Писаренко Г.С. Сопротивление материалов (1075902), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Температура у вйут- рЕИИЕГО КОНТура 7в = 200С. З у ИаруЖНОГО 7'З= 3(Ю С И ИЗМЕНЯЕТСИ ВдаЛЬ и, нн йному закону щ~териал иска зль с 5" — 2, «у у з. р = 0,3; 7= 7,85 ° 10 з кгс/смз; а = 125 ° 10 т. Вычислим суммарные напряжения от ценвробежных сил и ат нерзвиомерного нагрева. Дзя зтого воспользуемся формуламн (16.102) н (16.1031, Подсчитаем Вяодящие в зти формулы Величины: 3+ р '7 3,3 0,00785 «3,14 ° 3000 1з — — йР— — ' 8 к 6 981 ~ 30 0,325; 1+ав в,, ~,в в,ввавв ~ вл вввю )' в в в~1 1 вв -т е <В,Р Ц5, «О- .2. 10е 416.
2 Тв 2 100 — — ав 125* 10 ° 2- 10в=63„3. — у 3 г~ — г1 3 25 — 5 Подставив зти Величины в формулы (16.102«и (16.1031, получим а~ =,К + — — Оа325гз — 41,6г", Е ое = К вЂ” — — О, 187г" — 83,3г'в фФ Постоянные У( и Е найдем нз граничных условий: при г = гт = Ь см Эти условия даквт следующих дВЗ уравнения". 100 7(+ —,-0,325 ° 25'-41,6. 251 О=Х('+ — — О 325 в Р— 41,6 б~ У. а 626К + Е = 839 4501 267(+ Š—.— 5400. Рещиа ураанении, найдем, что К = 1390, а Е = — 29 350, Ураанення для определеиия напряжений принимают следувщий аид'. ю, 1ЗЮ— ЮВАО ° 7=.~~~В ЛЮ(' Р— 0,325ге — 41,бг; Р Рг $~~ 29350 ае 1390+— ф 3 — 0,187га — 83,3г. Вичисднм напРажеане Ог пРи сРеа- (1бдкв~ф„Р нем Значении радиуса ВОЛЮ 29 350 (М а= 1390+ — -0.187 5а — 83,3 ° 5 кгс~сма =2ИО кгсусма; 29 350 (ое~ щ 1390 + О 187 г 15 83 3 ю 15 кгс/см 230 кгс~смЯ» ~"Юй~ 15е 29 350 (оиру еа = 1390+ — — 0,187 ° 2У вЂ” 83,3 ° 25 кгс/сма = — 806 кгс7сма, ~ =25 25е Эперне напряжений показанм на рнс.
459, В РЗЗЛИЧНЫХ ОбЛЗСТЯХ ТСХНИКИ ШИРОКО ПРИМСНЯКЛ'СЯ ТЗКИЮ Д0- ТЗЛИ И ЗЛСМЮНТЫ КОНСТРУКНИЙ, КОТОРЫС С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ РЗСЧЮТЗ ИХ НЗ ПРОЧНОСТЬ Н ЖССТКОСТЬ МОГУТ 6ЫТЬ ОТБОРНЫ К ТОНКИМ ОбОЛОЧКЗМ. ЭТО цистВрны, ВОдОнзпОрные РСзсрн~зры, ВОздушныВ и ГззОВКФ бзллОны куполз Вдзний, Герметпческие переГОРОдки В сзмОлетзх и ИОдВОдных лОдках, зппзрзты химическОГО мзшинОст(кения, чзсти кОрпусОВ ТУРбИН И ~ЮЗКТИВНЫХ ДВИГЗТЗЛСЙ И Т. Д, Рассмотрим элемент оболочки (рис. 46О).
В общем случае в сечениях, котОрыми выделен элемент, дейстВуют ИОгОнные (Отнесен" ные к единице длины сечении) усилия (рис. 46О, а) и моменты (рис. 46О, б): нормальные усилия Й, и Ф;, касательные (сдвигающие) усилия Я, и Я;, поперечные силы ф, и Щ изгибающие моменты М, и М,, "кРУТЯщйе моменты М~„р и М,„. Исходные диффеРенциальные уравнения для расчета оболочек, полученные с учетом всех этих усилий и моментов, оказываются настолько сложными, что ингегрироВанйе их даже для простейших задач связано с большими математическими затруднениями.
