Писаренко Г.С. Сопротивление материалов (1075902), страница 54
Текст из файла (страница 54)
1у М~УЛ МУг О~~~ки ОВ у ~ ~~ 1Π— 1 (12»9) В случае косого изгиба, когда направлений изгибак~щйх моментов такие„как ~ока~ано на рис. 32О, и, найболь~нне растягнваю~цие йапряженйя Возникают В точке В, а найбол~~ие гжймаю~цие — В точке В (рис. 320, б). Условия прочности принимают вид ФВ 3!П С4 ДЛ СОЯ Я пижам =- ОВ =- ~Ниже ~ ~ + ~ 1 ~~ ~О+1; (12.И1) ~О~~П© фо~~~~ а,=а = — М ~ + — ) ~~о 1, (!2Л1) В частиости,,для прямоугольного сечения — — — = В'.; — — =- К„ 1~ Х~ Фа ~' фа Уо поэтому формулы (12.10), (12.11) можно упростить так: ~~„,„, = ~~р = М„,~ — + — ~) ( ~~~Д; (12.12) Омнм =- Ох> = — ~Имаком + 4а 10~' — 1.
Г, $Г, В Обй~ем ~~уч~е йеплоского йзгйба условйе прочйостй принимает ВИД ( Му М~ (12. $3) Айалогично ~ро~~р~~~~~ прочность в ~очк~, где действ) ют найбольшю сжимакКЦие напряжения. Подбор сечений при неплоскОМ изГибе — задача более слОжнаЯ, чем прн простом плоском йзгибе.
При ее Реп~енин йеобкодимо снаЧала ЗВДВТЬСЯ ОТНОШЕНИЕМ МОМЕйтов СОНВОТНВЛЕНИЙ й НВКОДИТЬ сечения методом подбора. Заметим, что, если нужнО найти касательние напряжения при неплОском изГибе, последние МОжно Определить пО формулам ЦА . Югер 'В' — ~ ф Т = ~ * Определяя перемицения, также исхОдим из приннипа йезависимостй деЙ~ТВ~я сйл й Вычйсляем перемешейия В каждОЙ из главйык плоско~~еЙ. Сокрайяя прежнее Обозйачейие прогиба В йаправлейии ГлаВнОЙ Оси у через ю и ОбозначаЯ прогиб В направлений ГлаВноЙ Оси е через О„ дифферейпиальйью уравнений Щ)огйбов 9 плОскостяк ла и Ау запип*ем В Виде ~Р~ Е3ц —,, —— Мр', Е3,— „, =М,. Пользуясь указанными диФФеренциальными уравнениЯми, непосредственным их интегрировзнием или по методу начальных параметров можно получить перемещения.
Кроме тоГо, перемецения могут быть определены зиергетическими методами, которые рас- СМОТРИМ НИЖЕ. Значение полного прогиба 1' сечениЯ определится кзк геометри ~еская вумма прогибов о и ~". '$» ю'+ ИР В качестВе примера Вычислим проГиб свободноГо конца консоли, нагруженной силой Р, кзк показано на рис. 323. Раскладывая силу Р по нзпраВлениЯм Главных осей, получим составляющие Р„= Рсоза; Р, = Ря'па. (12.1Ц На основании формулы (10.54) определяем прогибы в главных плоскостях (рис.
323, ф Полное перемещение Определим направление полного прогиба ~, для чего найдем упи между отрезком ООЗ и осью у: М,~.;О,ОО = — = — '' = 1ди — '- (12.18) О Рд,~ йг~ Ргнг'й, Сравнивая формулы (12.18) и (12.7), замечаем, что угол между плоскостью изгиба и осью Д по абсолютной вел~чине равен углу МЕЖДУ НЕЙТРЗЛЬНОЙ ЛИНИЕЙ СЕЧЕНИЯ И ОСЬЮ 3. ОТС$ОДЗ СЛЕДУЕте ЧТО полный прогиб при косом изгибе перпендикулярен к нейтральной линии сечении грие. 323, а1. Очевидно огилонение полного п1иггноа от силовой плоскости тем больше, чем больше отношение + Заметим, чтО, кОГда 1,, =,7$[(это имсет место для круГЛОГО сечеиия и любОГО правильиОГО миогоугольиика), суммариый прогиб лежит в силовой плоскости. В этих случаях косой изгиб иевозможеи.
