Писаренко Г.С. Сопротивление материалов (1075902), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Начальная температура балки Тз = 5оС; затем нижнее волокно нэсрето до температури 55 С, а аерхнее охлаждено до темнератури 5 С Очеандно расчетные температурм НОлокОн следуку" щйе' Ти =55 — 5 =50'С; Т„= — 5 — 5 = — 10'С, Вспомогательные состояния длй определения йер« тикалзното й торйзонталзно~о перемеунений й угла норд у аорота показаны нз рнс. 376, б — а. Имеем д М1 = — (1 — х).
Ру =0; М,=О; У,= — 1; 37$ Мд= 1; Жз=О. ельно, йа основании формулы (13.56) или после подстаноаки значений, Иа ° 10 т ° 60 ° 4 ° 10д л,, — ем= — 142 ем' 2- 10 Ф а ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ НОРВ СУТЦЕСТВЕННО УПРОЩЗЮТСЯт ЕСЛИ ОД НВ ИЗ ЭННИ 1В ДЕйСТВИТЕЛьнОм СОстОянии или ЕДИничнОМ) ПРямОЛу1- НЕЙНЗ. ТАКОЕ УСЛОВИЕ ВСЕГДЯ ВЬ~ПОЛНЯЕТСЯ ДЛЯ СИСТЕМа СОСТОЯЩИХ ИЗ ПРЯМЦК бРУСЬЕВ, тВК КВК ПРИ ЭТОМ ЭПВРЬ~ От ЕДИНИЧНай НЗГРУЗКИ (СОСР6ДОТОЧеннОЙ СИАМ ИЛИ П61лЫ) Всегдй ОГРЗНИЧеНЬ$ П~ЗЯМЬГМН ЛН- Вычнслнн ннтсграл ада,Магга лли случаи, когда аингра от аадан- ИОЙ нагрузки имеет прОНВВОльнОе ОчеРтзние, 8 От еднничнОЙ— прямолинейна (рис.
377). Обозначим через й площадь эпк'Ры Мг, с — ее центр тяжести, М, — Ордината эпюры от единичной нагрузки под центром тяжести эпюры Мр. Очевидно, что М~Гх = ~И представляет собой дифференциал плОщади эпюры Мр, а М~ =х1ДИ. Тогда искОмый интеграл М, Мах = $д и ~ х~И. Интеграл В правой части равенства (13.59) представляет собой статический мОмент плоЩади эпюры Мр ОтносительНО ОСИ О вЂ” О: ~ иа = х,и, Где х~ — абсцисса центра тяжести эпю" ры Мр В такОм случае 1 М,Мг дх = 1д ах,й = ЯМ„(13.60) б так как Фие.
337 х,1дк = М,. Следовательно„интеграл Мора равен произведенн10 плОщади эпюры От Внниией наГрузки на ордиияту прямОлинейнОЙ эпюры От единичной нагрузки, расположенную под центром тяжести эпюры От заданнОЙ Внешней НВГрузки. Общая формула (13.46) перемещений для систем из прямолинейных элементов принимает Вид Описанный ГрафОаналитический способ Вычисления иптеГрала Мора был предложен Л. Н.
Верещагиным и нОсит название сноса~ и Вереиат~инп. Вычисления по ЭТОЙ формуле проВОдят по участк:м, на каждом из которых эпюра От единичнОЙ нагрузки должна бить прямолинейной (рис. 378). В тех случаях, когда обе эпюры прямолинейны, мОжнО умножать плоЩадь любой из них на ординату дру- ГОЙ ПОд центром тяжести перВОЙ. Если эпюра Мр имеет сложный Вид, тО ее нужно разбить на простые фигуры (рис. 379), для которых легко определить плошадь и полОжение центра тяжести.
При этОм каждую из плОщадей умножакп' на ординату единичной эпюры под центром тяжести соответствуюЩей плоЩВДи. Ординаты В этом случае уДОбиО Обозначать Вместо М,~ буквами ть, где й = 1; 2;... ® Ью—- ЕУ На ~чзстке Ав пл»хцздь Й = — фР. 1 Центр тяжести атОЙ площади, ОГрзниД» (»» ь ченнОЙ НВЗДратичноЙ пзраболОЙ ВиДЗ (РНС.
