Писаренко Г.С. Сопротивление материалов (1075902), страница 40
Текст из файла (страница 40)
В случае сим- Ь метрии сечения Относительно Горизонтальной Оси 8 при д = -с: Подставлйй это аначенне В формулу (10.1О), длй абсол~~тной Вели- чини напряжений ПОлучаем А М— 2 Омбке = — ° Обозначим отношение — через Я~ и наЗОвем еГО ОсВдим мом8н- Ь/2 юдм О: щ)ОГпиажипя, см . 2ОГда Если сечение не имеет Горизонтальной Оси симметрии,то нейтральная линия смещена по Отношению к середине Высоты сечения фис. 239) и напрйжения Оьцщ, 0 крайних верхних и ~хаак, В крайних нижних ВОлОкнах не будут ОдинакОвыми: М . ° М Ощупке = ~ э пьексы = ~,' е (щ„и) Характер распределения ИОрмальных напряжений В поперечном сечении наГлядно представлен на рис.
24О. Полученные результаты позволяют сделать некоторые Выводы О рациональной фОрме сечениЯ при чистом изГибе. В Отличие От про- стОГО растйжений — сжатий при НВГибе, как и при кручении, напряжений в сечении распределякися неравномерно. Материал, расположенный у нейтральнОГО слоя, наГружен Очень мало. Поэтому В целик его экономии и снижения Веса конструккии для деталей, работакацих на изГиб, слеДует Выбирать такие формы сечений, чтобы бол~Ш~~ часть материала была удалена От нейтральной линни. Идеальным с этой точки зрения является сечение, состоящее из двух узких прямоугольников (рис. 241, а). Реально такое сечение неныпол- нимО, так как эти Два прямоуГОльника должны быть связаны межДу собой, чтобы представлять одно сечение.
Из практически встречающихся профилей наиболее близко к идеальному двутавровое сечение (рис. 241, б). Изгибающий момент, который сечение способно выдержать безопасно, пропорционален $Г, Величина наиболыпего действующего в сечении напряжения оц~эщ должна быть Ограничена значением 1о), и тогда из формулы (10.13) допускае- МЫЙ МОМЕНТ 1М1 = П„Ф = (а1В'. (10.$6) Расход же материала пропорционален площади сечения Г. СледоваФ' тельно, чем бОЛЬШ~ Отношение — „, тем больший изгибающий Мо~ент Выдерживает сечение с заданнОЙ плОщадью (т.
е. с заданным ВесОм стержня) и тем меньше материала уйдет на изГОтовление стержня, Выдерживающего заданный изгибающий момент. Поэтому отношение р мОжет быть принято за критерий, Оценивающий качестВО ПРофнля. ОснОВЫВаясь на этом критерии (или просто обратив Внима" ние на то, какая часГь материала расположена Вблизи ней- тральнОЙ линии), леГкО убедиться, что сечение, пОказанное на рнс. 242, рациональнее сплОшноГО круГлОГО, а расположения двутавра и прямОуГОльника, пОказанные на рис.
243, й, прн Вертикальной си- лОВОИ плоскости Выгоднееэ чем показанные на рис. 2'Ф б. Все формулы настОящего параГрафа ПОлучены для случая чистого изгиба пря~~~~ стержня. Д~Йст~ие же поперечной силы приводит к тому, что Гипотезы, полОженные В Основу ВыводОВ, теряют свою силу, так как пОперечные сечения не остаются плоскими„а искриВ" ляются; продольные Волокна взаимодействуют друг с другом, давят друг на друга и находятся, следовательно, не в линейном, а в плоском напряженном состоянии. ОднакО практика расчетов показывает,„что и при поперечном изГибе балок и рам~ коГда в сечениях кроме М Действует еще У и ф мОжнО пользоваться формулами, Выведенными для чистого изГиба.
11огрешность прн этом получается Весьма иезначительной. При поперечном изГибе, кОГдз В сечениях бруса действует и М1 Возиикзк?Г не тОлько нормальные напряжения О, но и каса ТЕЛЬНЫЕ НЗПРЯЖРНИЯ Т. Получим формулу для Определения т В прос?Рй?пем случае по- перечноГО йзГйбз балкй. Кзк ~ же указывалось 8 26), задача об ОпреДелении напрЯжений ВСРГДВ статически неопределимз и требует рассмотрения трех с?орон задачи, Однако можйо принять такие Гипотезы О распределений йзпряжеййй, прй которых задача станет статйческй Определимой.
