Писаренко Г.С. Сопротивление материалов (1075902), страница 58
Текст из файла (страница 58)
ОчеййДйо злсмснтарнай работа Висшней силы, если пренебречь бескОнечно малымй Второто порйдка, ИА = (Р+ ИР) ~И = РсИ. Полйай работа, сойерп~еййай статически прйло~~еййОЙ обой~еййОЙ сйлой Р, Вызйайп~ей Обоб~цейное перем~~ейие Ь, л = ~ иь. ~~за) Ийтетрал (13.8) предстайлйет сОбоЙ пл(мЦВДь ДНВГраммы Р— Ь Длй ДайнОЙ койструкпйи (рис. 354, 6). В лииейнО деформируемых системах перемещения Пропорциональны величине силы (закон Гука): Ь =- Рбрр, ($3.9) 1'Де Ьрр — перемИЦенйе, ВызВайнОЕ сиЛОЙ Р = 1.
Дйфферейцируем Выражение (13.9): дЛ = ЙРбрр. ПОДстайлйй полученнОе Выра)кение В форм~л)' (13Щ найДем, чтО А б~р ~ РФР бррРэ О 2 Учйтыйай Выра~кение (13.9), Окончател~но получйм А= 2 -— -2 Ьрр' РЛ (13.3О) 1акйм Образом» дсйсииии8льййЯ ~Рйббшй пфи илшпй4ВОим дВЙ- йибйй ббббйфййбй сиАы йй УЩЩаую бйсшюЩ ~Рйайй пблббййб прбйзю- дВииЯ бкбйчихиГльнбГО зййчГНИЯ силы ий бкбйчижль,ибо знйченйа бббп7ФУисймуюЩГю ВЙ ббббЩГЯИОГО пеРсмйЩГЯМЯ (теорема Клапейрона), В ~луча~ статйческо~.о дейстййя йа упрут1чо систему несколВкйк обобщенных сил (рис. 355) Р1„Р„..., Р, работа деформаций райна При упругой деформации тела во мех деформируемых элементах раавиваются внутренний диы — аиы упругого а~прмпааленил.
Они Гакже совершают работу. Вначале Опр~д~ли~ работу Внутренних Ф ~й, СИЛ УПРУГОСТИ ПРИ ДЕфОР~Ф ~67~ МИРовйннн ПЛОСКОЙ СТЕРЖ- »» р» ц . -» -4 НЕВой СИСТЕМЫ. И ° » ~ ° Ъ~~ ( ~ у Двумя смежными сече- ° » -Я ~» «у ~~у1 у/ - .у НИЯМИ ВЫДЕЛИМ ИЗ СТЕРЖНЯ ц О ~н элемент длиной Й(рис 356). В Общем случае для плОс фу ф КОГО Н31 ибй дейст Вие удаленных частей стержня на ОСТЙВлЕНИЫН ЭЛЕМЕНТ ВЫРЙ- жается равнодействующнми Осевыми силами Ж, поперецными (~ и иагибйюЩичи моментами М. Эти усилия, поеааанные на чертеже сплОшными линиями, ПО ОтнО- вению к Выделенному элементу являются Внешними„ ВнуЪренние силы препятствуют раавитию деформации, Вызывае мой Внешними силамп„равны им по величине и обратны по направлению. На рис. 356 равнодействующие Внутренних сил покййаиы ШТРИХОВЫМИ ЛИНИЯМИ.
Учитывая направления внутренних сил по отношению к дефзрмйции, Выйвйнной Внешними силйми, М~Ж~О утверждать, что при нагружеиии тела суммарная работа Внутренних сил Всегда Отрицательна. Вначале вычислим работу, совершенную отдельно внутренними ОсеВыми силами, поперечными силами и изгибаихцими мОментйми, Пусть элемент испытывает дейстВие толььо Осевых сил Ж» равномерно распределениых пО сечению (рис. 357). Удлинение Злементд В РЕЗУЛЬТЙТЕ ЭТОГО АЙ == ИЬ Где ЕР— жесткОсть пОперечнОГО сечения на растяжение — сжатие.
Работа поетепенно Воарастаюн~их от нуля до величинЫ И внут- РЕННИХ СИЛ ИЗ ЭТОМ ПЕРЕМИЦЕНИИ ВЫРЙЗИТСЯ фоРМУЛОй ~%"у — — ВЪЬ = — — . Ж%Ь 2 2Е1 (13. 12) Кйк указьЦйалось, рйбОтй Внутренних сил Отрицательна, пОэтому В формуле (13.12) поставлен анаи еминусв. Рассмотрим теперь алемент, нйходй~иЙсй под действием иаГН- бающих моментОВ (рис. 358). В результате изгиба сечения па и и~п~ повернутся на уГлы Ж.
Моменты Внутренних сил (пОказанные $птриховыми линиячи) на указанных перемещениях совефдат работу дВ'и = — — „Мдй — — МИ6 = — — МйР, (13. И) 1 1 ! 2 2 2 Где дф =- 2дΠ— Взанмиый уГОл поворота сечений злементй. Как было показано В Гл. Ю, 1 М ИЬ д~ =1Й вЂ” =6Ь вЂ” = —.
