Писаренко Г.С. Сопротивление материалов (1075902), страница 53
Текст из файла (страница 53)
(11.35) Так как дР = 61у» то соотаетстненно Ь Ь Ор»,»У — О~щи = О» (11.36) 0 Ь» Ь Ь ~ о уеду+ ~о„,у~у = М. ' р!.37) ДЛЯ МНОГИХ МВТЕриалоВ ЗВВИСНМОСТЬ Между напряжениями и деформациями при растяжении и сжатии может быть с достаточной точностью предстаалена степенным законом ер = дрор» асж = ~с»»»Оеж» (11.38) Где Ар» Йсж» л и п$ — Велнчини, хаРактеРНЯУщщие фиаические саОЙстпа материала.
Учитывая формулу (11.34) для относительной деформации, нз аанисимостей (11.38) Выраанм нормальные напряжения следукхцим ОбразОм: а ВыпОлниВ ннтеГрирОВание, будем иметь ! 1 И ПОСЛЕ ИНТЕГРИРОВЗНИЯ ПОЛУЧИМ 1 ) , ", ь~ —,"' )" ь',+,, ь~~~" Ь'= и. ~и.а) Имея в виду, что Ь~ + Ь, = Ь, нз уравнений (11АО) и (11.41) н~йде~ р„Ь, и Ь„а затем по фор улзм (11.39) — напряжения ~ И Ощ~. Можно решить и Обратнук) задачу — Определпть наибОльший ДОпускземыи изгибзкмЦий момент по ДопускземОму напряжении) нз рзстяжеиие 10 „1 или сжатие (О~ 1. Для решения этОЙ задачи за" пишем по формулам (11.39) напряжения растяжения н сжатия в крайних волокнах~ балки„находящихся на рзсстОЯниях Ь~ и Ьа ОТ НЕЙТРЗЛЬНОГО СЛОЯ: (11.42) ~„р ~~„„р~ На основании этого выражения (11.46) и (11.41) предс~ авим в сле- ДУИ)ЩЕМ ВИДЕ: ЬО,Ь1 + ()а Ь~~ = М. (11.44) Кроме того, из формул (11А2) следует, что 6",Ар Ьз сала (11.45) 11рисоедииив к последним трем уравнениям равенство Ь~ + Ь, = = Ь„можно Вычислить по допускаемому напряженнк) (а) ) или (о,1 положение нейтральной Оси и допускаемое зна~ение нзгибзк)гцего ми4ентз.
Г1О предельным значениям нзпрЯжений может быть Определен предельный нзгибзкнций момент, ~еличина которого соот- РСТСТВУЕТ ДОСТИЖЕНИИ) ПРСДЕЛЬНОГО ЗНЗЧЕния ОДНим из напРЯженнй в Наиболее удаленных от нейтральной оси волокнах в области растяжения или сжатия. Подобно тому„кзк это сделанО длЯ балки прямоуГольнОГО попереч ного сечения, можно решить задачу и для других пРостых сечений, например состоя1цнх из прямоугольников (таких, как двутавр„ ТЗВР И Т. П.). Рассмотрим еще Определение нОрмальных изпряженнй при изГибе В случае коГда материал следует закону 1 укз~ но модули упругости при растяжении и сжатии различны. Пусть Š— модуль упруГОсти матерна ча прн растяженииг Есж при сжатии Для кцх материалов обычно Е, Е . Зпюра нормальных напряжений В сечении балки для этоГО случаЯ изображена на рис.
316. Для ВолокОн, расположениих на расстОянии у От нейтральпОГО слоя, В Области растяжениЯ и сжатиЯ О =- — Е и оса= — Есж. И ф (11Л6) Из равенства (11.36) следует, что 17~ А~ ~ аиду - ~о,.4~. (11.47) Подставив вместо ар и а, их Выражения (11.46), будем иметь Ф, Е ~д~у, (11А8) Р; Р (докуда пОсле интеГрирования и сОкращения на — получим 2Р Еф~~ =- Е, й~~, (11.49) б,„-~,„~",„ Принимай Во внимание, что 63 + Ь, = = й, найдем БУФЕР +) Е ф~ Щ а | ц„(11.511) Риа. ИФ Таким обрааом, положение нейтральной оси определено. Теперь найдем напряжения в крайних Волокнах балки в области растяжения о„и В области сжатия О, Из эпюры напряжений следует~ чтО суммарная растяГивающая сила Йр В зоне растя жсння и сжимающая сила Л~~~ В 3Оне сжатия поперечнОГО сечения определяются следующими Выражениями: ей~ ~ Р~ъ (11.51) 2 2 действуют эти силм на расстоянии -Ь~ и — Ь, от ней'грального 3 3 слОИ.
