Писаренко Г.С. Сопротивление материалов (1075902), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Йифференциальное Уравнение изогнутой оси для балки постони НОГО поперечнОГО сечения на упруГОМ Основании В сОответствии с выражением (1О.49) можио„учигь1вэя принять1е направления про- п1бОВ ц~ и ннтенсиВности на1Р«зки Д, 3эппсэть так: = — 1д (Х) -- 1зц1 (ХК. (11.12) Ограничимся рассмОтрением участка балки (рис. 311), нэ котором ОтсутстВует Внеп1няи Распределенная ИЭГрузка. Дифференциаль ное Уравнение для зтого случая упро1цается. Пол«чим — — И (Х), (11. И) Почестим начало координа Г В краЙИ1О1О леву1О точку рассматри" вэемого участка, н~правив Ось 1ю Вниз, и Обозначим пр~гиб, угол поворота.
Нзгиба1О1ций момент и поперечну1О сил«' В зтом сечении соогветственнО через ю~), Й1), М(~ и Ц. Все уги Величины явля1отся нэчз чьнь1ми параметрами. Приведем уравнение (11.13) к виду, удобномудля интегрировэ- ЕХ ния, ОбОЗначив — — —. Отс1одэ а 4 ' ~/ (11.14) т. е. характеристика Е иЗмеряется В единицах длииы (см)«в уравнении (11.13) независиму1О перемени«1О х заменим беЗразмернОЙ абсциссой Е (11.
Щ Тогда уравнение (11.13) с учетом вь1ражени (11.14) и (11.15) при- ВОДИТСЯ К ВИДУ У© — +4и~ = О (11.16) Нэпип1ем ойций и~те~ра~ зтого уравнения В Т~КОЙ известной форме: зз = Ае~соз$ + Ве 31П$+ Се соз~+ Ва "з1п,ф. ($1.17) Последовательно продифференцпруем Это Вь1ражение по $, приняв ВО Внимание дифференциальнь1е Зависимости между эу, 9, (~, М и соотьоп1ение (11.15): в' = 8Е = Ае (соз $ — з(п $) + Ве (соз $ + з1п Ц— — Се "(соз$+ з1п Ц+ Ое (соз$ — зщ $); (11.18) в" — —. — 2(Ае и!п$ — Ве азу — Се Ып$+ М (ж) 1.» -В Ы + Ве " сое $); (31.19) — — 2 (Ае (соз $ + е(п Я вЂ”,Ве (сов $ — 81п Ц— Ю(х) ~' $ — Се ~(сои| — В1п5) — Ве ~(соэ$+з1ПЩ. (11,26) Вьфазим произиольньм постоянные А, В, С и О ч6~м'3 ннчаль ньи паРамет~ж ~ж~, 9е, Я, и М„, положив Для этого В УРВВнениях (11.17) — (11.Щ $ = О." ~е,=А+ С; Щ = А + 8 — С+ В; (11.23) ,РМ„= ( — 28 -1- 2В) И; Р9 = (2А — 2Н вЂ” 2С вЂ” 2В) ЕХ Решая систему (11.21) чепарех линейних алгебраических урав- НВН ИЙ, ПОЛУЧНВМ а~» Щ, 1.%„ 2 4 8Ы Щ, РМ, 1Щ, 4 4ЕУ 8Е1 (31 22) И~„М~О 2 4 8ЕУ Щ, 1РМ„,Щ, 4 ' 4Е,~ 8Ы Подстааии эти Вырнкения произнольних пОстоянных В формуля (11.17) — (11.2О) для г„ 8, М и (~, найдем: а (х) =- а~,Д~~ Я) +,Щ3~» ($) — — ' У'з ф — —.,' 3~» ($); (1$.23) ~ (х) =Ю'~6) Е~ 1'26) р~' 1"э(Р ~ 1"'»6) (11-24) М(х) = М У~ Щ+ Щ3~ ($) -1-аЕ»сарУ ($) +иКР90$~»Щ; (1$.25) (~(х) = ЯД;($) + аХа4;$) + аР8,У',($) — — М,У»(1).
