Писаренко Г.С. Сопротивление материалов (1075902), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Из формулы (14.5) Х» — — — —. ($4.6) Для системы с двумя лищними связями, кзк, например, на, рис 403, а, дополнительные уравнения переме»Цений сечения А ос- ИОВИОЙ системы (рис. 4О3, Я имеют Вид Ь, =О; АЗ=О, Где ЛФ = Л$ (Р, Хь Хд — полное перемещение точки А по напраалению Х~ От ззданйОЙ ИЗГрузки и лишних неизВестньгх усилий Х~» Х1»~ л, = л~ (Р, Хг» ХД вЂ” полное перемещеййе ТОчкй А по йапраВ- лению Х~ От укззанных нагрузок. Исходя из принципа неззВисимости дейстаия сил, запишем пере- мещения Ь~ и Ьу В Виде сумм перемещений» ВЫЗВанных Отдельно КЗЖдОЙ йз йеизаестных сйл Х1, Х~ и зздаййОЙ йзгрузкой Р.
ИспОль- зуЯ ВВеДенньге ранее (см. $ 78) ОбОзначения перемещений» нахОдим, чтО Ь = Ьи+ Л~з+ Ь|р=О; Ьз = Ьм + Ац + Ь2р = О. ПолнОе перемеЩение Ь»~ мОжно записать кзк прОизВеДение уДельперемещения Ь,ц ~~~~а~~о~о Д~Йс~~~ем ед~~~ч~оЙ силы, йа Велйчййу ~оо~~етстау~Щ~Й ОбобщеййОЙ сйлы: Л = ЬПХ6 Ь =- Ь, Х» .. ° » АФ=Ь~ВХВ. Таким образом, ураинения (14.7) принимают Вид ЬИХ, + Ь зХз + йр = О ($46 $4.6) ЬмХ» + ЦзХ2 +»А»2р = О. Это кайоййческзя фОрма ураайейий перемещений для сйстемы„диа раза статически неопределимой. ПО знзлОГИН ИОжнО записать В кзноническОЙ форме ураанениЯ перемещений для любой п раз статически неопределимой системы: ЬПХ~ + Ь~г~Хз + " + Ь|»»Х + Ью = О' ЬМА + Ьж.Хз+ * + Ьг„Х„+ Л2р = О," ° ° ° ° а» а»» ~ ° ~ ° » Ь„~Х~ + Ь„рХ~ + ° ° ° + Ь„„Х + Л„р =" О, Перемещения Ь|р и Ь|~»» Входящие В кзйОнические урзйнения» чаще ВсеГО Определяют по мегоду Мора или по способу Верещагина.
При атом для балок и рам Влиянием поперечных и продольных сил Обычно пренебреГзют и учитыаают лишь изгибающие моменты. одйако, Определяя перемещения В балках прямОуГОльйОГО поперечного сечения, для которых отношение Высоты сечения к длине пролета —,,~ —, поперечные силы учитыиать обязательно. При рзс- А чете статически неопреДелимых рзм с бОльшими знзчениЯми указан1ь ного отношения ~ — ..
— ~ Ошибка, Вызаанная неучетом интегралоВ продольных и пОперечных силу также станОВйтся сущестйенной» Особенно для ВьюокОЙ рамы„Следует иметь В Виду что балочных» рамных и арочных конструкциях Отношение — Обычно Ь 1 Т меньше, Поэтому при Определений перемещений В Общей фОр- муле Мора Вполне допустимо сОхрзнять ннтщил» учитывающий лишь нагнбавщие моменты. длЯ ОпреДелениЯ перемеЩений строим эпк»ры изГибакчЦих мо" ментов (см., например» рис. 402) В ОснОВнОЙ системе Отдельно от за- дзнноЙ нмрузкй (состояние Р) й От кзждОЙ единйчнОЙ сильк Ж~ = 1 (состояние 1); Х, = 1 (состояние 2)„...; Х„= 1 (состояние и). Ор- Динаты соответствующих энсор обозначим, как Обычно, через М», М~,М~, „.,М„. То~да йз осйОВаййй формулм (13А6~ йахОдйм 1»» Е»» М»» у» ° г ° »»»»»Р е $ к~ Б » Удельные перемещения» нмекйцие одинаковме индекси н нааы" Вземие глаещми козффициентами канонически~ уравнений, Опреде- ля~от следукацнм Образом: (' м,м,ь .
