Писаренко Г.С. Сопротивление материалов (1075902), страница 67
Текст из файла (страница 67)
ПОлучаем $4» 1 ю«» ° 1 ° 2 — — -- — « .1 ° 2 Е1» 3 3 2 б,«в 8 = — — 3 + 6-«- — ' »««» «Е,« 24Е,«, ~ б,«„ +»» ~+2 И» «х «ЕА «» 1 Е.«» 6«~ Е«» 1 Ы»» В раэличных ~о~с~ру~ц~~Х часто встречаютси брус~~ с криво- линейнОЙ Осью. К ним Относятся Груэоподьемные крюки» проушины~ эвеньЯ Цепей, Ободы шкивов и колес~ арки и т,п. Оси этих брусьев плОские кривые. Брусьи же с пространственной кривоЙ Осью встречаются редкО и здесь не рассматриваются. В поперечных сечениих плОскОГО кривОГО бруса В ОбЩем случае имеются три Внутренних силовых фактора — В, Я и М.
Правила их Определеиии и построении их эпюр Дли кривых брусьев рассмот рени в $ 23. В $24 выведены дифференциальные аависимости (3.13)— (З.Щ между внутренними силовь1ми факторами и нагруэкой, В настоящей Главе рассмотрим определение напряжений и перемещений в кривых брусьих, а также расчет их иа п~й)чность. При 4И этОм ОГранкчимся рассмотрением брусьев, имиОЩих продольную плоскость симметрии (рис. 440), в которой и действуют внешпие на- ГИ»зкн. В силу симметрии переме(цения точек Осн бруса также будут происходить в Этой плОскОсти.
Исследования показывают, что при изгибе распределение нормальных напряжений в поперечном сечении, а также величина максимзльних напряжений в кривОм брусе нные, нежели в балке с пря ' мой осью. При прочих равных условиях это различие тем больше, чем больше отношение Высоты и поперечного сечения к радиусу Й кривизны его оси (рис. 440) Ь Ь В связи с указанным Обстоятельством прння то различать брусья мад~ Юз лОЙ к~чимзнь~, у котОрых А 1 А Ф вЂ” —, и б~фсья бОль- И Р И шОЙ кр(иизйй, у которых »» »» Фд й 5 ' — > —. Прн изгибе бру ьев малой кривизны нормальнь1е напряжения с дОстаточноЙ дЛя инже кер них расчетов точ- О НОСТЬЮ МОЖНО ОПРЕДЕ" лять по формулам 110.10), 110.1о), выведенным для балок с прямой осью Подсчеты максимальных напряжений по этим Ь 3 формулам длЯ бруса прямОуГОльнОГО сечения при — = — дают И 15 разницу в 2% по сравнению с напряжениями, вычисленными по бо- Ь лее точным формулам„которые будут получены ниже При В $ разнпца возрастаетдо 3,5Я, а прй — = — Ойа достигает 74.
ВЫВОД формулы для нормальных напряжений при нзги м бруса болыпой кривизны. Рассмотрим сл~ чай чистого изгиба кривого бруса 1рис 440). Для прямого стержня мы сначала предположилинейзВестйим положеййе йейтрзльйого слоя, а затем виясййли„что Ой иаходится на урОвне Оси стержня.
Здесь также предполОжим, что нейтральный слой имеет неизвестный пока радиус кривизны г„, вооб3це Говоря, Отличный от радиуса Р Оси стержнЯ. ВывОд фОрмулы для напряженпй (» при нзГибе проведем по тОЙ же схеме, которая применялась для бруса с прямой осью, и В основу его положим те же Гипотезы: ~~~~~~зу ~~~СК~Х сечеййй й Гипотезу 0 тОм, чтО прОдольние ВОлокна не давят друГ на друга. Проведем в сечеиии Оси Д и ж, как ПОказанОРЗ рис. 440.
Ось У сОВ- падает с нейтральной линией сечения, положение ее пока не определено. Положительным принимаем направление оси У к центру крн Визни бр уса. Для получения уравнении статической стор Оны 3 а д а ч н рассечем кривой брус на две части каким-лнбО попереч ным ссчением, например аЬ (рис. 44О)„и выделим В сечении элемент плопФди ЙГ, находящийся на расстоянии и От нейтральной линии (рис. 44О и 441, а). На элемент действует усилие ОдЕ.
Из условий (1О.2) н (1О.З) при И = О, М, = М получим Условие М = ОИГ = О удовлетворяется автоматически в силу симметрии сечения ОГНОсительио Оси я'. Рассматривая Г е О м е т р н ч е с к у ю с т О р О н у 3 а д а ч и, Вьделим из кривого бруса (рис. 44О) двумя бесконечно близкими сечениями ПО и Га элементарный участок, которОму сООтветствует до деформации угОл Фр. После деформации угол между этими сече" ннями изменится на некоторую величину Л (Йр) (рнс. 441, б).
Наблюдая Деформацию прОизвольиОГО Волокна АВ, расположеннОГО на расстОянии у От нейтральпОГО слоя и имеющего до деформации дли" ну (г„— у) Йр, легко заметить, что вследствие деформации под наГрузкои за счет ~~аи~н~~о п~~~р~~а сечений ПЬ н са' рассматриваемое ВолОкно удлипнтся на Ве" 14 ли Чину уЬ (йр). 1"Огда относительное удлннение Выбранного произВОль" а Ь пОГО Волокна, ОчсВнднО, ~ ф' ~~ фч) (~н-ИФ~ ' Ф из и ческую (ф стор он у, как н для балки, если пренебречь И -Дф давлением- продОльних Й Волокон друг на друГа, мОжнО выразить форму" д' лой Гука: О=ЕВ Рис.
