Писаренко Г.С. Сопротивление материалов (1075902), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Од~~~~ некОтОрые тОчные реГпенйя теОрйи упЩ~ГОсти пОказывакл'~ чтО В тОм случае, кОГда УГОЛ наклОна Образующей пОВерхностн стержня к ВГО Осп невелик (не превышает 15— 3)'), с дОстатОчнОЙ длй йн~~нернОЙ практйкй точнОстыО ~ОЖ~О прйнйматв распределение нормалызых напряженйй пО нысОте сечения прямОлинейным. ТОГда, естественйО, мГйкйО нолыоватъся Обычным услОВием прОчностн и дифференциальным уравнением УПРУГОИ Лйнйй, Т. Е.
й (х) (И). ИО) Расч~~ на прочность и ~ес~кость стерн»ней переменного сечения осложняется тем обстоятельством» что М~мен~ сопротивления и момент инерции сечения являются функциямн абсциссь» х сечения. На это указывают и обозначения в формулах (10.140) и (10.141). Последнюю формулу можно записать в несколько измененном виде. Обозначим через 4 момент инерции какого-либо сечения (обычно наиболь»»»еГО илн наименьшего) и Введем понятие привеДеннОГО изгибаю»цего момента". М„р (х) ° М (х) —" .«(х) (16.142) Тогда, умнОжив на.7(, числитель и знаменатель правоЙ части фОрмулы (10,141), получим Ф»». «И„р (~) йР,И~ (Ю.143) Эта формула по ~~~е~у внен»нему виду совпадает с форму~~Й (10.135), но входящие в формулы велнчинь» М„р (х) имеют разлнчнь»Й смысл Частным случаем балок с непрерывнО менякмцимися по длине размерами сеченнй ЯВлЯютсй балки «мюиюГО соим»»идлГЯ»»я изеиоф во всех сечениях которых максимальное напряжение равно допускаемому» т.
е. Р »»х» = — >»»1 « «и (х) ~ Отбода получают уравнение для Опреде- П лениЯ размеров балки равноГО сопротивленияя: $Г (х) = 1~ ° (40.144) Задавп»ись какОЙ-либО формОЙ сече б ниЯ (причем таким Образом» чтОбы раз меры еГО Определялись тОлькО Одним параметром), из уравнения (10.144) находим закон изменения юого параметра по длине балки- 1ем саммм О»»ределяем размеры всех сечений. для нахождения перемещений можно пользоваться дифференциальным уравнением упруГой линии (10.143). Найдем форму консоли равного сопротивления изгибу.
Сечение прямоугольное с постоянной п»ириной Ь и переменной высотой (рис. 291). Обсаначим высоту балки в произвольном сечении через Ь (х). Тогда КРОМЕ ТОГО» ОЧЕВ»ЩНО» ~ М (ж) ! = Рх. ОТКуДЗ Заметим~ что В Окрестности концевого сечения (х ~ О) изгибзюшие мОменты ма- ЛЫ, ПОУТОМУ ВЫСОТУ СЕЧЕНИЯ СЛЕДУЕТ ОПРЕ" делят из условия прочности по 3 Р %43Кс = 4~ И 2 ЬЬ 1 ЗР 2ЬЫ Построеннаи балка параболического )") очертания наиболее рациональна с точки О 31)ения экономии мзтернзла, ОднзкО из"за у ® слОжности формы не удОвлетВОряет технО" лОГическим требованиям.
Поэтому нз прзк- 7 тике применяк)т не балки РЗВИОГО сОпро ~9 тиВления, з близкие к ним ступеичатме д стержни. Уме. 292 АнзлОгичнО Обсюит Дело и в случаях двутаврового, круглого и других видов сечений. Есть Один вид балок рзвйоГО сОпротивлеййя с Весьма простым Очертанием, который пОлучил широкое распространение В листовых Рессорах„— Это балки прямоугольного сечения с пОстоянной высотой Ь и переменной шириной Ь (х). Найдем форму балки Равного сопротивления изгибу для схемм, покзЗзннОЙ нз рис.
292, о. Сечение балки прямоугольноес пОстоинной высотой Ь и переменной по длине шириной Ь (х). В силу симметрии длЯ Определения формы балки достатОчно рзс смотреть тОлько левук) пОлоВину пролета. Тогда М(х)= — х: Г~х) 6 Р ь(х) ю Подставляя Эти выражении в формулу (10.144), получим Ь (х) х, х.
