Писаренко Г.С. Сопротивление материалов (1075902), страница 36
Текст из файла (страница 36)
(9.32) Для Определения ОтнОсительнОГО уГла закручиВания прямоугольного сечения в формуле (9.29) принимают Х„= ~Уй'. (9.33) Коэффнпиенты и, Д и ~3, завися%Не От Отношения —, даны В табл. 14+ Ь 1ам же приведены Данные по кручению некОторых Других некруг" ЛЫХ СЕЧЕНИЙ. Запишем условиЯ ПРОчнОстн и жесткости для прямоугОльнОГО СЕЧЕНИЯ: При кручении стержней, нмиощих форму равнобедренной трапеции, приближенное значение наибольших касательных напряжений н угла закручивания можно получить, рассчитыВая стержень с сечением эквивалентного прямоугольника.
Последний строится следуюшим Образом (рис. 214): из центра тяжести С трапеции Опускают перпендикуляры Св и СО на боковые стороны и затем прово- дя7 Вертикали через точки В и В. Полученный прямоутольник айса и будет Тем эквивалентным сечением рзссмзтриваемоГО трапе- цендзльнОГО стержня» к которОму должны 6ыть применены ф)рмулы (9.28) — (9.33). При кручении стержней эллиптическОГО поперечноГО сечения максимальные кзсзтельные Напряжения воаннкзют в крайних точ" ках, лежащих на малых полуосях (рис. 215).
В атом случае лЬЧ1 Я~„=-— к ~6» Где Ь и й — соотВетстВенно рз~меры мзлоЙ и оольшоЙ осей аллипса. Нзиоольшие напряжения В наружных тОчкзх сечения на ббльшОЙ ПОЛУОСИ »»»ФКС С 'В Г Ю 3 — Ф Ь ,Ф 1де Л7 = —. Условный момент инерции 0 »»»»» при кручении для Эллипса Рмс. И4 Х„= (1Р + Ь~). (8.36) Я Значения ~Г„Н В„для некОторых некруГльп поперечних сечений приведены в таолЛ4.
Если скручивзется стержень сложнОГО неазмкнутоГО сечения, кОторОе мОжно разбить нз части с Уи Б Ф»»»» то для БеГО Х„=,УМ + Аа+ Х„З+ ° ° + ~ = Х ~ Ь (9.37) Где ~ = ~» 2» 3» " » и — номера простенших частей» нз которые рзЗбито сечение. Так как уГол Закручивания для всеГО сечения и всех еГО частен ОДИБ Н ТОТ ЖЕ: М„, М„Ч»1 »Ч»»» 1~~) Ф Ф Й'Ф бУ, бХ„, бХ„„ то крутящий момент распределяется между отдельнымн частями сечения пропорционально их жесткостям А,а А,а М 1=- М вЂ”; М а= М вЂ” ~ ° ° ° '* М~р~.= М р— Соответственно Баиоольшее касательное напряжение в каждой части (~) СЕЧЕНИЯ НзноольпкГО значения напряжение 'Ф дОсти1зет для 70ГО алемента 4. У КОТОРОГО Ма КСНМЗЛЬНО«' 1:гмякс В углах напряжения раины иулнь Посредине длинной стороны = Рг Мк Во Внутренних углах имжт нес- тО Высокая коицеитрацня напряжений.
достигакнцих предала гекучести материала. При наличии аакруглений радиуса г коаффицнеит концентрации яь=- йя ь йг,х= 2Щб, посредине короткой стороны М„„ тя = -а.— кт ам = 1,74 г — =ья «! Ь й Ысмянт сссрссняяяння нрн кручине к'„смь тоски с нянаснмяннн нммяяньяммк няпряжсииямн хгкр мянс =- и',„ Посредине длинных сторон агкр тмякс = к посредине коротких сторон наружных точках ььииях цсьтуосей М„ тмякс Ф„ 1 1,5 1',?5 2,О 3',0 4,0 8',0 1О,О 6,231 0,239 6,246 0,256 0,267 ойВ 0,367 О,'313 О'.ЗЗЗ 0„141 О,"196 0,244 0,229 6,249 0„263 0,281 Оу299 О,®)7 О',313 О',ЗЗЗ 1 6,859 6,795 0,753 О',745 О,'743 0,743 0,743 0,743 Пример 81.