(1$.26) Здесь через У~, Уу, У~, У» обозначены функции А. Н. КрилОВа ~4 К,(9 = сЬ$соз5 = — (е4 -~- е=-) созе; У'~ф = — (сЬ$ ыП$+ ЗЬ$ ссбЦ = = — ((е' + Е ~) з1П $+ (е~ — е ~) аю Ц", Заметим» чтО г)рн диффе1)еицировании функций Крылова пОлучаи)тся следук) цие простые» но Очень Важные для практическоГО применения завискмосги: .(Х) = — 41~,; И' = У,; (»~ И'; = Ет, И )'е, (»!.26) с Перейдем н выводу Общин уравнений дли ю, 9, М н Ц НРН Дейст-м ! Внв ПРОНВВОЛВНЫД РВСПРЕДЕЛЕННЫЛ или сосредоточенных Внипних нагрузок.
Пусть на Отрезке х балки :~ Ц4 (рис. 312) действуют Вертикальная сосредоточенная сила Р, В ТОЧке с О»Р»1У/ абсциссоЙ Ьд» сосредоточенный момент М, в точке с абсциссой а, и раВномернО распределенная нагрузка ннтенсиВности д иа участке От Х = С ДО Х = д. Для вывода воспользуемся принципом независимости действия сил» а также будем считать пе1)емещения малыми. Сначала до- ЩСТИМ» ЧТО ВСЕ ВНЕП)ННЕ НВГР~зки на участке х раВНЫ НУл)О, ТОГда общий интеграл, или прогиб ю) (х), будет функцией начальных параметров и абсциссы х по формуле (11.~)3). Пусть теперь все начальные параметры равны нули) но действу к)т сосредоточенные нагрузки Р, и М,. Вдумываясь в геометрический и статический смысл факторов Р, и М, (рис. 312)„легко видим, что нх можно принять за новые статические начальные параиетры и вновь определитыа (х) по формуле (11.23), подставив М,=М,; (~,= — Р,.
При атом за начало координат следует приия'и не точку () а соот- ВетстВеннО расположени)О каждоГО силОВОГО фактора точки с абсциссами а, и Ь,. Поэточу аргументами функций Крылова У(, У~, $ З, )'тй будуТ раССТОННия ОТ раССМатринаЕМОГО СЕЧЕНПя дО НОВЫХ силОВых фактОРОВ Рд и М„т. е. ОтРезки (х — йд)» (х — Ьд) и т. п. Если сил и моментов несколько, то вводят их суммы. Прн распределенных на(рузках суммы превращак)тся В интеГралы От элементарных силОВых факторов ф)1» а при нескольких участках распределенных иаГрузОк — В суммы интеГралОВ. ОГраничимся рассмотрением случая дейстВия раВИОмернО распределенной нагрузки. Тогда В результате интеГрировання с уче'Гом зависимостей (31.28) получим простую формулу Ф' й — ч1зч — — 4 1' 6 — ч) ~- ф. — Р'з6 — 4 — У' 6 — Ф- (11.29) Гзким Образом при ОДновременнОм Действии Всех перечислен них силовых факторов и начальных параметров полный интеграл и (А) мОжно представить так: в (х) = щд; ( — *) + е,ы; ~ — ) + (м,пу, Я+ + а,~ч;ф+ь ~ч;му,~*,") — пч',иу,~ ',')+ ++х 4'~ '-" )-'('-"'6 Обобщив аналогичным образом выражения для 8 (х), М (х) и © (х)~ получим следу1ощие универсальные уравнения миодз на" чальных парзметрОВ для балки на упругОм ОсиОВзнии: е~з1-е.к,ф)+ ' 1и,и,~ —;)+ц,сч;~ —;) + + ~ъ,~, ' — *, ) + ~ ч~ иу, ~ *," ) — ~ ~ч~ н,г, ~ *,' )— — ь ~з,~к,(*-," ) — к,(*,"'))); (и.з1> м(х1 = и,1', ~ — ) + е,и", ~ — "!+аио,)~,~ — *) + +ипез;ф+~м,з-,~*, ) — ~~',ру,~*,')+ + ~'~ з, (г,~ *," ) — г, ~ *,"' )); (изз1 ч (х) =.
я,Г, ~ — ) + агав,у, (-~~) + а/.'е,Г, ( " )— +с ~~„"з,(г,~' „") — г,~ — *," )) ~11.зз1 ВЕСТНЫ НЗЧЗЛЬНЫЕ ПЗРЗМЕТРЫ И1ез Е„ае И Мо. В КЗЖДОМ КОНКРЕТНОМ случае начальные параметры можно определить из концевых услОвнй балки. Эти условиЯ Длн различных случаев закреплеьиЯ балки представлены в форме таблицы (табл. 17), при составлении которой предполагалось, что начало координат совмещено с левым концом балки. ЩФВОГО КОПЦЯ били В таблице череа М (1) н (~ (~) обозначены внешние сосредото.