38О»»), НЗХОДНТСЯ ИЗ РЗС- стоинии — »э от тОчки В, В чем лепко 3 4 Если эпиэры Мр и М» протиноположны пО знаку, то результат умножения эпкэр имеет знак Фминусэ. СпОсоб перемножения эпиэр по ВерещаГииу»пироко применянэт п|эи расчете рзмных конструкйий (конструкпий, у которь»х уГль» В месте сопряжения Отдельных стержней, жесткие до деформации, Оста»отся жесткими пОсле неф Рассмотрим некоторые примеры применениЯ способа ВерещаГинз для Определения пе~.емещеннй В различных стержнеиых сиСТЕМЗХ.
ОпреДелим ЩюГнб 6 точке В и УГОЛ поаорота сечения В кОнсоли (рис. 380, »э). ® СООТВетстн~чОщне ВспомОГательные (единичные) состояния показаны на рис. 380, б, З. 4»=~ Ст~эОнм апэори ИЗГнбзкмцнх моментОВ Ю М» и М». ПроГиб В точкеВ по Вереща- ГИНУ 2 Л„= „д,— ' ~й И 6 4 24 И' ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ УГЛа ПОВОРОТа ВспомОГательй~ЧО СИСТЕМУ йаГружаем еДиничноЙ парой. ОчевиДИО М~2 = 1. Следовательно, УГОЛ поворота сечения В чр ЙМ,, 1 ~,р а Л, =" — "= — —.1= ЕУ И 6 6Б~ Определим полйое переме~цеййе точий С рамм, иаображеннОЙ на рис.
381, а, приняв, что Ы = сопа1. Для определения полноГо перемещения Л = СС~ вычислим предварительно переме~цейия унаааннОЙ точнй в вертйиальйом й Горйаойтальном йаправленияд. Чтобы Определить ВертйкальнОе перемещение точки С, раму во ВспОмоГательном сОстоянии наГружаем силОЙ К~ = 1, направлен- йОЙ вертинальйо фис. 381, б). Осйовйая вшора Ми понааана рис. 381, г„вспомогательная М~ — йа рнс. 381, д. Имеем Лю = — ~,,— ~ "Ч~Р Йдщ 4в~ Б,~ м~ — ' ' 2 иа*Г и~ Ью — — + — — — ~ — + Й) ° ЕУ Ю Ю~2 Для Определения ГорнзонтальнОГО перемикеиия ВспомоГатель н)чо систему наГружаем в точке С ГоризОйтальнОЙ силОЙ Л~ =-1 ~рис. 381, ф Зпюрц М, показаны на рнс. 381, е.
ЯИ~ РРа Лм = — '=— Определйм Опускание С~обод~~го Ко~ца ломайой койсоли круг- ЛОГО пОперечнОГО сечения~ нагруженноЙ иа участке А,в Вертикальной равномерно распределенноЙ НВГрузкой (рис. 383, й)„Эпюры изгйбаюЩих и крутяЩих мОмеитОВ Для оснОВноГО и ВспомОГэтельИОго состОиний изображены иа рпс. 383~ 6, а. Эпк ры крутяецих моментов расположены В ГоризонтэльнОЙ плОскОсти, а их Ордпиаты ИаобРЭЖЕНЫ ШТРИХОВЫМИ ЛИНИЯМИ ВЪ$числеиия прОВОдим по участкам: 1 уР 3 $1 2 1 ФР Лу = — — — а+ — — даР— 1+ — — — ~а= И' 6 4 Е1 2 3 63р 2 Где Х(х) — момент инерции произВольного сечения; хе — ~~~ей~ йнерцнй определеййого (характерного) сечейия.
Обозначим Мр — = Мдр и назОВем эту Величину щчйюдВййии У~ Я (х) изаябатои~и~и ~яо~яен~по~я а ймкупфй ичении. Тогда интеграл Мора мбжнО записать В Виде (13.64) Применяя к формуле (13.64) способ Верицагина, находим, что (13.65) Где И, — площадь эпвры М, т.