Стальной стержень прямоутольной~ сечения передает крутящий момент М„= Ию кгс ° м, Найти рззмерм сечении стержни, если известно, что Допускаемое напряжение нз кручение И = 480 ктдсАд, а ОТИОшенне сторон — = й Ь 2,5. Из услОВНИ прочйхти Ь а, зизи соотношение сторон сечения — = 2,5 и беря из табл. 14 соответствующее значение ~ж = Оэ256, размеры сечения нзйДем из формулы (9.3Ц* Ю'„"= сйЬ~ =- 2,5 ° аЬз, =2,5 ° 3,38 ем = 8,45 см.
Прилеп 32, Найт~ нзи60лыпее касательное напряжение и утоп ззкручнззння для стзльното стержня длинОЙ б му ичийще~ О поперечное сечение пОкзззнное на рнс. 216, В. Стержень скручиззетси мочентзми М,с = б(КЮ ктс ° см, прилОженнмми к Обоим ето ко~щам. Для Вычисления напряжений н даформаций н стерж- не при кручении профиль Фм'О не06ходимо рзз6ить из 1~ ( отдельнме злемеиты (рис. 2(6, 6). Наибольшее напря- жение Вычисляют по формуле (9,28): 3' М Для части 1 сечении стержня В~ = 45 мм; Ь~ = 35 мм; — = (,285; Х 1 —— Ат А~ = фЬ,ЬЗ~.
В табл. 14 прн — '= $,$% находим, что а, = 0,221: Ц» = 0,172. Таза %~„~ =аАЬ~~= О,Ж( 4,5 ° 3,5э смз= (2,2 смз„ Для истй 2 сечения стержин Ья=8О мм; Ьа= 1О мм; — = — = 8. Ая 8О Ь, 10 А$4элс$мчймм Путем найдем, чтО В",,=а,Ь,Ьт~= О,ЗОУ ° 8 ° Р сма=2,5 сма; Х„а=~Щ~~=О,ЗО7 ° 8- Р см'=2„$ см~; кт -~„-- —— 1 см.
ят Длн части 8 сечения стержня Ь„= 95 мм; Ь,=2О мм; — = — =4,75. А, 95 Ьа 26 Поступая айалОтнчйО йредФнущему» йййнем~ чу В'„3 = сцйф~~ = О,288 ° 9,5 ° 2а сма = Ю,9 смэ; У„э= ЦЬЭЬ~ ~— — О„288 ° 9,5 ° 2" см4=21,9 см4 ,« "кз 2$,9 — — ем=2 см. В'„3 $О,9 'Ьййм Обрйййм, 1„., т + т, +У„а — 33„2+2„5+21,9 смч 57.4 см ° Нййбйлыйее Отнсяйейне — соотйетстйует части 1 сечеййя, йо~Фму нйиАи ~'к~ бйаыйее нйсйтея~йое йййрн~~еййе т бунет йосрелййе дайнймя ее сторон.
Нянином — — ем*-2~.2 а~: 57,6 1„фр„1 2,72 М„й 5ООО = — — = — — нтс/см' = ЙВ нтс~смй. 212 Утйн нйнручйййнйн стержнй ~икр~ 5ООО 5ОО ф — рйд = О„(642 ран. 61„8 ° 1 - 57„6 ПЗРФКОдя к ~эзссмОтрВиитО кручи$ия тОНИОстзнных сиржнФЙ, ззметим„чтО метОды их пзсчзтз ззВнсятОттОСО, Открьттмй илн ззмк- НУТЫЙ ПРОфНЛЬ ИМВЗТ ИХ ПОПВРВЧНОЗ СВЧСНИВ. Зннннйутьае прОфили. Рзссмзтрнизя кручениз знмкнутьтх ТОНИОСТЕННЬ$Х ПРОФИЛЕЙ фИС„Я7), 6УДЗМ СЧИТЗТЬ ТОЛЩИНУ СТЕНКИ СТЕДЖИЯ НЗСТОЛЬКО МЗЛОЙ, ЧТО КЗСЗТЮЛЬНЬВ НЗП~ЭЯЖЕНИЯ ПО НОЙ МОЖНО ПРИНЯТЬ ОДИНЗКОВЬ$МИ, РЗВНЫМИ НЗПРЯЖЗНИЯМ ПОСРВДИН6 ТОЛЩИНИ СТО КИ И НЗПРЗВЛВННЫМИ ПО КЗСЗТВЛЬНОН К СРОДНОЙ ЛИНИИ СТОИКИ тб =.ТД = сопа1.