ченные момент и сила на праВОЙ опоре. Если на сВободных кОнцах балки Внешние силы и момен'1ы отсутств~~от, то необходнмО поло- ЖИТЬ Иаложенные ранее расчеты на прочность и жесткость прн иагибе, основанные на гипотеае ~л~ских се~~~ий и аакопе Гука с одинакоВым модулем упругости на растяжение и сжатие, не исчерпывают всех случаев, с которыми приходится встречаться конструкторам. Известно, чтО закон Гука справедлив, пока напряжения не превыша1от Определенной величины, называемой пределом пропорциональности, а в некоторых случаях расчеты на прочность приходится проводить при более Высоких напряжениях„с учетом пластических деформаций.
Кроме того„и в пределах упругости зависимость между напряжениями и деформациями у ряда материалОВ нелинейна, т. е, не подчиняется закону Гуеа» К таким материалам Относятся чугун, камень, бетон, некоторые пластмассы. У некотОрых материа- лОВ, подчинякзщихся закону Гука, МОдули упругости при растяжении и сжатии различны. ПОэтому В пОследнее Время расчеты на прочность Во Всех укзззййых случайх прйобретзк)т Все больп)ее значение. Расчеты нз прОчность с учетом пластических деформаций будут рассмотрены В Гл. 18.
Здесь ОГраничимся лип)ь Определением нормальных напрЯжений при изгибе балки прямОУГОльиОГО попереч" ного сечения„материал которой не следует закону Гука на протяжении Всего процесса нагружения„причем зааисимости между напряжениями и деформациями различны при растяжении и сжатии. ® ф Рассмотрим также случай изГиба при рззличнь$х модулях УпруГОсти для растяжения и сжатия.
Опыты покззыаз)от» чтО и В указанных случаях Гипотеза плоских сечений спрааедлпВз. Пусть балка подйергается чистому изгибу. Если предположить, как н прежДе чтО Волокна при изГибе не ДВВЯт ДруГ на ДруГз» то мз~)иал балкй будет йзходйться В состоянии простого рзстяжепйя и сжатия. ДИЗГРзммы растяжения и сжатия, записанные для материалов, ие следующих закону Гука (чугуноа, камней и др.)„ 6 показыйзют» что напряжения растут медленнее деформаций и ОтстзВание рос' х -/, х та нзпрЯжений От рОстз деформаций знзчительнее при растяжении, чем при сжатии (рнс. 313).
В этом случае нейтраль- 1 — ная линия поперечного сечения не про У ® ходит через еГО цент1) тяжести, а смещзРнс. 3И ется В сторону центра криаизны Оси бал кн. На Осйоаанйй гипотезы плоских сечейий й указзйпого характера диаГраммы растяжения (сжатия) материала можно изобразить эпюры отъосительных удлинений и нормальных напряжений (рис. 314) В поперечйом сечейии балкй.
Еслй Обозначить радиус крйаизйы нейтральйото слоя Чере~ р» то Отйосительное удлиненйе Волокйа, нзходящеГОся нз рассгОЯнии у От нейтрзльнОГО слоя (рис* 315)» Выразится изаестной ззйисимОстью а= (11.34) Для Определения Относительных удлинений ВОЯОкОн балки а )атем нормальных напряжений необходимо УстаноВить положение нейтральнОЙ Оси поперечноГО сбчения» радиус криаизны нейчраль ИОГО слОя н Выразить аналитически или Графически сйязь между дефОрмациями и иапряжениями, Проаедем какое-либо поперечное сечение балки, перпендикулярное к ее оси. При изГибе балки парами сил Внутренние силы упруГости В поперечном сечении должны привестись также к паре, следовательно, проекция нормальнмх усилий на ось х (рис. 315) раВ- на нул~о» а момент нх Отн~си~ельно нейтральной осн,т раВен иаГН- бак»»цему моменту, 1аким Образом, получим следукицих дна ураанення статики: ,'~', Ж = ~ МГ =- О„ ~~М,= ОУдР— М =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