е. Плацадь приведенной эпюры; М,— ордийата единичной эпври под центромтяжести приВеденной эпкфы. Определим прогиб свободного конца и угол поворота сечения В консоли переменного сечения (рис. 384), если 1 — х 1(х) =4— где ~'о — момент инерции сечения В месте ЗЗЩ6МЛЕНИЯ. Текущая Ординзтз эпюры М»»» равна — Р ~1 — х). Приведенные ординаты постоян- НЫ, ТЗК КЗК ,Х», М»»р = М)»»» = — Р1. 1 (х) Для определения прогиба строим Вспомогательное состояние (рис.
364, 6). ОчеВИДНО Йр=РР; М, = —; »»Р ~'о я», Чтобы Определить угОл поворота сечения В, нагружаем балку во Вспомогательном состоянии сосредоточенным моментом Х~ = 1 (риС. 384„а). Учитывая, что Эпюрз Ма имеет двз участка получа6М РР . И = Р1 — = — ' Ма $" »»Р 2 2» 3» й„рМ~ РР МУе РИФ Согласно закону сохранения энергии, работа внеп)ннх сил не исчез36т, 3 трансформируется В потенциальную э 6рГню, изкапли" ваемую в упругом теле. Следовательно, величина накопленной по- тенцизльнОЙ энерГНН дефОрмзции Определяется ВеличинОЙ рзббты Внешних сил. Зтз энерги и 8 прОЯВлястся В Виде работы совсршасмОЙ при рззГрузк6 Внутреннимн Силами.
Снимая, нзп1)и мер, часть гирь, приложенных к балке (рис. 385)„ Заметим» чтОбзлкз несколькО Выпрямится и при- $1йс. 333 подним6т Оставшиеся Гири. Таким Образом» упругое тело способно аккумулировать мекзническую энергию, кО- ТОРУЮ МОЖНО В6РНУ'П ПРИ РЗЗГРУЗКЕ Пренебрегая при статическом нагружении изменениями кине- тическОЙ энерГии системы 3 также потерями энергии на Внутренние трения» изменение температуры мзГнитные и эл6ктрические яв ленин, которые имекл' место при деформации, можиО утверждатьь, чтО уменьшение потенцизльнОЙ энергии Грузов рзВнО потенцнзль" нОЙ энерГии деформации» нзкопленнОЙ упруГОЙ конструкцией» т е.
0 Ур (13.66~ где У вЂ” приращение потенциальной энергии деформаций; Ур — уменьшение потенциальной энергии грузов. Уменьшение пОтенцизльйой энерГНН ГрузОВ численно рзВно рз" боте Внешних сил при нагружении тела. Следовательно, потенЦиаль нзя энергия деформации численно равна работе Внешних сил при нзгружении системы или работе внутренних сил, совершенной в процессе разгружения. На основании формулы (13.22) потенциальная энергия деформации В ойцем случае БВГружениЯ бруса Как Видно из формулы, потенциальная энерГия деформации ~алие~си квздрзтйчйой фуйкцйей обобщеййых сйл йлй Обобщенных перемещеййй„ так как последнйе лйнеййо связаны с обобщеййымй силзмй.
Следовательно, потенциальная энергия деформации всегда положительна. Яе Величина не зависит от пОрядка наГружейия и целиком определяется окончательными значениями усилий и перемещений. Отметим также, что потенциальная энергия как квадратичная функция 0606щенных НВГрузок Бе подчиияется принципу независимости дейстВйя сйл. Это зйзчйт, что ПОтейцйзльйая эйергия, накопленная в результате действия группы сил, не равна сумме потенциальных энергий, вызванных действием каждой нагрузки В Отдельйостй. Закон независимости действйя сил прй Вычислеййй потенциальноЙ энергии применим лишь В тех случаях кОГдз перемещение по направлению одной обобщенной силы„вызванное дей- СТВИЕМ ДРУГОЙ СИЛЫ, Равно НУЛЮ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
