1 т. е. в(х) = — О. Это реп~ение соответствует одной из возможных форм равновесия сжатоГО стержня, а именно — прямолннейнОЙ фОрме. Нас же инте" ресует значейне силы Р, прй которой стайовйтся возможйой другая форма равнОВесня — криволинейная. Так как А ~ь О„то прн йс" крйвлеййой форме стержйя должйо выполйяться равейство З1пЫ = О.
Корень зтого уравнения Ы может иметь бесконечное множество значений: О„Я, 2й, ..., ЛЯ, т. е. И = пй, ГДЕ П вЂ” ПРОИЗВОЛЬНОЕ ЦЕЛОЕ ЧИСЛО. Однако первый корень И = О отпадает, так как он ие соответствует исходным данным задачи. Таким образом, АЧ' = п'тР. ($9.12) Тогда из уравнения (19.7) получим Выражение для сжимающей силы: п®ФЕХ„ Р мни (19.13) Уравнение (19.13) представляет собоЙ формулу, впервые полученн ую ЭЙлером. Практически йас интересует наименьшее значение продольйой сжймакядей сйлы, прй котором стайовйтся воаможйым продольйый изГиб. Наименьшее значение критической силы Р)(р получим при и=1 и И=и: Возвращаясь к уравненням (19,1О) и (19.12), получим уравнение изогнутой оси стержня прн малых деформациях: е(х) = Азщ — ". НайбОлыпий Прогиб стержня Щщкс = 1' при а)П вЂ” = 1.
Тогда ю (х)'=и~~щи~ =~= А. СлеДОВательнО, уравнение упруГОЙ линии сжатого стержня имеет Вид ы~ = ~я'и —, (19.15) 1рафйк этой заВйсймостй показай йа рйс. 5ОО. Максимум ж имеет место при таком значении х, для которОГО Й~ — =б гх Ф 4М пя иях т е — =Р— соз — =01 й ИЛИ ОЭ$ — = О.
Наименьшее значение зрГументйр при котором косинус Равен Я ая,т и нулю~ буДет —, знзчит, — = — ' ОТКуДЗ В $117 рзссмОтрен так называемый ОснОВЙОЙ случай ИЗГружеиия и закреплении концов сжатОГО стержня — стержня с шарнирно опер- тими концами. Кзк было показзнО, пОсле потери устОЙчивости из длине стержня уклздыВается тОлькО Одна по- Р луволна 1л = Ц. Рассмотрим друГие случаи ззкрепЛЕНий кОЯЦОВ стержнй: 1. Стержень длинОЙ 1 заделан Одним конном и сжат продольноЙ силОЙ, приложенноЙ к свободному концу (рис. 502, а). Сравнивай рис. 6О2, й и б, видим, чтО НЗОГиутай Ось СТЕРЖНЯ, ЗЗДЕЛЗННОГО ОДНИМ КОНЦОМ, НЗЖЩИТ- сй в тзкик же условийк9 кзк и Веркийй Вина стержнй ДлиноЙ 21 с шарнирно закрепленными концами. 1"аким образом, критическая сила для стержнй с Одним заделаннцм а друГим сВОбо,пным кОнцом такая же кзк и УНЕ.
$62 ДЛЯ СТЕРЖНЯ С ШЗРНИРНО ОПЕРТЫЬИ КОНЦЗМИ При этом изогнутая ось стержня (рис. 502, а) имеет Вид половины пОлуволны синусоидьь 2. Стержень длиной 1, у юторого оба юнца жестко заделаны (рис. 503). После потери устойчивости стержня вследствие симметрии средняя его часть длиной — работает в тех же условиях, что и 2 стержень при шарнирно опертых концах, При этом Образуются две Ю ~э полувОлвы." средняя длинОЙ Е = — и дВе краиние по- 2 ЛОВИНКИ ПОЛУВОЛНЫ ДЛИНОЙ вЂ” .