444 Подст~вля~ в эту формулу Выражение В„согласно ф~р~ул~ (15.2), будем иметь Эту формулу, очевидно„нельзя непосредственно использовать дли определении нормальных напряжений при чистом изгибе кривого бруса, поскольку В ней пока неизвестны радиус г„нейтрал ного слоя и изменение угла Ь (ЙД.
Для определения г„и Л (д р) воспользуемсядвумя условиями (15.1). Из первого условия имеем Р Р Ч'ак как в атом Выражении — ФО то еа (дф ф 3 н:: 0, (36А) Второе условие Соответственно запишется в виде суй —, — М. ЕЬ (йУ) УЯГ (16,6) Интеграл в последнем уравнении можно записать так: Ф~ Ун + «нУ вЂ” «нУ др й. «нУ у — н1«+ г„ Уй' (16,6) Первый интеграл в правой части уравнения (15.6) представляет собОй статический момент Я, плоп~адн поперечного сечения ОТИОСИ- тельно нейтральной оси г, т. е. Р ( — е) (рис. 440, б), а второй инте грал, согласно выражению (15.4)„равен нулю. Учитывая это, выражение (15.6) МОЖНО записать так'« рЧà — 5, — ( — е)Р, (16.7) где е — расстояние от центра тяжести сечения кривого бруса до нейтрал ьной Оси; Р— плОщадь сечения бруса. Очевидно интеграл в ле~~й част~ Выражения (15.7) ~~езда ВелиЧииа ПОЛОЖИТеЛЬНВЯ, а ЗТО ОЗНВЧВЕТ, ЧТО СТВТИЧЕСКЯЙ МомеНТ 8н— ве~~чина Отрицательная.
Так как Ст~т~~~с~~й момент равен ~роизВедению полОжительной величиям Г на коОрдинату 8 центра тяжести площади Р отнОсительно нейтральной Оси а, то из Этого следует что е — всегда координата отрицательная. П~тому можно утверждат~, что при изгибе рамю бру нейтральная ось всегд сме~щ на от центра тяжести сечения к центру кривизны бруса. В ДВЛЬНЕйШЕМ В фОРМУЛВХ, СОДЕРЖВЩИХ Е И Зн, ИМЕЕМ В ВИДУ ИХ абсолютные Величинь$. Подставляя Выражение (15.7) в условие (15.5), получим "нн ер ФР ИЛН Му ~м (~н И где М вЂ” изгибающий момент В сечении; 8, — стагический момент площади сечения кривого бруса отно- сительно нейтральнОЙ линии, Из анализа формулм (15.9) Видно, что, как и в балке с прямой осью, нормальное напряжение по ширине сечения одинаковое (не зависит от г) и изменяется только с изменением расстояния точки от нейтральной Линии.
По Высоте сечения напряжения в кривом брусе изменяются по ГипербОлическому закону (Рис. 442, б). Наибольшне пО абсолютнОЙ Величине напряжениЯ будут В крайних точках сечении, нахОдящихсЯ у ВОГнутой пОверхности бруса. Абсолютные ~еличины напряжений В КрайниХ точкаХ сечения кри- ВОГО бруса сОГласнО Вьфажению (15.9)„определяютси пО форму® лам где Й, н Й, — а469етственно Радиусм кривизны Внутреннего и внешнего волокон кривого бруса; и Ь~ — расстояния От нейтральнОЙ линии до этих ВОлОкон (рис. 440). Знаки напрЯжений леГко установить по направлению изГибающего момента в сечении. Определение положении нейтральной оси В кривом брусе при чистом изгибе. Для определениЯ по формулам (15.9) и (15.1О) напряжений В кривОм брусе при изГибе нужно„прежде Всего ОпреДелить величину е (расстояние от нейтрального слоя до центра тяжести) 433 %ада Я Я, Й» Ь + Я Ь»» ДУ1 Ю Я» Й' — =1нк =1и —; й =Д» — 4» —— Ь.
т 1с Я, Х Ж, е=1с — к„= Ь Ь»+ Ь» 2 Ф Ь,+ Я,~ 16 — — (Ь,-ЬД Ь» — Ь» Ь l 1(', (16Л6) Положение центра тижести сечении оирадслиет 6 О си Йо омуле йме. 444 А Ь|+ Й~» Э Ь,+Ь, ' которую нетрудно получить„рааделии статический момент сечении относительно оскоиаиии на площадь Из общей формули (15. 16), положив Ь» = О или Ь» = О, находим аеаичину акснентрнситета соотаетстаенно расположенимх треуголашх сечений, ,цли крупно полото сечении (рис. 446) аналогично можно получить ф~4йа — У+ $'4,йа — ЕФ Если при изгибе кривого бруса кроме нагибали(его момента в поперечном сеч~~ии действует и продольная сила, то речет на прочност~ ведут, уч1пыаая напряжения От обо~~ зтих силовых факторов.
Касательные напряжения За крайне редкими исключениями (тонкостенные сечении) не оказывают заметного влияния на прочность, и их обычно не определяют, хотя в случае необходимости можно найти их приближенно по формуле Журавского. Для стержней малой кривизны условие прочности ~~~~т тот же Вид, чтО и Длн балОН". ъ = ~+ — „<И. Я4 Ф (1$.$8) Для стержней большой кривизны на основании формулы (15.9) услОВне прОчнОсти запишется 'гак; а„, = — ~+ — с-, (а1 (1$«39) При Этом нужнО рассматриВать сечения, В кОтОрых суммарные напряжения От изгибающего момента н От продольноЙ силы имеют наибОльшие значения, В этих сечениях Опасной будет Одна пз край' ннх точек. Для этих точек в формулу (15.19) нужно подставлять у = 61 или у = Ьа и соответственно Г = й1 Нлн Г = й,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