Ь~ ~а1 Кирина сечении меняетсн по линейному закону„ и, следовательно, балка имеет Вид, предстаиленный на рис. 292, б. Максимальнаи ширина Ь() будет посреанне пролета". ач ~ =~'-к' =-и —. Я Опрефелим наиболыпий прогиб ~ этОЙ балки. СОГласно ВьЦэзже ниям (ЗОЛ42) и (1ОЛ43), имеем ххх М (х) Л~ Мдр (х) х Р 1 Р1 2 2х 4 Ба рис.
292, б пОкаааны эпюры М и Щ а также апюра приаедениьк изгибающих моментоа, Таким Образом дифференциальное ураанение упругой линни,для леной полОВины пролета имеет Вид Рта Р1 ()х() 4~~~ ДВажд$4 ннтеГрируя еГО получаем 8(х)= — ~ — х+С ", 1и и) (х) — ~ — х'+Сх+.ОГ и Е.)'„~ 6 Для иахомщения постоинньп( С и В используем симметрик) упруГой линии (Она пОказана пЩ~НКОВОЙ линией на рио.
292, и): в (О) = й — = О (А 127 — . ~и и в (х) - — ( — хх — — х1 ° Б79 ~ 6 6 ц" 2 = ЕХ, 6 4 6 2 и следовательно, -~-М- — ".. Е сли бы балка имела постОЯИНОе сечение, тО Н3 услОВИЯ п~~й~- ~~~ти мы наГпли бы, чтО Оиа будет прнмоугольного Очертании В плане (балка с постОЯинои ши" риной Ь на рис 292, б пока- Ф 3ана цггриховым контуром).
Дли такОй балки максималь" ный прогиб П (1ОЛ45у Таким обрэаом. балка рав- НОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ИМЕЕТ О ВДВОе меиъший Вес, чем балка постОНИИОГО сечения„а максимальный прогиб ее В полтора Ф: рааа больше, т. е. ~ = Щ'. (Ю.146) В аайл~чение Отметим, что у,опОр ширина Сечении Ь ДОлж~а быть Определена и3 условии про~~- ности пО тощ~, БО раамер Ь получаетсн иеЗнзчительным, и обычно прочность у концов обеспечиваетсн конструктивным устройстном, необжодимым длЯ ОпираннЯ балки. Расчет обычной листовой рессоры (рис.
293, г), состюищей из пакета листов, приводитсЯ к расчету только что рассматренной балки. Будем рассужДать слеДЯОЩим ОбраЗОм. Раарежем балку раВИОГО сОЩютиалеииа (рис. ВИ„, 4ф на полосы, как покааанО на рис. 293, б, а затем слОжим Одинаковые полосы шириной 2* И ре3ультате получим и пОлОс Гпириной ~ — — з Ае изображенних иэ рис. 293, 6. Сложив Эти %юлоси Вместе, получим представлениу$0 на рис. ЖЗ, 8 листов)чо рессору.
Если все лисгы соед~Нить между собой (например, сварить или склепать~, то получитсн балка постоннной ширины 1 и переменной Высоты сечения. В рессорах же листы не свяЗаны друг с другом (комуты, име~опГиесЯ в рессорак, ~~уж~т Дли того„чтобы рессора не рассыпалась) и имеют воаможность свободно проскаль3ывать относительно Друг друга. Кроме того, приближенно можно считать, чтО при деформации %ке полОсы получают Одинаковую криВН3ну. Тогда фмма Полос, находящихся В рессоре, с тОчки 3рения напря- 36$ жений и деформщий будет щщнвалентна сумме полое, показанных на рис. 293, б, т. е.