Во многих же частных случаях исходные дифференанальные уравнения и решения задачи существенно упрощаются.Этого мож- ИО достичь, ВО-первых, учитываЯ харзктер самоЙ задачи. Если Оболочка представляет собой тело вращения и нагрузка симметрична Относительно оси Оболочки, тО задача назыиаетсЯ ОсГиижеЩ~йчнОЙ и в этом случае во всех сечениях, образованных плоскостями, прохбдящими через Ось симметрии, и в ортОгоиальйых к ним сечейиях Мьр= Ма,р=5,=-5 =О; ф=О (или (~~=О). (17.1) Во-вторых, если вид оболочки, характер нагрузки и закреплений НО тем или иным соображениям позвОлЯет прийти к выводу, что какйе-лйбо усилйя йлй момейты всюду малы по сравнению с остальйымй усйлиячи и МОментами, то принимают допущение, чтО эти усилия и МОменты равны нулю.
Например, частО полагают, чтО М1= Ма= М1 = Ма = О' Ю~= Юа-— - О, (17.2) и в результате приходят к так называемой беаиамениной теории Об~~очен. Еще более упрощаются уравйеййя й йх решения, если сочетаются Оба указаййых обстоятельства — рассматривается огеси.име~прй~- нйя задача а Йз~ио~~н~пной ~пеории оболочек. Тогда выполняются все равенства (17.1) и (17.2). Рассмотрим резервуар (рис. 461)„предстаВлЯющий собой Осесимметричную оболочку.
В ней меридиойальйые сечеййя срединной ПО« верхиости образуют плавные кривые, не имеющие изломов, Толщина Ь оболочки предполагается малой по сравнению с радиусами крй- Визны. СВ060диый край резерВуара закреплен так чтО на него могут действовать толью усилия, касательные к меридиональным кривым. Тогда можно считать, что оболочка находится в безмоментном напряженном состоянии„для которого справедливы равенства (17.2). Пусть резервуар заполнен (частично или полностью) газом, жидкостью или сыпучим веществом. Давление р кгс/см' в этом случае МОЖЕТ МЕНЯТЬСЯ ПО ВЫСОТЕ (Т. Е.
ВДОЛЬ ОСИ РЕЗЕРВУВРа), НО, ОЧЕВИД- но, будет Одинаковы~ во Всех Точках плоскости, перпендикулярной к оси резервуара, Тогда ОбОлОчка будет на~одит~ся не ~ОЛГО В безмоментном» но и В Осесимметричном напряжеином состоянии Выделим прямоугольный криволинейный элемент АВСО оболочки (рис. 461), проведя два близких осевых сечении и два ортогоиальных к иим и к поверхности О60лОчки сечения (последние сечения представля«от СО5ОЙ две Кони~еские поверхности с вершинами иа Оси резервуара).
Длины граней элемента обозначим через «й„'и «й~. Согласно равенствам (17.1) и (17.2), в гранях элемента действуют только нозмальные погонные усилия Л', и У и соответствуккцие нм напряжения о, и «т, (растягивавщие в случае внутреннего давления и сжимающие — в случае внешнего). Следовательно, грани элемента — главные площадки. В гранях АВ н СВ усилия Ф, могут отличаться иа величину Щ,„. уси~ия же У, в гранях ВС и Ао в силу Осевой симметрии Одинаковы. Поскольку У, — это усилие, ппиходящееся на единицу длины, то на все сечение ВС приходится полное усилие Жфз,. Это же относится и к другим граням элемента.
Элемент АВСО срединной поверхности оболочки Вместе с прплОженными к нему усилиями и давлением изОбражен на рис. 462. ТОчка Π— центр элемента, точки О, н О~ — центры главных кривизн срединноЙ поверхности» Щ вЂ” нормаль к ПОВерхнОсти элемента. Главные радиусы кривизны срединной поверхности обозначены через р1 и р~, причем р« — радиус широтной кривизны, а р« — радиус меридиональной кривизны. Очевидно «~~ = РФЫ «1Ъ = РФРз (17,3) Запип»ем условие равиоВесия элемента~ приравняв к нулю сум- МУ проекций всех сил на нормаль к элементУ. Рассматривая рис.
462 и 463, получаем 2Ффь~ з1п — + Ффз» з1П вЂ” + (Фа + йЧа)»Ь» а1п— Иф~ * йЬ вЂ” умЬфз, = О. СлаГаемое дЖфз» э)п — имееГ более Высокий порядОк малости, 2 и им можно пренебречь. Далее, учитывая малость углов дц» и дЧЪ и соотноп»ения (17.3), находим, что а1п — = — = — — ' а1п — = — — ~ 4Г» Йч» 1 Ь .
