Писаренко Г.С. Сопротивление материалов (1075902), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Ф ® ~~~.,фг Согласно общему плану (526), начнем Вывод с рассмотрения ста ти чес ко Й стор о н ы задачи. Проведем поперечное сечение ш — тп на Рис. 2М произвольном расстОяиии х От начала координат (рис. 235, а). 8 плоскости сечения (рис. 235, б) проведем координатные оси у и 8: Ось у сОВместим с силОВОЙ линией (линией пересечения силОВОЙ плоскОсти с плоскость$О сечения), а Ось 8 проведем на произвольной пок Вь, но перпенд улярно к у. О ь х напр перпендикулярно к плОскОсти сечения. Выделим В сечении злемент плОЩЗДИ Й~, координаты кОтОрого у и г.
3 обЩем случае на злемент мОГли бы дейсгвовать напряжения Ой т, 9днако при чистом изгибе все усилия и моменты„связанные с касательными напряженнями»вЂ” Ю ° Ю, и М Р вЂ” равны нулкэ. На основайии выражений (3.29)— (3.34) мОжнО принять» чтО касательных напряжений В сечении нет и на злемент ИГ будет действовать только усилие ОМР = дФ. Поэто- МОДЕЛЯХ, ПОЗВОЛЯЮЩИХ ЛЕГКО ПОЛУ» чигь значияяьные деформации, показывают, чтО если на поверхность мо- о линий (рис.236,а), то при чистом изгибе она деформируется (рис. 236, б) следуюЩНМ образом." а) продольные линии искривляются пО дуге ОкружнОсти; б) контуры поперечных сечений остаются плоскими; В) линии контуров сечений Всюду пересекаются с прОдольными ВолОкнами под прямым уГлом.
На основании этого можно предположить„что при чистом изгибе поперечные сечения балки Остаются плОскими и поворачиваются так, что остаются нормальными к изогнугой оси балки. Следователь но„при чистом НЗГйбе, как и при растяжении (сжатии) и кручении круглых стержней, будет справедлива Гипотеза плоских сечений.
Замеряя расстояния между аналогичными точками кОнтура кзких- либО Двух сечении, мОжнО Обнаружить, что при Деформаций эти расстояййя изменяются. Так, оказывается, что й, <'. й и й~.">»2 (рис. 236, а и б). Значит, верхние продольные Волокна балки укорачиваются, а нижние — удлинЯются. НО можно найти и такие Волок на, длина которых при изгибе остается неизменной (а»» = а).
Сово купйосгь волокой, не меняю~цих сйоей длийы нрй изгибе балки, на зывается йейщжиьиим сАО6м «й. с.,~. Волокна, принадлежащие нейтральйому слою, до деформаций ~е~~т В Одйой плоскостй, а В деформироВанном состОЯнйи Образуют некОторую цилнндрическую по" верхность. В обоих случаях каждое поперечное сечение пересекается с йейтральйым с~~е~ по прямой, которая называется ней»прпльйой ланаей (и. л.) сечения. При плоском изгибе нейтральный слой оказывается пЕрпЕндикулярным к силОВОЙ плОскости, а значит, нейтральная линия му йз всех формул (3.29) — (3.34) останутсй только три: »» ~ аде; м = 1 ии»Р: м, 1 а»»0Р.
(Р»» НО В ДаннОМ случае В сечениях балки Действует тОлькО ОДин изГН банмций мОмЕнт, так чтО У=О; М =О; М,=М. ($9.2) Из зависимостей (10.1) и (1О. 2) получаем 1аиГ = 0;- 1аыР -0; » а»»ЫГ и. (»»».3» »7 Р Р Переходя к Геометри че- й с к О Й с т О р О н е за,пачи~ рассмоч'- рим картину деформаций той же балки (рис. 236). Опытч, поставленные на ЭЛВСТИЧНЫХ (НВПРИМСР» РЕЗИНОВЫХ) П» 0 Иб дели нанести прямоугольную сетку перпендикулярна к силовой линии В сечении. Будем считать, что ось а (рис. 235, б) проведена В сечении 'Гак, что Она совпадает с нейтральной линией (ИО полОжение пОследней пО Высоте сечения пОка неиз- ВЕСТНО).
Выделим злемент двумя смежными поперечными сечениями Рп — ш и и, — и, ОтстОЯЩими ДруГ От ДруГЭ на расстоянии Их (рис. 237, й), и, приняв Во внимание Гипотезу плоских сечений, рассмотрим еГО Деформированное состояние (рис. 237, 6). Сечения и — и и п — а остаются пл~ски~и и поворачиваются на уГОл дГ1». Элемент й~6» ней- тральнОГО слоя преВращается В дуГу йод с радиусом р, а ВолОКНО йй, находящееся на рас стОЯнии Д От нейтральнОГО слОȄ— В кривОлинейноЕ ВОлокно йА с радиусом КРИВИЗНЫ Р + Д. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ УДЛИНЕНИЕ ЭТОГО ВолОкна ~А — й~ И И ь Л ~ Бо й~Ь, =(Р+Д)й~ Н йЬ = йх, поэтОму Ф' Ч» .