2' Критическую силу в этом случае находим из ураннеиия (19.14) при Ь .=- —: 2 (19.36) 3. Стержень длиной 1 заделан Одннм КОНЦОМ И ПИРНИРНО $Вмс. ЯВ Рис. Я4 Оперт на другом (рис. 504). После потери устОЙЧИВОсти правая часть СВ стержня нмеет вид полуволны синусоиды. Из сравнения рис. 504 и 502, б находим, что участок Св длиной Х. 0,71 находится в гаких же условиях, как и стержень с шарнирно закрепленными концами. Значит, Соотношении (19.14), (19.17) — (19.
19) можно объединить в одну формулу ГдЕ 'ч~ ядр приведенная длина стержня» ,( — фактическая длина стержня" у — КОэффициент приведення длины. Таким Образом, различные случаи ОпираннЯ и нагружения стержня приводятся к основному случа~о введением в формулу для Р„~ так называемой приведенной длины 1„р = м1. Это понятие впервые было введено Ф. С, Ясинским," Из формулы Эйлера (18.20) Видно, что критическая нагрузки ааВисит От наименьшей жесткОстн Ыщи, длииы стержня 1 и коэффи" циента 'ч. На рис. 5% прийедены значения у для рассмотренных стержней.
ОДНВКО таКИЕ раСЧЕтНЫЕ СХЕМЫ На ПраКтИКЕ рЕдкО ВСтрЕЧаЮтСя В чистбм Виде. Чаще закрепления кОнцОВ оыВают упругими. Наиболее распространены следующйе случаи упругого закрепления коицОВ- а) Один кОнец стержня жестко заделан, а друтой упруГО Оперт; 6) оба конца упруго заделаны. Рассмотрим периый случай (рис. 506). После потери устойчивостй упруго Опертый койец стойкй перемешается В Вертйкальйом напраалении на Величину Ь„при этом Возникает упругая реакция Рв.
Эта реакцйя пропорциональна отклоне- НИЮ ~в. ЙВ= 4В Где е — кОзффициент упругостн Опоры,в, Состаиим дифференциальнОе ураВнение упругой линии сжатоГО стержня после потери устойчивости: Е1„,„— „= Р„р Цв — Ы~ — С~Я вЂ” х). ($9.21) ПОЛУЧИМ ИЛН вЂ” *Ив = ИЬ~1 — — ~+ И вЂ” х. (19.22) УЮ ! е1 1 4В ~Ь® Общии* интеграл этого дифференциального ураннения в сз~п»»+ Юсов»»+ ~» ~! — ' Й+ ~ Ь». (19.23) Ркр ~ Р~р Для определения постоянных ийтегрйроваиня и нунтической нагрузки нмеем такне Граничные услоиня$ Р р ~Ч'*~ Рассмотрим дВз предельнык случая- ПОложиВ ю = 0~ Получим Ц,Ы= оо, 'т, е.
и= — ", и приходим к такой расчетной схеме стержня, когда Один кОиец (леаый) жестко заделан, з другой (прааый~ саободен. Величина кри- тическОЙ силы ф й = И; т. е. И = 4,493 = —" Величина критическОЙ сйлк Р'р (о,пр что дает формулу для стержня, Одйн конец ко1орого заделан, а дру- гОЙ шзрнирнО Оперт. Таким образом, если коэффициент упругости опоры с меняется ОТ НУЛЯ ДО 6ЕСКОНЕЧНОСТИ, То ЭТО МОЖНО УЧЕСТЬ КОЭффИЦИЕНТОМ ПРИВеденйя р, который прй этом сООтаетстВеино измейяется От 2 дО О,7. Вь~аюд формулы Эйлера Осноязи нз применении дифференциального урзанеиия упругой линии. Поэтому ВоспользОВзться этОЙ фор мулОЙ МОЖИО лишь В тОм случае, если спраиедлиа эзкОн Гукз, т.
е. пока крйтйческое напряжение (напряжеййе сжзтйя, соотиетстау®- щее критической силе) не преиьппзет предела пропорциональности: ~р О„р = — ~ О'р„. Г (19.29) Дейстийтельно, еслй прямолйнейная форма Стер~ни ос*зется устОЙчииои й при напряжениях, преиьппзющих предел пропОрциО" нальнОсти, то дифференциальное ураанение (19.3)„предползгаюпФе спраиедлииость ззкОнз Гукз, уже непригодно.