балке раВногО сопротиВлениЯ постоинной Высоты и переменнОЙ шЩщны (рис, 293„й). Поътому ДЛЯ такОЙ рессОры Условие пРочностн (Учитываетси, что Ьо = гп) имеет щЩ (16.147) а нанбодцпий Прогиб 1См. равенсгВО (1ОЛ46)1 1,а' 3.5 48~~ ю (Ю.146) е Ьф~ ЬЙР 12 12 Длн рессоры, показанной на рнс. 294, а, соответствуккцаЯ балка равного соаротивлеиик Имеет форму треугольника (рис. 294, б) И, ОЧЕВИДНО, Р 1,5 — = — ° (1ОЛМ) 4Ъ Заметим, что рессоры изготОВлякл' из Високопрочнь|х сталей~ так что Обычно Величина Ы достигаег 4ООО кгсРсм и Выше. ЧтО касаетса Уае. 394 прогмба рессор„то на практике (главным образом из-за трения между листами) Он получается несколько мжь" ше, чем у соответствуккпей б~~~~ равного сопропивле51ИЯ, ~к~9тому в формулак (1ОЛ48) и (1О.15О) Вместо коэффициента 1,5 приннщпот ~ = 1,2 —:1,4О. П~РМЯЩ3 4'. Рсссо93 (Рйс.
Ж2, ЙИ1 Дзййоа 1ОО см, состокЩЗЯ йз ссмй колос сочйййом бо Х 8 мм, й33'Ружсйк сйлой Р ~ 75О ~й'с. Требуи'ск йро~~й~ъ йрочкосчь «мссорм ф6 = 45ОО ИГс/см11 и йзатй азксймйдьнмй Щкййб. В дщйоа случка В = 9,8 са; У = б са', 1 ° КОса; Р 756 кгс; к = У, Та'кк ФМР 6 ° 7 ° О,У 12 = 12 Ф По услаийо арочкосщ (1О.147) е = кхс~ЬР=4ИЮ кгсФ~Ф ~ 496 клад. Ж 3 ° 75О ° 106 Скодойзтолько, $йбихфа щ~очкак, * Двлм, волнуясь фориуло(1 (10.146) и заменяя в ией иовффициеит 1,6 иа р, ивходим» что РР 756 ° 160~ = (1,26: 1„40) см =- (1,25.+ 1„46) 4„16 ем = 6 = 5,2 +.5,8 см, т.
е. наибольший прогиб лежит в пределах 52 — 68 ь»м. В заключение отметим, что приведенный способ расчета листоВых рессор В известной мере условен, так как: «) не у~и~~на~~ Тре~и~ между Лис~а~и рессоры," 2) В действительности листы рессоры соприкасаются друГ с друГОм не Всюду„а тОлькО В Отдельных точках, Вследствие чеГО криВиз на листов при деформации неодинакова, а значит, и напряжения В них различны Расчет на изГиб с учетОм сил инерции прихОДитсЯ прОВОДить В том случае» кОГда элеь»енты кОнструкций В процессе эксплуатации испьпывают большие ускорени~, Вызываю Цие значительные ииерциОнные усилия.
Классическим прииером деталей, прочные размеры которых следует Выбирать из услОВиЯ расчета на НЗГиб с учетом сил инерции, ЙВляются спарники локомОтиВОВ и шатуны дВНГателей. » $ РассмОтрим спарник АВ (рис. 295), соединяющий Два кОлеса, одно из которых (О») является Ведущим Й на него передается враща»ОЩий момент От машины. В точках А и 8 спарник присоединен к колесам при помощи цилиндрических шарниров; расстояния АО, и ВО» равны радиусу криВОшипа Г; диаметр колеса — В", длина спарника 1„локомотив ДВИГается с Я» ПОСТОЯННОЙ СКОРОСТЬ»О Т», Я Ъ ~ частВуя В переносном Движе- нии вместе с локомотивом с поф, сГОянноЙ скоростью О, спарник, не имея ускоре~ий, не будет испытывать инерционных усилий.
Ускорение Он получит тОлькО В процессе Рив. 29$ ОтноснтельноГО Д~ижения. Так как В этбм движении точки А и В спарника перемещаются ОдинакоВО, Описывая В Одной плоскости окру1кнйсти радиуса ~; то это Дни~ение будет плоским и поступательным. Следовательно, все точ~и спарннка будут иметь те же скорости и ускорения» чтО и точки А и 8 точка А Движется Вместе сО вторым кОлесом, ОписыВая Окружность радиуса г. При постоянной скорости движения локомотива у~лоВая скорость Вращения колеса»о пост~~нна. СледователЬНО, танГенциальнОе ускОрение тОчки А раВнО нулю, а центростремительное ускорение в„, направленное от точки А к точке Ов, равно е'г. Лк)бои Элемент спзрникз испытывает такОе же ускорение~ направленное параллельно О,А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