ТОГдз необходимость В прйвлечении Геометрйческйх й фйзнческйх уравнеййй Отпадет й достаточно рассмотреть одну только с?атнческув сторону задачи. Так именно и будет обс?о- яТЬ деЛО С ВЫВодом фОрмуЛЫ дЛя Т ПрИ ИЗГИбе. Проведем ВЫВОД иа прймере бзлкй прямоуГОльйОГО поперечйоГО сечения (рис. 244, а). Двумя близкими поперечными сечениями А,В, и А В~ Выделим злемент балкй (рис. 244, б) Длййой дх.
Как Вйдно нз зп?ор, В обойх сечениях Я н М положительны, причем В сечении А~В1 Я = Я (х); М = М (х), а В сечении АзВ Я = Д(х); М = М (х) + ИМ. Таким Образом, В провеДенных сечениях ДРЙств~чот нормальные и касательные напряжения. Нормальные напряжения на леВом и прзВом торцах ВыделеннОГО элемента нз ОснОВзнии ВЗВйсимости (1О,К) Определяются фОрм улзми М,„М+ ИМ (И.17) Введем дВВ предположения О характере распределения касзтель ных напряжений В балках прямоугольного сечения: 1) т ВсюдУ параллельны ф 2) Во Всех точках сеченпЯ нз ДаннОМ Уровне ф = сопз$) т ОДинзкоВЫ (Т.
Е. Т ПОСТОЯННЫ ПО ШИРИНЕ И ЗЗВИСЯТ ТОЛЬКО ОТ РЗССТОЯНИЯ ТОЧ- ки дО нейтральнОЙ линии). Эти предпОложения справедливы, если О ~~ и. Отсечем часть элемента балки, проведЯ ГоризонтзльйУю плОс костыл, — щй на расстойний у от нейтрального слой (рис. 244, в, д). Очевидно В Грзнйх А1А;4щл1, СйСйл~пй и А1А~с~~С1 Вообще иет ййкзкйх йзпряжеййй, тзк как этй грзйй являются частью наружной поверхности бзлкй. Нычйслим равнодействующую йормзльйых йзпрйжений, распределенных по Грани А1Сйййий. Нз элементзрн)чО плоЩадкУ Й~ = ЬЙ)т пРОВеденнУю пзРзллельно нейтРзльнОЙ Оси 8 йа расстойний т~ от нее фис.
244, г), действУет элементарнаЯ осевай сила дУй = О иР = ОГ'. Тогда искомзЯ рзвнодейстВУк6цзй М(х) Я Х, Так как,~ йНй' — а йе' иредпеааиет сечей статический мамеит площади, заключенной междУ Уровнем 9 и крае~ балки, то (1ОЛ8) АналОГичиО В Грани А~С,и,и, рзвнодействующзЯ нормальных нзпрйжений О (36.19) Величина 3, ф) бУдет, Очевидно, тзкОЙ же, кзк и длЯ перВОГО сече- ННЯ.
В грзйй л,щп~~пй действуют нормальные нзпряжеййя, поскольку при пОперечном изГибе Волокна давйт дрУГ нз дрУГз. Однако этими ИОРмальйыми йапРЯжейййми пРенебРегзютт как несУщественйыми ДЛЯ РЗСЧЕТЗ На ПРОЧНОСТЬ. КРОМЕ ТОГОт СОГЛЗСНО ЗЗКОНУ ПЗРНОСТИ Ка сзтельйых изпряжейий, здесь непременно Возникнут и напряжения Прйче~ ойй йзправлены так, как показано йа рис. 244„д. "Гак как размер Их грани п,п,и,е, элемента мал, можно считать, что т' рзвнОмерно распределены по этОЙ Грани и, следОВзтельно, дакйт усилие Виждепная формула впервые была получепа Д.
