Писаренко Г.С. Сопротивление материалов (1075902), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Укажем лишь, что на каждом из участков балки при ийтегрйроваййй дйфференпизльнык уравйеййй упругОЙ лййнй будут полученм по две произвольные постоянные: С1„01 и Сц„,оиДли их Определенна к двум Опорным условиим балки и (О) = О; а (1) = О дОлжны бьГпэ добавленн услОВИЯ плавнОГО-и непрерь$ВНОГО сОпри- женив участков АС и СВ в точке С при х = а: 8 (а) .
= 1~ (о),р... а~(а), , ы (а)щ, . Этй ДОПОлйительные услОвйя выража~от ОтсутстВйе раэрыва й отсутствйе йалОма упругОЙ лйййи балки под сйлой Р. Для самоконтроля приВОдИм ОКОИЧЗТЕльнЫЕ уравнЕНив прОГИ бОВ и УГЛОВ ПОВОрОТЗ: дли участка АС й~ (х) = — —, (вй + 2аЬ вЂ” хэ); (16.64) ~1 (х) = — -дтпл — Ф + 2ОЬ вЂ” Зх))э (10.6$) Длн участка ВС в (х) — — ( — а'~ + (а' + 2Р) х + хэ — ЗЬР1; (16.66) 6 (х) = — —" (а' + 2Р— бах + Зх5. (16.67) Эпкфы Я, М, 8, Ф йэображени на рив. 279. Воспользуемся результатами Этого примера для ТОГО, чтобы Определить абсциссы сечений с наибольшим прогибом и Величины ~ при разл~~ны~ пол~~ениЯХ Груза Р на балке. Наиб~ЛЬШий пр~г~б будет иметь место В сечении Ау, Где 8 (х~) — „„= О. (16.68) При и.".~ Ь ато сечение наХод~тся на у~аст~~ АС.
Приравняв к нулю уравнение (10.65), получим '~/ й (и+ 2ы 1/ Р— ь ~10 ~у~ Исследуем, как будет меняться аб- Р„=Ц 4~'т сцисса сечения с наибольшим проги- бом при перемещении силы Р от сере- Ф дины балки к правой опоре. При Ь-+ ®к -з-О абсцисса х~ =- —, = 0,5771. Ф'3 ®и~ Значит даже В предельном случае когда груз Р подойдет к опоре В, пжка Р с наибОльшим прОГибОМ будет ®ф нахОдиться От середины балки на рас 444 СТОЯНИИ ВСЕГО Ям~ 1 0,57Л вЂ” 0,51 = 0,0771 $3 ~У Заметим, что на таком же расстоянии Фвк. $79 От середины прОлета находится нан- болыпий прогиб и В случае, когда балка на двух Опорах нагружена моментом„действующим над ОднОЙ из Опор (см.
рис. 62). Подставив выражение (10.69) В уравнение (10.64) Для упругой линии на участке АС пОлучим формулу для куделе Р ь (а~+ 2аь)'» и (Р— ь~1'4 " 9~зИ .+Ь вЂ” 91 3Е Прогиб посредине пролета найдем из уравнения (10.64), подстаВИВ Х з--~ —. ' -Ь)--~("+ -Ь Анализ формул (10.69) и (10.64) показывает„что даже прн Ь -~. О разница меиду прОГибОм посредине балки и максимальным прогибом не превишает 3,4.
СлеДОВательно, ЩФГиб биАкм посредйне ЩюЯ8Жй Ф ~ — / ~ ~ — ~ ЛрмбЯИЗйЛТВАЬЙО ~РШВЙ ЙИЙ6ОЛИИАИф ЛРМИ6У ~. ЭтО заключение применимо при действии на балку любых иагруаок ВызыванмЦих НЗГиб В ОДну сторонуе Во многих случаях построение эпюр в и )~) Возможно н без со- стзвлениЯ аналитических Выражений для про)'ибов и уГлОВ пОВО- рОтз по участкам- ДОстзтОчно лип)ь Вычислить прОГибы и углы пО- ВОрОтз Для некОтОрых характерных сечений.