„~ м,м~ь .. Г м„м„ж ,И $ Очевидно эти перемещения положительны. У дельные перемещения, имиощие неодинаковые индексы и на- зивземце побОчиыма кдзффициГнийми, Определяют пФ формулам "''=~ ь . Ж Ф й Оии мокнут быть НОложительнцмн илн Отрнпательными, а также равньпин нуло, На Оснований теоремм о Взаимности перемещений Ь»= бм Для систем, сОстОящих иа прямолинейных элементбв» внчисле- ниЯ перемещений Удобно провОдить по спосФбу Верещжмна. На- пример» ДЛЯ статически неОпределнмОЙ бзлкн» показанной на рис. Щ В тех случаях, когда кроме внешних нагрузок нужно учесть й Влйяййе температуры, порядОк расчета Ос~ается прежним.
Свободные члены канОнических уравнений при этОм преДстзвлЯют сОбой перемещения В ОсиОвнОЙ системе не толькО От заданных нзгрузОИ ИО й От изменения температуры: ЬПХ$ + Ь1ЙХЙ + ' ' ' + ЬьЛа + АР + Аг = Ов ° ° ° » ° *»» ° »» ° ° ° ° ° ° ° »»»»»»»» ~1 Я щ) й» ЯЮ »»» ° ° ° » ° »» ° ° » ° »» ° ° » ° ° » ° ° » Ь Л~+ЬгаХз+ "» +Ь,Х„+ Аи +Ь„т= О, где Ьц — перемещения В ОснОВКОЙ системе пО напраВлению силы Л, Вызвзниое изменением температуры. Определив коэффициенты Ьи, и свободные члены Ь,р и Ь|г, йз сйстемы лийейньгх уравнеййй (14.10) йаходйм зйачеййя лйшййх неизвестных усилйй Х~, Х~, ..., Х„.
Далее Обычйым способом строим эпюры внутренних усилий У, (~, М В Элементах системы. Иногда строить зпюры удобно методом сложения эпюр Мр с зпюрами М~, М„ ..., М„, предварительно умноженными на значения Х~, ХЬ *1 М = М,Х, + М~Х + ° ° «+ М р., 9= ФА+ОЗХз+ " +Ф ' Ф = Ф~Х~ + ФдХ2 + * + Юр. Существенно отметить, что буквенный вид канонических уравненйй Остается йейзмейиым прй любом Возможйом Взрйайте Осйовиой системы. Изменяется лишь смысл лишних неизвестных и геометрический Смысл перемещений. Например„прй Выборе В Качестве лишних неизвестных внутренних сил В каких-либО сечениях ИОэффипиейты В каноййческйх уравнениях представляют собоЙ соответстВующие Взаимные перемещения сечений по направлению лишних ИЕНЗВестных усилий, На рис.
4О4 пОказана трижДы статически неОпреДелимаЯ плоская рама (а) и два Варианта основной системы ф и з1.,ЦЛЯ любой трижды статически неопределимОЙ системы канОническйе уравнения ИМЕЮТ ВИД Ь дХ + ЬдХ~ + ЬрХз + Л1р = О' Ь„Х, + Ь„Х, + Ь, Хз+ М = О; ЬмХ~ + Ь~ХЗ + ЬЗЗХэ + Ьзр = О. При Выборе основной системы по первому варианту (рис.
404, б) уравнения (14.11) Выражают требование равенства нулю перемещений сечения А по направлениям Х~, Х, и Х . Второй вариант основной системы (рис. 404, а) образован раз резом ригеля. Так как в плоской системе в сечениях действуют, Вообще говоря» три снлОВых факто" рз (Осевая сила, поперечная сила и изГибзющий мОмент), то к сторонам разреза следует приложить в каче- 4 д Х» Ху стве лишних неизвестных указзнх ~ ные силОвые факторы Х~~ Ж~» Хэ» Вьфзжающие ВзяимнОе дейстВие обеих частей системы друг на друл,' 4 га в данном сечении.
При тзкОм Вы~И боре ОснОВнОЙ системы уравнения (14.11) выражают равенство нулю полных взаимных перемещений стоб рон разреза по направлениям лиш3Ьк. 464 них неизвестных. Например, третье уравнение е» (14.11) Озн т раВенстВО нулю перемеЩения по направлению Жз, т* е. ВзаимноГО угла поворота сторон разреза под действием заданной нагрузки и ЛИШНИХ НЕИЗВЕСТНЫХ УСИЛИЙ.