Е1 Е1 Таким обр~аом Л~д = — —. М~~Ь 2Е1 (13.14) Вычислим, након~,, работу постепенно Возрастакхцих Внутренних поперечных сил Д (рис. 359, й). Как указывалось, поперечные силы ИВляются раВнодействукХними распределенных В точках се чения касательных напряжений т. ПослеДнне В любОЙ элементар- Иитегрируи В пределах сечении Р, получим работу сил сдвига; 4Л1'ц — ~ — *Г~ЬИР= — ~ — Й" = Г ~ '$~4Ь 32 2а ЦЧз Г 8~ ~Чз — ~ — ~дР= — й— (13, уц~3 И ~ 26Г' Ф Где Й,: = — ~ — ~ дР— коэффициент зависищий От формы попе г Г РЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ; бР— жесткос~ь поперечного сечении стержни ПРИ СДВИГЕ. Для прямоугольного сечения Ь х Ь (13.16) Аналогично Определиютси Йийчении коэффициента Й и Дли ДруГих сечений.
Иапример, для кругоиого сечения А =- —, для прокатных профилей приближенно А = —, Где Р— плоп1адь стенки. Е С С В случае чистОГО сдвиГЙ касательные напряжения рйснределякл'- СЯ РЙВНОМЕРИО ПО СЕЧЕИИ$О: (13.17) При Одновременном действии Осевых и поперечных сил, Й также ийгибйкхцих моментов полную работу можно получить как сумму работ Отдельных составликхцих.
Это ~бъЯСИЯет~~ тем, что р~б~та каждого нз этих усилий на перемицеииях, Выаыиаемых остальными силами, равиа нулю. Например, при удлинении, Вызванном силймп Ф, пОперечные сечения остаются плоскими и пйрйллельньпчи, Й потому пары М н силы Д рйбОты не проиЗВОДЯТ. АнйлогичиО силы Й не проийиодит работЫ на перемеп1еииих, Выэианных сила~и (,~ и ПЙРЙМИ М. 1 аким Обрййом В рассмотренном случае НОлнйи элементйрнйи рйбОтй Внутренних сил МЪЬ ФЧж Ц%~Ь ИВ~ — — — — — — А— 2Ы 2ЕЕ 26Р (13.161 Интегрируя выражение (13.Щ В пределах Всего стержня и суа.- мируя по Всем стержням системы, пОлучим формулу для работы Внутренних сил В случае плОскОГО изГиба." г- — ~~ ~'~ — ~ ~ "*~' — ~ж~-ф .
пзл91 Когда стержень подвергается деформации кручения„в сечениях, Ограничиваимцих Выделенный элемент длннОЙ»Ь, действуют крутящие моменты М,ч, ~рис. 36О), явля»ощиеся по отноп»ен»»»о к элементу Виеп»ними, МОм~нты снл упруГОсти равны по Величине МОментйм ~икр н направлены прот»»воположные стороны. Взйнмный угол Л»» пОВОрота сечений пш И П»»П» М„р»Ь »»»» Ик Где бУ~ — жесткость поперечного сечения СТЕРЖНЯ ПРИ КРУЧЕ ННИ. »»нс 366 »»»»с. ЗИ Таким образом, прп кручении элементарная работа постепенно Возрастающих внутренних сил (И.2Е~ ПолнаЯ работа Внутренних снл при кручении стержня кР 2 26,~„ (13.2$) Наконеп, В Об»пем случае ДеЙс~вия сил нй брус В сечениях имеем п»есть силовых факторов фис.
36Ц: осеву»О силу У, поперечные силы (~ и 9~, крутя»иий мОмент М~р, нзгибаюЩ»»е мОменты М и М . Учить»вая„что работа каждОГО из этих усилий нй перемещениях, ВызВйнных Остальными усилиями, раВнй нул»о, пОлучаем следу»ощу»О формулу для работы Внутренних сил (сил упругости): Заметим, что Выражение (13.22) справедливо также и ДЛЯ крнВолн»»ейных стержней малой кривизкы. Начало возможных перемещений, являясь общим принци»»ом механики„имеет важнейшее значение для теории упруп»х систем. Применительно к ним этот принцип можно сформулировать следу»ощим Образом: ~.ла сасве,иа находався 3 рааноаеса»» под дейслтаае»н пр»»ложенной нагрузки, во Зюмма рабов анен»ких и аку~пренн»»х шл на дозмажнь»х 66бконФно Жаль»х хщОммифн»»лх а»очек сайлас.иь» ра»»на нул»о, т.