Так как усилия В поперечнОМ сечении привОдятся к паре сил, то й„= й, . Плечо пары равно — й. Изгибающий момент 2 может быть записан как МОмент пары силУ равный растйгиваюЩей М= Ԅ— 6; М=йе — Ь. Учитывай выражения (11.51) и (11.5О), будем иметь о Л А орИР )' Ееж М= ~ФЕр + $'~~ Пользуясь этими формулами, можем по изгибающему мОменту найтй наибольшие растигйвакх~~ й сжимаклцие йапряжеййн, если известнО ОтнОШенне мОдулЕЙ упругости. Представим формулы (11.53) в несколько ином вйде.
В соответствии с Выраженйнмй (11.50) ймеем Ь / ер а р е Ь~ Р Внеси это отношение в формулы (11.53), получим (1 1.64) (11Л4) В таком виде формулы удобны для Вычисления наприжеййй в случае, когда В крайних Волокйах балки измеря~отся относйтельные деформации при помо1цй кнзометров. ПОд сАбжним сопроииВАежйем подразумевакл' различные комби- наБИИ ранее рассмотренных простых напряженных состОяний брусь" ев (растяжения, сжатия„ сдвига, кручения и изгиба). В бщем слу н ружения бруса (рис. 317) В речных сечениях могут действовать шесть компонентов внутренних снл — Ж, М„, М„М,Р, связанные с четырьмя простыми деформациями стержня — растяжением (сжатием)» сдВНГОМ,, кручением и изгибом.
Чего-либо принципиально нового задачи сложного сопротивле- ИНЯ при ДОстаточнО жестких брусьях ие ВносЯт, так как совместное действие указанных усилий приводит к напряженному состояни1О, которое можно получить суммированием напряженных Сос~оян~й, Вызва~ных каждым Видом простого нагружения В Отдельности. Умея определять нормальные и касательные напряжения В различных тОчках стержня, э также главные напряжения, можно по той или иной теории прочности проВерить прочность даннОГО стерж- НЯ. Аналогично могут быть изучень1 деформация или перемещение бруса путем соответству$ощего слОжения перемещений, получаемых при Отдельных более простых нэгружениях.
Принцип суммирования действия сил применим ВО Всех случаях, коГДЭ деформации малы и подчиня~отся закону 1ука. На практике одновременное действие всех силовых факторов встречается редко. Чаще приходится иметь дело с различнь1ми комбинациями их, котОрые и рассмотрим ниже. Ф п. сложный и косой изда Сломай пзапб ~ы~ывае~~я ~и~ам~ или ~ом~~~а~~, расположенными в разных плоскостях, проходящих через ось балки (рис.
316, й). 1'акой из1иб называется *анже неплоским п~~пбом, так кэк изоГнутаЯ Ось балки ,,» не является плоской кривой. Если Все нагрузки, Вызы- ВанзЩие изГиб, Действуи)т В И од~ой ~ло~кос~и, не совпэда- ~! - ~ ющей ни с одной из главных плоскс»стей» то изГиб иазывается косым (рис. 319, а), Как В случае неплоского, так и в случае косого изгиба, Ф,' '~ ~», и нэибОлее Удобно приводить 6г Р~ сложный изгиб к Двум плос- Д ф ~»4 ким. Для Этого наГрузки, дей- Х СТВУЮЩИЕ В ПРОИЗВОЛЬНЫХ ~мс. э~В ПРОДОЛЬНЫХ СИЛОВЫХ ПЛОСКОС- тях» нужно разложить на составляющие, расположенные в главных плоскостях ху и хг, где Оси у и $ — главные Оси инерции сечениЯ (рис.
318 и 319), Таким образом, схемы нагружения брусьев прн сложном и косом изгибе моГут быть представлены так, как показано на рис. 318, б и 319, 6 СООТВЕТСТВЕННО. Прн слОжном изГибе В поперечных сечениях бруса Вобп',ем случае Возникают четыре Внутренних силОвых фактора: (~~~, ~„М, и М„. Проводя расчет на проч~м~д~~ ность при сложном иагибе, Обыч- ИО пренебрегакзт Влиянием касар ТЕЛЬНЫХ НЭПРЯЖЕНий, .ВЫЧИСЛИМ НЭПРЯЖЕНИЯ В НЕ- ~ Р х котОрОй тОчке ф„ а) произволь- НОГО пОперечноГО сечения, рас- Й' ПОЛОЖИВ ЕЕ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ в первом квадранте (рис. ЗЮ, а). % Р~ Направления ГЛЭВ~ЫХ Осей по- каааны на рис~ нке.