П[[$$$$[гр Ю. Деревян[[ы$[ прогон сечения 16 Х 20 см (рис. 324, б) свободно Опира на роп$[л Ф р ь[ 1р .. 324, а>, р ТОЯ гвежду к Орыми 3 Прогон нагружен вертикальной рав$[о[[ерш распределенной нагрузкой интенсивности [7 =- 400 Игуан Уклон верхнего пояса стропил фермы 1; 2. Определить иаиболь$вне напряэкен[[я с»катив и растяжениЯ В сечени$[ балки, указазь тОчки сече ния, где Они иь[еют место, и найти ИОлныи про~иб среднего сечения балки. 1[4аксимальный $[згибающий момент, который будет посредине бал ки, М = — = кгс ° см = 45000 кгс ° см. ФР 4 * 800т $[4 [[С Составлякяц[[е а'гогО момента„действующие в главных плоскостях инерции (Отиос[[тел~ $[о $ се$1 а и у) опреде- [' гда=у лим по формулам М, = — М „~ сов а = — 45 ООО ° 0,894 кгс ° см = = — 40 248 кгс * см; Мк — — — М „в[п с$ = — 45 ООО ° 0,447 кгс ° см = = — 20 115 кгс ° см. Угол наклона нейтральной линии а — $$ определится на формулы (12.7) так ,7» 1 1[4 1 ° АЛОЭ 1[»Й = — — » 1яс$ — — — - — = —— 7а 2 Ьт 2* 164 Р$4е.
324 = — 0,7813 =. — 1д 38~, На$[боль$П$[ми будут напря'жен[[я сжатия в точке 8 и растяжения — В тОчкв ;$.$~ т, е в точках, наиболее удаленных От нейтраль$[О$$ линни. М. М„1 М, И„'1 йг» 11'к ~ А[4 + 1[а$$ ! 6 ( 40248 20115 1 — -~ 7$ кгс/сма = — 61,3 кгс/сма. В точке В, очевидно, будет такое ~е по величине напряжение растяжения[ а[[[ = 61,3 кгс/см'. Наибольгний прогиб имеет место посредине пролета. Определится он по формуле 5[714 И=. 381Е 7 в которую вместо интенсивности распределенной нагрузки должны подставляться ве сос$аеляющие в направлении главных осей: [7$[ —— д сов с$ = 460 - 0,804 = 357,6 кгс7м = 3,576 $Й с7см, д» = д а[п с$ = 400 ° 0,447 = 178,8 кгс7м = 1,788 кгс/см, а также моменты инерции огноситель[ю главных осей а и у.
Сюставляккцйе прогиба тогда 5 ° 3,576 ° 3004 ° 12 384 ° 104 ° 16 ° 20' 5- 1,788 ° 3004- 12 384 - 10а «16[[ ° 20 Расчеты на совместное действие нагиба и растяжения можно СВести к следующим двум ОснОВиым Видам." а) расчеты на действие продольно-поперечных нагрузок; б) расчеты на Внепентренное растяжение (сжатие). Отдельно должен бьгп. рассмотрен изгиб с рэстяжением (сжатием) криВого бя са. Сложный изгиб с растяжением (сжатием) прямого бруса. Если па балку Действуют и проДольные и поперечные нагрузки, пересе" кающие ось бруса„то в Общем случае (рис. 325, а) в поперечных сечениях Возникают изгибакщие моменты М, н М в двух плоскостях, поперечные силы (~ и ф~~, а также продольная сила В (рис.
325, б). Таким образом, В зтом Случ~е будет сложьый изгиб с Изгибающие моменты, продольную силу и координаты точки, в ко- торОЙ Вычисляют напряжения, подставляют скща с их знаками. Пренебрегай касательными напряжениями От пОпсречных сил, мОЖИО считать, чтО напряженное сОстояние В ОпасноЙ точке лнней- нО. СледоВательнО, условие прочнОсти имеет простейшРЙ Вид: Знаки В зтОЙ формуле комбинируют по смислу или нз ОснОВе согО стзвлення с формулой (12.$9), В случае плоского изгиба В глзВНОЙ плоскости уОх с (~зстЯжением (сжатием) т(мхчленнзя фОрмулз п(жнрзщзется В даухчленнупх О— Ф М» Г В'» ($2.22) Зги формулы применяют при Расчете нз прочность плоских Рзм н зрои малой и()ИВизны. Опаснымн В зтом случае янляются те сече- ниЯ, где дейстВует наибольший изгибающий момент М В сдучзе Расчета б~усьеВ с поперечным сечением произВОльной формы длЯ ОпределениЯ ОпзснОЙ точки сечениЯ необходимо прежде Всего ~стзнОВить положение нейтозльнОЙ л~н~~.
(:пособ Определения положения нейтральной линии Описан ниже при РзссмОтрении ВнецентреннОГО Растяжения. Прпйер И. Подобрать двутавровое сечеййе Ил~~КОЙ стальйой рамы (рис. ЗЖ, а) при (О1 = 1600 кгпв/сче. Определим опорные реакции и построив вшоры М» и Ф (Рйс. 326, б, а), Обнаруживаем, что Опасным йвлвется сечение В праВОЙ стОЙки, В котором М„„„с = 57 ° 104 кгс ° свг, Ж = — 63,9 ° 10» кгс.