9. „'~~Р»А, + Ю» О, ($3.23) тде Р, — ВйешййЕ сйлы; Лр~ Возмож»»ь»е перемещения этих сил' Ж~Р»Ь𻻠— работа внешних сил1 В'„, — работа внутренних сил. Заметим, что В процессе совершейня систеь»ОЙ возможното перемицеийя Величина и направление внешних и Внутренних сил Остакися нейзменнымй, Поэтому при вычислении работ слсдуст брать не пОловину, 3 полну»О величнну пронзВедения соответству»ощих снл и п9ремещений. Учитывая малОсть Де»~ормаЦий й их линейную ЭЗВисимость От насрузок 3 цу»ес»лае»»оз»»»ожных передещен»»ц ~иожнопран»ц»»арщ упруг»»е »ерВиеЯфная, Вь»зааннь»3 л»обм»»» Задом нагрЦжи и пронсходл" ЩИГ без наруи»ен»»Я саязбй, РабОта ~ е- Ь виеш»»их н Внутренних снл на ВозможЛ ных перемещениях называется воз»»ак- ной йлй 3»»р»пуа.»ьноа работоЙ. » Покажем, как определяется воз- ах 5, можная работа Внешних и внутренних а сил, на примере плОскОЙ системы.
Рассмотрим два состойййй какОЙ-лйбо системы, н 3 хОдящейся В ра ВНОвесн ч аФ Д (рис. 362), В состоянии а система деформируется Обобщеййой сйлОЙ Р„ (рие. 362, а), в состоянии Ь вЂ” силой Р'~ (рис. 362, 6). Очевидно перемеще»»ня состОЯния Ь можно рассматриВать как возможные для состояния а„й наоборот, перемещения состояния а явл»»и»тс»» нозможнымй для сОстоянйя Ь. Поэтому работа сил состояния а иа перемещениях состояния Ь (А,ь), равно как и работа снл состояния Ь на перемещениях состояния а (А»,„), будет воэможной.
Указанные работы внешних сил соответстВЕННО А» = Р,~а*' (13.24) Вычислим теперь возможйу»о работу внутренних сил состояния а на иереме»ценйях Вызванных ИЗЦфузкой состОяния Ь, С этОЙ цельк) рассмотрим проиввольний элемент стержни длинОЙ ~Ь В ОбОих сО. стояниях. Для пловкого изгиба Действие удалеиньп частей иа эле" мент Выражается системой усилий В„, (~„М, (рис.
363, а). Внутренние усилия, действующие на элемент, имеют напраВлеиия, протиВОполОжные Внеииим, и показаны штриховьаии линиямн. На рнс. 363, б покзззнм Внехлнне усилия Йь, Я„Мь, действующие на элемент Й в состоянии Ь. Лаформзции элемента, вызванные этими усилиями, показэни иа рис. 364. ОчевиднО удлинение элеманта 4Ь, вмзвзнное силамн Вь, (О,ПЭ) = — ' ~ь,й Ы' Работа Внутренник Осевык сил У„нз этом ВозмОжном перемещенин — Ф' (~ЫЭ)ь =— ($3.25) Взаимный угол поворота граней элемента, вьаванный парами М Мь~Ь МЧ)ь = Работа внутренних изгибающих моментов М, на этом перемещении — М„(йр» =— (13.26) Взаимный едвиг граней элемента, вызванный поперечнмми си- ЛЭМИ фь, (Фэ)ь = 4 ф,~Ь бР Работа внутренних поперечних сил (~ на этом перемещении — 9,(фа) = — й (13.27) Суммируи выражения (И.25), (13.26) и (13.27), получаем возможную работу внутренних сил приложенных к элементу 4Ь стержня на перемещениях, вмзваннмх другой, Вполне произвольной нагрузкой, Отмеченной индексом Ь: ИЯУ,ь — — — М,„(йр)ь — Ф (Ьф~ь — ~ (рй)ь, ($3.28) Запишем его В бОлее удобном виде: Внеси ТеперЬ в уравнение (13.23) выражении ДЛЯ Во~можной работы Внешних сил 1первую из формул (13.24)1 и внутренних сил 1формулу (13.3О) или (13.3Ц), получим Общее вьраженне начала ~ озможных переме~цений для ил~С~ОЙ упругой стержневой системы: =О (13.33) Иными слОвами, если упругая система нахОдится В раВновесии чо работа Внешних и Внутренних снл В состоинии О на ВОзможных перемещениях„вызванных другой, вполне произвольной нагрузкой, отмеченной индексом Ь, равна нулнх Выражении (13.32) и (13.33) применимы и для стержня малОЙ криВизны.
Аналогичные ВыражениЯ леГИО составить и Дли ОбЩего случаи иагруженин стержни. Если В качестВе Возможных принять действительные перемещении 6, вызванные заданной нагрузкой Р то выражение (13.33) ПРНМЕТ ВИД Нетрудно Видеть, что, разделив Выражение (13.34) на два, полу- =- К (13.36) — работу внутренних сил 1см. формулы (13.19)1. Таким обрааом, Рассмотрим произйольнув упругув систему, например балку„ В Даух состоЯИНЯх. В пераом состоинии (рнс. 365, о) пусть Денстаует обобщеннаЯ нагруака, ОтмеченнаЯ индексОм 1'„перемещений сООтпетстщлощих точек системы будут Л~~, Лм, ..., Лп.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