(9.46) Момент силы 'Гооа» воспринимаемый элементом профиля длинОН ~Ь (рис. Я7), относительно произвольной точки О дМ, =ТОПЬ. Учитывая» ч*о Ыа пред- »»5 ставляет собой удвоенную тйй площадь элементарного тре К угольника (на рис. 217 за- Бп'рихован), т. е. 6 Г ф ГО8 = 2ЙЮ» н пОэтОму 4М., = 2Ийо, (9АЦ ИНТЕГРИРУЯ ПОСЛЕДНЕЕ ВЬ|- ражение пО Всему контуру с учетом условия (9.4О), пОлучим Величину крутящего момента, действующего В сечении" М„Г, = ЕЖЕ, (9.42) Где~э — площадь,окна Гываемая средней линиейтоикостенного сечения„ Из формулы (9.42) получим, что Формула (9.43) впервые получена Бредтом. Если толщина профиля по контуру неодинакова, то максимальнОе напряжение В тонкостенном профиле Определяется формулой ГДЕ О»»нн — МИНИмаЛЬНая ТОЛЩИна СТЕНКИ ПРОфнля.
Чтобы определить относительный угол закручивания тонкостен- НОГО СТЕРЖНЯ, Рассмотрим потенЦиальную энЕРГНЮ ДЕфОРмации, накопленную В элементарном Объеме тонкостенного стержня с размерами Иа„дх» 6. Учитывая, чтО при ки'чении имеет место чистый сдвиг, на основании формулы (8Л2) имеем Ю = — ЙЬПЬ. 26 Полную ЭнерГию деф:рмзпии ОднороднОГО стержня длинОЙ получим, прои н'пм'рироВЗВ последнее Выражение пО длнне 1 и по аамкнутомУ контУРу: У= ~ 'РЯбЬ=в Подстааляя ВьЦэзэкение Гь из формулы (9.42) В прзаую часть последней формулм, найдем ЦьЦ)ажая Зту же ВнерГИН) череа работу Внешнн"О скручннакхпеГО МОмента М~ = Мкр нз искОМОм уГле ззкручнаания т е, У=А= — ' у Ч, М„~Р 2 2 и прнранниная ПРЗВИЕ ЧзсТН ПОСЛЕДНИХ фОРмул, найдем чУО Относительнын уюл Закручиаания (9А6) Эту фОрмулу МОжнО предстанить В принятых Внше Обоаначениях ДЛЯ КРУЧЕНИЯ".
(~~ ~д: Мц 6~к ' Рассматрннзя, например, крученне тонкостенной трубы фис. 2Щ при о = сопз$ будем иметь А'. ~Ь 2яЦ ъ 1 ~ б ю По формулам (9.43) и (9.46) найдем М„ М вЂ” 9 жа ..е~ 2МЯ 2Я~Р66 Откръпъа профили. Определяя при кручении напряжения и деформации В тонкостеннмх стержнях ОткрытОРО профиля типа Г БВеллерз, двутзвра (рис. 22И нли утолкз, можно воспользоваться тео- риеБ расчета нз кручеиие стержней прямоуГОльнОГО сеченйя. В атом СЛУЧЗЕ НЕЗЗМКНУТЫЙ ПРОФИЛЬ РЗЗОИВЗЕМ НЗ ПРЯМОУГОЛЬНЬГЕ ЭЛЕМЕНТЫе толщина которых зиачительно меБьше их длины. Кзк видно из зиял.