Иагиба~он~ие % мОме~~Ы будем ~ч~тать полоЖН- 4' тельными, если Они Выаыва$от В Уйа. 319 точках первоГО кВадранта растя Гивакицие напряжения. Исходя из принципа суперпоаинии, наидем напряжения В ука" миной точке, рассматриваЯ два плоских изгиба. Пусть вначале действует ТОпько момент М~. 3ОГда нормальное напряжение В точке И~у 1~ Если действует ТОЛ~КО момент М„, то на~рЯЖение ,Х„ Формула (12.1) позВОляет Определи'Гь нормальные напряжения В любой точке поперечного сечения прн сложном или как говорят еще, пространственном, изгибе.
Изгибающие моменты и координаты точек, В котО1»ых определяют напряжения, подставляют В зту фОрмулу со сВОими знаками. В случае косого изгиба (рис. 321) изгибающие моменты М, и М~ связаны зависимосгями (12.2) М, =Мз1па, где М вЂ” изгибающий момент В данном сечении в силовой плоскости р — р (рис. 321). 'Гогда, используя формулу (12 1), будем иметь Му се~ а Мг мп»х Π— +» ИЛИ (12.3) Уравнение нейтральной Л~н~~ при ~ложном изгибе в Любом поперечном сечении получим из формулы (12.1), положив о = О и ОбОзначив координаты точек нейтральнОЙ линии через ~щ и м~ (Рис. 320, б).
Тогда ($2А) Это уравнен~е представляет Собой уравнение ПРЯМОЙ„проходящей через начало координат (центр тяжести О сечения). Положение ией- тральноЙ линии характеризуется ее угловЫМ козффициентом 1а0 = — = — — —- у», Му ($2.5) а, М, У~ В Обще~ случае сложного (пространственного) и~гиба углы наклОна нейтральных линий ВдОль Оси бруса ие ОстаютсЯ постОЯниыми, а изменяются в соответствии с изменением соотношении Величин изгибающих моментОВ Я и Яу» как это следует из ВЩ)ажения (12.5).
Если В некотором сеченин бруса» $де действуют изГибающие моменты М, и М, (Рис, 322, й)» нужно найти пОлОжение нейтральной линии, то удобно для наглядност~ сначала показа~~ положение силовой линии р — р. Наиболее просто Выполнить зто, построив векторную Диаграмму Моментов (Рис. 322, б), котопая ~оказЫвает нап1)авление Результирующего Векто$и-момента м и, следовательно» ОП1)еделяет уГОл я наклОна еГО п»чоскости дейсГВия (силОГОЙ ли НИИ р — р): Анализируя Это выражение, находим, что в Отличие от плоского (прямОГО) изгиба при слОжнОм изГибе нейтрэльиэя и силОвэя линии вобщем случае (когда Х, =~ь У„) не будут взаимно перпендикулярны.
При косом изгибе в сосугветствии с формулами (12.2) отношение изгибающих моментов М~ и М, постоянно по всей длине бруса < ы =- теии). Поатону на выражения (!2.7т следует, ето н угол р Л4у наклона ней'цРальиой линии также постоянен. Значит, поперечные сечения бж,са, оставаясь плоскими, поворачиваются Вокруг параллельных друг другу нейтральных линий, кэк и при простом пло- ~КОМ изгибе.
Искривление Оси бруса при зтом происхоДит В ОДБОЙ плоскости и — и, нормальной к направлении) нейтральной линии (Рис ЗЛ). Эта плоскость называется ууликишью пзеибй. ПрОВерку прочности следует проводить в тех сечениях, где изГибэкущие моменты М„н М, одновременно велики. Таких сечений в Общем случае сложного изГибэ может быть нескОлько. ЕСЛИ ОПЭСНОЕ СЕЧЕНИЕ ИЗВЕСТНОт ТО В НЕМ НУЖНО ОТЫСКЭТЬ ОПЭСНЫЕ ТОЧКИ. НЭГЛядНОЕ ПрЕДСТЭВЛЕНИЕ О раСПрЕдЕЛЕНИИ НЭПряЖЕНИЙ О (Мт) и п(М,.) по поперечному сечению бруса дают соогветствующне %поры, представленные на рис.
322, 6. Для построения эпюры суммарных напряжений о„необходимо провести базис эпюрь~ перпендикулярно к нейтральной линии. Тэк как из Формулы (12Л) следует, по зпюра о линейна, то для ее ~Остроеиия кроме известной нулевой точки ДостатОчнО Вычислить кэиую-либо ОДну Ординату~ например для точки А. Очевидно наиболее напряженными точками сечения будут бачки, наиболее удаленные от нейтральной линии — точки А и 8 (рис. 322, 6). В данном случае в точке А действует наиболыпее растягивающее, а В точке 8 — цаиболыиее сжимающее напряжение. Таким 66$~азом, услОВНЯ прочиЩти длй Опасйик точек ймекл' зйд М,,у М„в„ о., = ал = — + — < 1ю~4; (~2 Ч Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