Прн построении же эпюр следует пользОВзться правилами, которые мОГут быль пОлу чены на ОснОве анализа дифференциальных ззвисимОстей, существу- кхцих между ю, 6, М н Я. Запишем этн зависимости В удобной ДЛЯ ЗНЗЛИЗЗ фоРМЕ„ Из уравнения (10.44) с учетом выражения (1ОАО) находим, что (10.72) ПродифФеренцировзв ураВБение (1О.72) пО ж н учтя зависимОсть ЖИ вЂ” © ПОЛУЧИМ рц д» ) (16.73) Таким Образом, имеем две Группы днфференпиальных зависимостей: (10.74) (10.75) анзлОГйчных зависимостям, нз ОснОвзнии КОторых были получены правила для построения эпюр Я и М 8 2Ц. Выражения (10.74), (1О.75), а также сопоставление построеннИх эпюр пОЗВОляют установить Общие для любых балок зависимости между эпюрами а), 8, Я и М, которые будут в дальнейп)ем служить " правилами построения эпюр. Укажем наиболее Важные из этих правил: 1.
Так как М (х) представляет собой диаГрамму производной эпюры углов поворота 9, то ординаты эпюры М пропорциональны тзнГенсу уГла наклона касательной к эпюре В. 8 сечениях, Где М (х) = О, касательная к кривой 8 = Р (т) должна быть парал- лельна Осн ~бсц~~~ (рйс. 277 й 279, сечения А й 8). Скачку йа эпюре моментов сОответстВует уГловая точка на эпюре Й (рис. 283» сечение С; рис. 286, сечение 0). 2. Если изгибзюп)ий мОмент равен нулю нз прОтяжении кзкОГО- либО участка балки, тО на этом участке эпюра 8 прямоугольнз, а эпюра и) пря линейна, но, бще Говоря, на нна (р .
286, УЧЗСТОК ВЕ), 3 Нз участках» Где действуе) постоянный момент (нз участках» нахОДЯЩихся В условиях чистОГО нзГиба), эпюра 6 прямОлинейна и наклонна, а эпюра а~ — параболическая (рис. 286, участок ВВ). Здес~ обнаружйвается протйворечйе с йзложеййым Вып)е утверж- дением» что при чистом НЗГибе кривизна пОстояннз ))» = — = Р М = сонэ| н балка изГибается по Дуге окружности, Причина этого кроется в приближенности дифференциального уравнения упругой линии, которым мы пользуемся для вывода уравнения (10.72). Строго говоря, при чистом изгибе балка из~ибается по дуге окружности, которая в пределах малых деформаций с весьма большой точйоотью может быть представлена квадратйчйой параболой. 4. ВтОрая производная прОГйба Рв АЦх) дх~ ЕХ имеет знак момента.
Если момент полОжителен (сжаты Верхние ВолОкна), тО ВОГнутость на эпюре ю буДет Обращена В сторону поло жительных а» (вверх). При отрицательном моменте Вогнутость параболы обращена вниз. Так как ординаты эпюр изгибающих моментов мы условились ОткладыВать со стОроны сжатых ВОЛОКОН Я 2О), то вогнутость эпюры прогибов а всегда обращена в ту сторону, с которой расположены ординаты эпюры изгибающих моментов. В сечении„где действует сосредоточенный момент М, имеем точку перегиба упругой линии (рис. 2Ю, точка С). 5. Вторая произВодная угла поворОта д%~ (Цх) д.к~ Е.~ ймеет зйак по~ер~~~~й силы.
Если (~ положительйа, *о ~ыпу~~~с~ь на эпюре 8 будет обращена вниз (рис. 279„участок АС," рис. 266, участки АС и СВ). При ~.:: О выпуклость направлена в сторону оси ж, т. е. Вверх (рис. 279, участок Сн). В сечении, где Ц меняет знак, на эпюре 6 имеем точку перегиба (рис. 279, сечение С). б. На тех учасгках балки, ГДе эпюра М изменяется пО линей ному закону (участки АС и СВ, рис. 279), эпюра8буДет квадратичной параболой, а эпюра и — параболой третьего порядка. 7. Ч'ак как 6 представляет собой график изменения по длине балки тангенсов углов наклона касательных к упругой линии, то можно утверждать следузОщее: а) на участках, ГДе В напраВлеиии оси х прОгиб ~6 ВОзрастает1 уГОл наклОна 9 пОЛОжителен (рнс.