И. Журавским и нОсит его имя. Несмотря на тО что пОложейньге В Основу ее ВыВОда ГипОтезь1 справедливы тОлькО для уаких прямОугольных сечений ( при ~ .: 2), на практике ею мОжиО пользоватьсядля любых се- Ь чений, кроме тех мест В сечении„Где есть узкие прямОуГОльйики располОженные перпендикулярнО к (~ — полки двутавра, шВеллера ИТ. Д. Для проиавольного сечения (рис. 245) Величины, Входящие В Формулу (16.20), имеют следующие значения: Д = Д (х) — абсолютная ВЕЛИЧННа пОПЕРечнОИ сиЛЫ В том СечЕИИН, ГДЕ ВЫчИСляются каСВТельные напряжения;,7, — момент инерции ЭТОГО сечейия отйосйтельно его нейтральной линии; Ь = Ь (у) — ширина сечения на уровне, где определяют т; 5, (ф — абсолютная Величина статического момейта отйосйтельио йейтральйОЙ лиййй ТОЙ части площади Г" (у), которая ааключена между линией, где определяют т, и краем СЕЧЕНИЯ.
формула (16.20) дает, таким обрааом, только Величину т. Что касается напраВления т тО В имиветствии с исходнычи допущениями ОнО считается параллельным (~ и направленным В сторону-ето ДейСТВИ Я. Построим эпюру т для прямоугольного сечения (рис. 246). Прове дем линию ти, параллельн~ю нейтральной линии и удаленную от 349 нее на произвольное расстояние у, и найдем Величины т В точках этой /Ь линии.
Линия тп отсекает площадь Г (у) = О ~ — — у1. Статический момент этОЙ площади ~,®=~~~1 ~.,=ь~ — '" ,— а)~а+ —,' (+ — ~))= ЬЬ~ / 4де 1 (3О.И) Подставляя в формулу Журавского (Ю.20) найденное значение МР 8а (у), З ТЗКЖе Уа = 12, ПОЛуЧЗВМ 12 Переменная у ВхОдит ВО Второй степени, следовательно, энка 'Г будет параболической, В наиболее удаленных от нейтральной линии точках д = "~" — и т = О. Для тОчек нейтрзльнОЙ линии Ь 2 ф=ОИ О 3 ~ 3 (~ — — — — (10.23) ~~еей — 2 ЬЬ = 2 Р— ПО этнм данным и построена эпкфа т иа рис. 246. ф~ф ДЛЯ КРУГЛОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧСНИЯ (рис. 247) введенные Выше гипотезы о харис. 247 рзктере распределения касательных напря женин не Выполняются. Однако с достзточ- йоЙ степенью тОчйОстй моЖИО полагать, что Вертикзльну~о составляищую касательных напряжений, Возникающих В пОперечном сечении на уровне у От нсйтральнОЙ линии, можно Вычислить по фОрмуле Журавского.
Проводя соответствующие Вычисления Я, (д), для круг- ЛОГО СЕЧЕНИЯ ПОЛУЧИМ Щ ~ у Пример 88, Пощн)ить апкфь$ изменения пормальпш и касательных напряжений по амсоте поперечного сечения даутаероеой балки И~ 12, если а сечении действует изгибающий момент М = ЖЮ кгс ° и и поперечная сила Я = $ тс, по таблице сортамента (приложение 1) находим основные размеры профиля (рнс. 248), момент инерции площади поперечного сечения Хз = 350 см' и статический моьх нт площади полопппм этого сечения В = 33,7 сма.
Нормальные напряженйй и то~~ах поперечного сечеййй, йзходйщйхсй нз расстояний у от нейтральной линий (по линии тк), определяем по формуле ()ОЛО): Му о= ° 7х 20 000 ° 6 о „= кгс~смз = 342,8 кгс~смз. Эпюра нзпрЯжений о приведена нз рпс. 248 слева от прОфиля сечениЯ. Касательные напряжения в точках поперечного сечения на расстояний у от нейтральной липин определяем по формуле Журавского (10,20): 95~ (у) ,Пля постросййя зпюры касательных йзпряженйй пычйслйм т а несколькйх характерах точках: а) в крайних волокнах (по линии АВ); б) в месте сопряжения полки со стенкой (в точках 1 н 2), причем будем считать, что точки 1 и 2 расположены бесконечно близко к границе полки, йо лежат по разные сторонн от Этой границы (длЯ Яснйсти вто место иа рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