Ф+ИФ вЂ” ~Х Чтобы упростить зто д' ВЫРЭЖЕНИЕ, РЭССМОТРИМ ВОО локно йеЬ~», принадлежащее Фмс Ш нейтральному слою. ЕГО длина й~»Ь»» = йх. После дефОрмацни Оно превращается В дуГу ЙООЮ = рй»ф. НО ВОлОкна нейтральноГо слоя не изменяют своей длйны при деф:»рмэции, позтому дХ = ~~~~».
(10.5) Подставив Выражение (16.5) в Выражение (1О.4) и сократив на йр, ПОЛУЧИМ 8=— Р" (16.6) Следовательно, рассмотрение Геометрической стороны задачи показало„что Относительная продольная дефОрмацня пропОрциОиальна расстоянию Волокна от нейтральной оси. Чтобы записать закон 1 ука, Выражак»щий ф и 3 и ч е с к у ю С 'Г О р О И у аадаЧИ, НужНО ВЫЯСНИТЬ, В КаКОМ НанряжЕННОМ СОСтаяиии находится волокно ай. На торцовой поверхности Волокна (площадка дР на рис.
235„6), как уже было сказано„касательных напряжений нет. В силу закона парности нет их также и В сечениях„ параллельных оси балки. Что же касается нормальных напряжений, Выражающих Взаимодействие рассматриваемОГО ВолОкна с соседни" ми волокнами, то предполагается, что волокна не давят друг на друга„и значит, эти напрЯжения равны нулк», Таким Образом, волОкнО иЬ находится В линейном напряженном состоянии — испьпывает простое растяжение или сжатие. Поэтс»му для него закон Гука слеДует записать в виде Б (Ю.7) Переходя к с и н т ез у, исклк»чим В из формул (10.6) и (10.7). В результате будем иметь Наконец, подставив формулу (10.9) в выражение (10.6), найдем, ЭТО и есть искОмая формула, диОщая ВОзмОжиОсть Вычислять нОрмальные напряжения при чистом изгибе балки В лк»бой тОчке ее СЕЧЕНИЯ. Осталось только устанОвить„где в сечении располОжена Ось 8 — нейтральная линия сечения.
Чтобы Ответить на зтот вопрос, внесем значение о пз формулы (10.10) в первые два уравнения (10.3): На основании рамнства (10.11) заключаем, что ось г — нейтральная линия сечения — проходит через центр тяжести (ц. т.) по- перечно О сечения ° Силовая плоскость проходит через Ось балки, 3 значит, силОВая линия (Ось ф) прохОдит через центр тяжести сече" ния. Равенство (10,12) показывает, что оси у и г — главные центральные Оси сечения, Этим Определяется пОложение нейтральноЙ линии СЕЧЕНИЯ. Таким образом, если силовая линиЯ совпадает с ОДБОЙ из Главных центральных осей сечения, ТО изгиб будет плоским и нейтральная линия сечения сОВпздет с друГОЙ Главной цеитральнОЙ Осью* Ина" че ГОВОря, если силОВая плОскОсть совпадает с ОднОЙ из Главных и ® плоскостей стержня, то нейтральный СЛОЙ СОВпадает с другой главной плоскостью. Заметим, что часто индекс 8 В обозначении момента инерции опус- кают, пОМИЯ, ОДнзкО, чтО У Вычисляется ОтнОсительнО нейтрзльнОЙ ЛИНИИ СЕЧЕНИЯ.
Теперь проанализируем полученные результаты, формула (10.9) в проведенном выводе была вспомогательной, од- нако она имеет и большое самостоятельное значение. Ее можно трак- товать кзк закон Гукз при НЗГибе, поскОльку Она связыВзет дефор- $1 мацию кривизну нейтрального слоя — ~ с действующим В сечении е~ моментом. ПрОизведение И нОсит название жеОРиОсФи сечРнмя щРИ изгибе„кгс - см~. Из формулы (10.9) видно, что если балка изготов- лена из ОднороднОГО материала (Е = сопз1) и имеет пОстояннОе се- челне (У = сопзЦ, то при чистом изгибе (М =- сопз1) ось ее искрив- ляется по дуге окружности — =- сопз1, и, значит, р = сопз1 . Формула (10.10) показывает, что, какую бы форму и размеры ни имело сечение, напряжения В точках нейтрзльнОЙ линии равны нулю. Величина О линейнО Возрз(лает по мере Удаления От нейтрзль" нои линии.
При этОм напряжения Оказываются постОянными по ши- рине сечения (вдоль линии у =- сопз1). Следовательно, эпюра а для Л1сбых сечений, имеющих Горизонтальную Ось симметрии, Всегда буде~ иметь Вид, представленный из рис. 238. Все ~олокна, рзспо- ЛОженные Выше нейтрзльнОЙ линии, Окажутся сжатыми, 3 ниже ее— растянутыми. Если же изгибакЩий МОмент будет иметь противо- положный знак, то верхние Волокна будут растягиваться, а нижние— сжиматься, Наибольшей величины ~а ) напрйжений достиГакп в волокнах, наиболее удаленных О'Г нейтральной линии т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