И, нпя елкин поямоугольник елементои (при —, ) 1О) коеф. Ь ь фициенти и и р равны —. 1ОГдз длЯ состзвиОГО профилЯ Бз Ос 1 з' новзБии Выражений (9.33) и (9.37) У„= ц — К ь~ь,. (9.47) Здесь ВВеден коэффицнент Ф) учитьийкиций СХЕМЗТИЗЗЦИЮ РЕЗЛЬНОГО ПРОФИЛЯ» для уГОЛКОВОГО СЕЧЕНИЯ Т1 = 1е6О; 4Р з двуГзврового э т1 = 1,2О; з тавроВОГО з Г1 = 1,15; э швеллернОГО Ф т1 = 1,12. рмс* й1~ В тонкостенных Открытых профилях дли ну злемеитз ОоьГчно принято Обозначать че- РЕЗ $, 3 ТОЛЩИНУ СТЕНОК вЂ” ЧЕРЕЗ О. ТОГДЗе аа менЯЯ в формуле (9А7) й на з, а Ь на О, полу- ЧИМ вЂ” = ~~МФЩ.
П~Рйм6~ Ю Определим максимальное напри" жение и уГОл ззкручивзйия стержня длиной 9ОО мм (рнс. 22Ц с поперечным сечением в виде равиобокоГО уГолка 5О Х 5О Х б„который под- ЙЕРГЗЕ'ГСЯ ДЕЙСГЗИЮ СКРУЧНВЗЮЩЕГО МОМЕНТЗ МЯ и 6ОО КГс ' см. Модулв ЦЩЯГЛ мзЩ)Яйла сГерж ЯЯ б 3 ° ИФ ЯГОЙ 1„=т~ —,'~ Фа =1 ° — К5- 0,5 >+~4,5 ° 0,5 И см~ 0,4 см, ~~ 1 Марбиакс 500 . 0,5 — кгсусмз = 625 кгс/см~.
З УГОЛ закручивания стержня определится пО формуле (9,3Щ'« — = 0,140625 рад = 8 3'. Прп КГр Я. Определить напряжение и пОГонный угол зз кручиизния стальной трубы, разрезанной Вдоль Образукзкей ис. 2Й~. Наружный дизчЩ» трубыдц= 90 мм, внутренний = 85 мм- Чрубз находится пОД дейстнием скручиззюпВГОмо мента М = кгс ° см. Модуль сдвига материала 6= 8~~ М 10ь кгс~смз. Срзцннть полученные напряжения н уГОл закручивания с Рме.
7ЙЙ напряжением и углом закручивания сплошнОЙ трубы. Касательные напряжения 6 разрезанной трубе Определим по Формуле ФА9): М„б Тр ~Х ,7„= — збз, 3 Здесь 3 рззяернутнЯ длина средней лннии сечениЯ трубы. ТОГДЗ 1, 1 Х = — ФР = — и ° 8 75* О 25з смф = О ИЗ см4' К К„Й 500 ° 0,25 Ър — — -- — * КГС~СМ~ ~ 876 кгс/СМ®„ 0.343 Напряжение В сплошной трубе Определится по формуле (9.Щ: Мар 500 ° 4 — кгс~сма = 16„63 кгс~см, Ф Погонный угол ззкручиазния разрезанной трубы ~~кр 500 Вр ~ ~у — Иу 3 рад/см = 0,00437 рад/см. Погонный угол ззкручннания неразрезанной трубы найдем из формулы (9А6): МщР 500 - я ° 8,75 9 = — р = ' з рад~ем = 0,00000475 рафсм, 4 ° 8 ° 10з — ° 8,75з ° 0,25 Ч"зкнм Образом, В сплошной трубе при кручении нзпрЯжения меньше В 52,5 раза. 3 уГОл ззкручипзния — В 920 рзз, чем В трубе, разрезанной ВДОль Образую шей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