Принимая В качестве лишних неизВестных Внутренние усилия, ВО мнОгих случаях можем знзчительнО упростить расчет. Например» У ~г У-~ если исходная система симметрична (по конфигурзнии и расположению жесткостей), то основную систему выгодно строить также ~~мм~~р~~н~й, Носко~~Ну при этом некоторые побочные коэффициенты канОнических уравнений будут равны нулю. Тзк, при рас чете симметричной рамы, показанной на рис. 404, а, основную систему целесообразнее получить разрезом горизонтального стержня (ригеля) посредине (рис. 405, а), При этом основная система будет также симметричной. Тогда В числе лишних неизвестных будем иметь симметричные усилия Х~, Л, и кососимметричные Х,. Эпюры изГибзюЩИХ моментов От усилий Х~ = 1, Х~ = 1 и Хз = 1 НОказаны на ри .
405, б — г. За е им, что юрь М$ и Мз сим етр чиы, з ХВ 1 (рне. 407, а). Так как етержни йрямоаййейные„ча унобиа ирименктъ лли Оиренеленйя неремен1екйй ейоеоб Верей1атийа. Зткорм нзтйбаийкйк мамеитой МЯ, Мт, МВ показаии йа рис. 407, 6, ДлЯ ОЙРелеленик Ь~р н Ьар йлой1алн Вйкф Мр ~еРемножаем на ВРлййатм зшор М1 и Мер Фоотаетстауалщйе центрам тЯжести анзор Мр: ф' ф4 Ь,~= — — Ь= —.
аР 3 ~1Р ЪЕ1.1~ 6 4 ЬЕХ Рис. 467 ЗДесь и Далыйе Длй йростотм нринйтОЬ = 1 к Е~Х~ ~ КВХВ = ЕУ« Перемещений б~т и 4®В получаем айалогичнмм умножением Вйюр Мт иа ИВ И Майа МВ: 1 ЬВ 2 4 Р б»,—— — М ° Ь+ — — Ь ~ — —; Е~Х~ Е~Х 2 3 3 ЕХ 1 Р 2 Р 6„= — — — 1= —. Ер1 2 3 ЗЕБР Накойен, б,а ойреАелйем йеремноженкем Вй®р М, й МВ. 6, =он= — Ы вЂ” = —.
1 1 Р Ест 2 2ЕУ Подотайлйн значеннй перемещений В канонические уравнении, йолучаеи Зина еиннуеь в имран(еииж длк Ха показывает, что первоначально Выбранное иайравление зтзм силы (рис. 403, (в) следует изменить на противоположное. Рассматривай теперь аквивалентиукв систему, т. е, статически Определим;~(о Есина((У(О СИСТЕМУ НОД ДЕйсТВНЕМ ЗЗДаииой НЗГРУЗКИ И НайДЕННЫХ СИЛ Л(~ К Лввв ЛЕГКО ПОСТРОИТЬ ОКОИЧЗТЕЛЬИые з(поры ВНУтрениих снлОВЫХ фЗКтороа й СОста" вить услоВЯЯ прочности злемейтов рамьь Окончатальнце эпкцж иагнбзющнк моментов, поперечных и осевых снл приаедень( на рис.
403. ПВДбарЕМ ФрямоуГСВЗЬНОЕ СЕЧЕНИЕ ДЛЯ СТЕрЖНЕй раМЫ, ЕСЛИ (7ввв 1 Тс/М (~ = 2 и. Материка стержней (.т2, 1((1 = ИОО кгс/см®, И = 909 кгсlсма. Отйо(йе нйе Высоты а к (пириие 7в сечении составляет 2: 1. Кзк видно из впквр внутренних усилий (рис.
403). в опасном сечении М = —, дР = 43 ° 10Э кгс ° сц; (7 = 41 = 1!43 кп" 3 4 мйквв 23 в((вы Так кзк Осеней сила неаначнтельйа, то размеры сечеййи подбираем Т~лько ка услВВИЯ прОчности на изгиб; В'— 43 10 — смэ = 30,6 сма. ~(тГ~ 1400 то, округлая, получаем авз~ 3в ° вв,в см~в,в см; в=~ в,в сщ в' в1,1 си». Найболь(пее йормальйое йапрйжение В поперечном сечеййй определитси как сумма наприжейий От Действий йзгибаюЩЗГО момента й осевой силы: Жажс ~Ч (' 43 ООО 71,6 т-+ в — ~ в1д +в.в 'вт)"'~"в-~'ввв+ -~- 2,76) кгс7сьР ж 1333 кгс/сьР ~ 1400 кгс/см'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