° »ЬЬ 1 Ь, 2 2 2 р» ' 2 2 р» Подставив эти выражения В уравнение равновесия н разделив его на»1з»»й„получим — "~-+ — "' =г. 07»4) Р» Ра * Выражение (17.4) УстанаВливает зависимОсть между двумя усилиями — Ь'» и Ф2, Поскольку, однако, неизвестных усилий два, то для Определения их ОднОГО ураВнения недОстаточнО. Дополнительных уравнений равновесия для элемента состаВнть больше нельзЯ. ПоэтОму запишем УраВнение равнОвеснЯ (сумму проекций на Ось оболочки) произвольной конечной части А,С,В, оболочки (рис. 461 и 464). Эта часть Отсекается КОническОЙ поверхностью А,о»В„НОР- мальвой к срединной поверхности оболочки, по контуру А,В,. По контущ ечения А»В» (по окружнос и рад уса ) дейст уют ПОГОнные Усилия Фй.
На единице длины контура пОлучается вертикальная проекция У~, созс», где и, — угол наклона меридиоиальной кривОЙ к Оси резервуара. ПоэтОму результирующее Вертикальное усилие От действия Ф~ напраВлено Вверх и равно Ф2 СОВ с» ° 2ЛГ. Вертикально вниз действуют сила давления рлг', вес 9 жидкмти (или сыпучего вещества)„заключенной В объеме А»С»В„И вес Яр части резервуара А,С,В,, Тогда из условия равновесия Фхсоза * Ъа — рай — Я,„— 9Р = О (17.5) Уравнении (17.4) и (17.5) дают возможность найти все усилия в осесиммегричной безмоментной оболочке.
В сопротивлении матерйалов ПРиийто эти Уравнейия записЫВать В напряЖЕНИЯХ. Приняв преДПОложение О том, что изгибающие и крутящие мо ме~ты в оболочке Отсутс*вуют, допускаем тем самы~, что по *олщййс ее напряжения распределяются равнОмерно (как при простом рас" тяженнн — сжатии). Поэтому (рис. 465) У=О ° Ь ° 1=-оЬ. ($7.6) Кроме ТОГО, В сОпрОтивлении материалов для меридиональйых напряжений и радиусов кривизны приняты ОбОзначения О,„и р, а йе Оз р~" для к~~юГ~~~ 3мУпл'пи» вЂ” О~ р» вместО ~~ й р~. В сООтВет- СТВИИ С ЭТИМ Ь», = О»Ь, "Ф~ —. О„,Ь. ($7.7) Подставив эти выражения в уравнения (17.4) и (17.5) и учтя замечания В ОтйошЕИНН индекСОВ, ПОлучим О р»»,»ж+»~ Р 26еова + 2шйсоьа Формула (17.8) носит название форму»»ы Ла»»»»а»ц; формула (17.9) ~~о~д~ имей уется ур»»а»»е»»»»ем Р»»а»»оаес»»я ЗО»»ы йлй просто ур»~йе»»»»е~и 30ны. Напряжение О,„назыВается ми~Ридиояйл»»»»ым»»О~Ум»гА»»»»ым»»Й" »»~РЯЖВ»»»ИМ» О» — ОКРУ»»»»»М (ШЩХМПЙЫМ» КОЛЫфЕЫМ)»»ЩЖИ»»»»»»ЫМ »»»»пряз»с8»»»»ем.
ПОскольку оболочка тонкая, тО Вместо радиусов р»» р,„и Г срединной поверхности оболочки В формулы (17.8) и (17З) можно подставлять соответствующие радиусы наружной илн внутренней поверх- йостеЙ. Следует обратйть еще Вйймаййе й йа тО, что В задаче О расчете резервуара удалось получить формулы для напряжений» йе рассмат" рйвая 1еометрической й фйзйческой сторой задачй, т. е. Задача оказалась статически ОпределймОЙ. Это — результат тогО„что мы сразу постулировали закон изменения напряжений по толщине оболочки— считали их постоянными.
Как уже отмечалось, напряжения О и»т» являются главными иапряжейиямй. Что касается третьего ГлавнОГО напряжения, напра Влеййе котороГО йОрмальйо к поверхности ОбОлОчкй, то йа Одйой йз ПО- верхностей резервуара (наружной или внутренней — в зависимости от того, с какой стороны действует давление на резервуар) оно равно ~9, а на противоположной — нулю. В тонкостенных ОбОлочках ВсеГДа О", и 6» значительно больше ~Р и» значит» величинОй третьего ГлавноГО напряжения по сравнению с О„» й О» можно пренебречь» т. е. считать еГО равным нулю.
Таким Образом, будем полагать, что материал оболочки иаходит- сЯ В плоскОм напряи«ейном сОстОЯнии. ТОгда длЯ расчета на прочность В зависимОсти От состояния материала следует пользОВаться соответству«ощфй теорией прочности. Например, применив 17 теорщо прочности, условие прочности запишем так; Омж1Ч = ~ Ощ+ «4» — ОдР» ~~ К. (17. $6) Рассмотрим примеры расчета безмоментных ОбОлочек. С ф е р и ч е с к и Й б а л л О н заполнен газом, давление котО- рого равно р (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