279, участОК Р8), при уменьшений и уГлы йаклОйа 8 Отрицательны (рис.279 и Жб, участки АС); б) в Оеченйях, где 8 = О, касательйая к эпюре и~ Горйзойтальна, т. е. здесь на эпюре в получается аналитический максимум или минимум (рис. 279, сечение Е). 8. В тех сечениях, где на балке расположены промежуточные шарниры (рис. 286, сечение С), на эпюре углов поворота будут скачки. На эпюре Ф В этих сечениях получаются переломы, т. еу~ловые точкй, В которых скачкообразно йзмеияется угол йаклойа касательнОй к эпюре Ф. Перечисленные особенйостй эпюр поз~ол~ю~ по самому йх Вйду установить„не допущейы ли принципиальные ошибки при построении.
НесколькО примеров пострОения эпюр рассмОтрено в следующем параграфе, В дальнейшем всегда будем пользоваться этими Общймй правйламй. С1предемниа перемещений методом непосредственного интегрирования дифференйизльного уравнения упруГОЙ линии В случае балОк с большим количеством учзсткОВ сОпряженО сО зиачителы1ьцми труднОстями. Зти затруднения ззключз1отся не В интеГРИРОвзнии дифференциальных урзВнений, 3 В те~1иике Определения прОИЗВОльных постоянных интегрирования — сОстзВленин и решении систем линейных алгебраических уравнений.
1зк, если балка по услов11ям нзгружения разбиВзется нз и участков, тО интеГРирование дифференциальных урзВнений длЯ Всех учзсткОВ балки дает 2п произ~ольн~~ ПОстоянных. Добавив к двум основным Опорным условиям балки 2 (и — Ц условии непрерывного и плзвнОГО сопРЯжениЯ Всех участков упругой линии, можно составить 2а уравнений для оп- РеделениЯ этих постоянных. Задача стзнОВится Очень трудоемкой уже при и =- 3. Для уменьшения большой вычислительной работы„ связанной с определением произвольных постОянных интегрирования, В настоящее Время разработан ряд методов. К ннм относи'Гся и метод начальных парзмет- РОВ, позволяющий при люббм числе учзсткОВ свести решение к Отысканию всего двух постоянных — прогиба и угла поворота в начале КООРДИ НЗТ.
Вь1ВОД Общих уравнений и примеры их применения«Рассмотрим некОтОрую часть балки Длиной ~1 (Рис. 28.1, и), проведя сечения В точках ~( и 1.. Нз рис. 28О, б изображен этот Отрезок, нагруженный следую1цнми наиболее ЧЗСТО встреча1О1цимиоя нагрузками: а) сосредоточеннь1М моментом М в сечении с абсциссой а; 6) сосредото~енной силой Р в сече11ии с збсциссой Ь; В) нагрузкой, рзспределеннОЙ по закону трапеции От сечения с збсписсой с до сечения с абсциссой д, интенсив~остью Ч (Х) = Ч + А (Х вЂ” С), где А — тангенс угла наклона р касательной к эпюре нагрузки (рис, 280„а)." г) кроме того, ПО Ионнам рзссматрнваемОЙ части балки приложены пОперечные силы и изгибающие моменты, заменяю1Цие Действие мысле11нО Отброшенных частей балки.
При ВьцЗОДе уравнений нзпрзВления Всех нагрузок Выберем такими, чтобы они вызывали положительные изгибающие моменгы. Заметим также, что из рассматриваемом Отрезке может быть несколько сосредоточенных моментов и сосредоточенных сил, з также нескОлько участков распределенной нагрузки. Мы показали нз балке по одному из перечисленнь1х силовых факторов лишь с нелью упростить дальнейшие Вь1кладки. Чтобы резко сОкрзтнть число иензвестицх произвольнцх постО- яннцх„сведя решение к определению только двух постояннцх интеГрирОвзния, НЕОбходимо Обеспечить рзВенствО соответствую. Щцх постояннцх на Всех участках балки. ЭТО равенство может бьггь ТОЛЬКО ТОГДЗ, КОГДЗ В УРавнениях МОМЕНтов, УглОВ ПО$Юрота И ПрО- гибов при переходе от участка к участку повторяются все членц предцдущего участка, 3 внОвь" пОЯВляющиеся слзгземце Обращают ся в нуль на левцх Границах своих участков.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