Вцаедем фоРМУлУ длЯ кРитическогО нзпРЯжениЯ о~~р, В сООтает стиии с Вмражениями (19.29~ и (19.20) Р р "Е" л~' Г РЩ~ ~ ю1 ($9.36у Здесь~ = „-„„— „— квадрат наименьшего иа Главнык радиу- СОВ ИНЕ$ЩИИ СТЕРЖНЯ; Г ~ Гбр — плОЩздь брутто пОперечноГО сечения стержня. ВВОДЯ безразмерную Величину (19.3$) называемую гибкостью апержня„окончательно получим т. е. критическОе напряжение стержня зависит только От упруГих свойств материала (модуля упругости Е) и гибкости стержня Щ.
Функциональная ззвисимОсть (19.32) представляет собой ВидО- йзменеййе фоРМУлй ЭЙлеРз. В сйстеме кооРДинат о;,р — Х зта зз' вйсймость может Ййть представлена гиперболической крйвоЙ, йззыВземой ай~фрбояой Зйле~~. Б качестве прймерз прйведем такой график (рис. 507) для стержня из стали марки Ст3, Для которой модуль упругости Е = 2,1 ° 1О' кгс/см', предел текучес:и а, = 24ОО кгс/см~, а предел пропо~щионзльности о,щ =: 2ООО кгс1см . График показывает, что по мере Возрастзййя гибкостй стержйя критическое напряжение стремится к нулю, и наоборот„по мере приближения гибкости стержня к нулю критическое напряжение стремится к бескони ности. Однако из условия (19.29) применимОсти форм~аж Эйлера В фв соответствии с формулой (19.32) ИМСЕМ ~Щ ФЕ %~р = ~~ ~ о'$щу и. Следовзтел~ но~ О Ю ЙЮ бОА Хпр,д > — .
($9.33) Р'иа. ЗВАЛ Значит, формула Эйлера станОВится непригодной при ГибкОсти стеРжня меныпей пРедельнОГО значения Х~рщ ззвисяЯего только От сВОЙстВ материала, т. е. В рассматриваемом случае при ГЗ,14 а,1 1О Хцр~д ~/ ~"м~ 1 ОО То же можно полУчить и ГРафически. Если на оси оРдинат (о„р1 ОтлОжить Величину предела пропорпиональности (оп = 2ООО кгс1см'~ и провести из полученной точки К прямую, параллельную Осй збсцйсс, то ойа в пересечеййи с гиперболой Эйлера даст точку М, абсцисса которой и есть $ р,д.
Слева от точки М гипербола Эйлера показана штриховой линией, так как здесь она дает ИВ значения напряжений, большие предела пропорциональности, т. е. не соответствуюц1ие условиям ее применимости. ОДнако Явление продольного изГиба проДОлжзет су1цествовзть и за пределом упругости. Опытным путем установлено, что действительные критические напрЯжениЯ длЯ стержней средней и мзлОЙ Гиб" кости (А ~ ~~рщ) ниже значений ОЙРеделениых по фОРмУле ЗЙлеРЗ Ч зкнм Образом, В атом случае формула ЗЙлерз дает завышенные значения критической силы, т.
е. Всегда переоценивает действительную УСТОйчнвость стержнЯ. Позтому испОАьзсдйнш формулы Зйлс19й длЯ сли'Ржней, 1перлл~и4их ~спк Йчизосл1ь зо нр~д~~ом упру~ос1нн, нэ Глояько 11,4 32,6 11,'б 38,2 1,94 12О Щ)икЦипийлько и8придильно, но й крйййе ОГккно по иойм пюслсдсГЭ- аиям. Ъ~фетйческое решенйе зздзчй Об устойчйвостй зз пределом пропорциональности сложно„поэтому обычно пользуются эмпирическими формулами, полученными В результате Обработки 60льшОГО кО- личествз Опытных данных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