Опасйые точкй в атом сечений накодйтсн Слева (рис. 326, е), так как адесь арйф. метически складывакпсй напряженна ОтМ» и Ж. В соответствий с формулой (12,Ж) условие прочности вапйшетси так: « — — -~- ' «г«/с«««16й «га/««Р. ($2.«В) 57 ° 10» И,9 ° 10» ' При изгибе со сжатием прймеййть прйведейиые ФОРмулы можно лишь к коротким стержням большой жесткости, так как В случае тонкого длинного стержня вовможна потеря устойчивОстй (см«$'л. Щ тЯжести, то нейтральная линиЯ проходит В бесконечности, так как напряжения В этом случае распределены по сечс11И10 равномернО.
ПО мере увеличеиия экспентриситета е (рнс. 329) нейтральиая линиЯ будет приближаться к сечению и при некотОром положении силы Р (на рис. 329, например, при пОложенин А,) впервые коснется контура сечения. При дальнейшем увеличении эксцентриситета нейтРВЛЬная ЛиНиЯ пЕРЕСЕЧЕт СЕЧЕНИЕ, ПРИЧЕМ нОРМВЛЬНЫЕ НанряЖЕНИЯ в сечении будут обоих знаков: по Одну сторону от нейтральной линии — растяГНВающими, 3 ПО другую — сжимающими. ПредстаВляет иитерес устанОВить область таких удалений силы Р ОТ ОСИ, ПРИ КОТОРЫХ НОРМВЛЬНЫЕ НЗПРЯЖЕНИЯ ПО ВСЕМУ ПОПЕРЕЧНОМУ сечению будут ОднОГО знака. Такая Область называетсЯ Ядром сечения.
Это Важно для брусьев из материалОВ, плОКО сопротивляющих- сЯ растяжени!о (например Для кирпичнОЙ клаДки, бетона и серого чугуна). Итак„лдрол1 сечейал йааыеаетсй область еокруе пейтра п1лжеста иоперечйого сечения, которая обладает следг~ющам саойстеом: если 6йияйтреййо праложейййя ййарязкй Располджсейа В области яоша, то йоряйльйые йшфлжейия бо есех точках поперечйоео й"юйия пл1е1гхп одИй айат. Для пострОениЯ Ядра сечения будем задаВатьсЯ различнымн пО ложениями нейтральнОЙ линии, касательными к контуру сечения, и Вычислять коОрдинаты соответствующих точек приложения силы Р по следующим формулам, вытекающим из выражения (12.28): Фг $у (12.33) Уй ~и Вычисленные координаты определяют точки, лежащие на Границе ядра сечения.
Чтобы облегчить построение ядра сечения, используем следуюн1ее С~ОЙС~ВО нейтраль11ой ~инин: при повороте нейтральнОЙ Л~н~~ Вокруг некоторой фиксированной точки А контура сечения точка и;Зиложения силы перемещается Вдоль некоторой прямОЙ.,ПлЯ Обо- Действительно, уравнение (12.32) при гоА =- сопз1, УОА = сопз1 является уравнением прямОЙ Относительно кООрдинат точек приложения силы Р— (у„, г ).
Таким образом, длЯ построения Ядра сечения какой-либо фигуры нужно провести ряд положений нейтральной линии, совпадакпцих со сторОнами сечения, а также касающихся его Выступакмцих точек. Построим, например, ядро сечения для прямоугольника 48С0 (рис. ЗЗО). Совместим Вначале нейтральную линию со стороной СВ (положение 1 — 1). Очевидно в этом случае Ь У„= —; Е = ОО. Я И ТОгДа из Выражений (12.31) ф 4 Ь 6 я Ъ, э а — О* Здесь учтено, чтО Е 3я М~ ~Р Л Уе ИР И а Р 12ЬЬ а " ' ~ аМ ы Таким Образом, кОординаты тОчки 1 ядра се- ЧЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕНЫ.
Совместим теперь йейтральйую лийию СО стороной А.о (положейие 2 — 2). И~~е~ 6 Д =ОО 8 Н ~ й Тогда КООрдниатЫ ТОЧКИ 2' ядра ЬФ 6 ~,=-О", а,„ 6 Ю вЂ” — Рие. ЗМ Аналогично определяются координаты точек У и 4', соответствующих положениям нейтральной линии 3 — 3 и 4 — 4. Так как при переходе иейтральйой лийии с Одйой стороны йа другую Ойа ПОВОрачивается Вокруг у~лоВОЙ ТОчки сечейия, то точка приложениЯ силы перем~цается по прЯмОЙ, ОбразуЯ контур Ядра. Таким ОбрааОм, ЯДро сечения буДет ромбом с Диагоналями, равными одйой трети соответствуюней стороны сечейия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
