Писаренко Г.С. Сопротивление материалов (1075902), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Используя формуль» (16.63) для а, и а»» и аависимость (16.64), ПОЛУЧИМ (1,31 «4,12 — 2,67)РР~+ (1„31 ° 4,12 — 2,67) Р~+ 4,12~Р, = (о)~, откуда находим, что Р, = 1145 кгс»см'. Допускаемое внутреннее давление Р, = 4,12Р, = 4,12 ° 1145 кгс/сьР = 472О кгс/см1. 4. С т и л ь н а и т р у б а с внутренним диаметром 2Г1=4 см и наружньци .'Ь'~ = 8 см нагрсвается такр что температура Внутренней поверхности Т, = 3ОО'С, а наружной Т, = 2(Ю'С. Определим температурные напряжения в трубе, считая, что по толщине стенки температура изменнетси пО линейному закону При расчете примем Е = 2 ° 1Ое кгс/см; р = О,3; а = 125 ° 10 .
Превышение темпсратуры внутренней пов~иности над иаружиОЙ 7" = Т1 — Т~ = ° = 1ОО'С. По Формуле (16.50) нзхОДим Окружное и ОсевОе напряжения у внутренней поверхности трубит-- 2 ° 1О» ° 125 - 1О ~ ° 1ОО 1 2(4» — 2») 3 (1 — 0,3) (4 — 2) ~ 4» — 2» = — 1990 кгс~см~. По Формуле (16.51) находим напряжения ае и о, у наружной поВерхности: 2 (гз~ — ф ЗГЗ— Фя Вращающиеся диски широко применяют В паровых и газовых турбинах, В компрессорах, Вентиляторах и машинах химической промышленности. Диски подвергаются нагрузкам, Вызывающим их рзстйжение и из~иб, а также ДеЙ~ТВ~Ю высоких те~перзтур.
СущестВенное значение имеют центрОбежные силы. Обычно нзГрузки и температурное поле симметричны относительно оси диска, вследствие чеГО и напряжения являкися функциями тОлькО рзсстОяния От Оси Вращения. Ограничимся рассмотрением диска постойнной толн~ины, нагруженного силами, параллельными его срединной плоскости и рзвно- мернО распределенными по еГО толщине. Рассмотрим также БВГрев диска при линейном законе изменения температуры вдоль радиуса. Будем считать, чтО диск тОнкий и Вследствие зтого напряжения по еГО толщине Бе изменяются» 3 В направлениях, параллельных оси, вообше отсутствукл (а, = О). В такой постановке задача об определении напряжений в дйске относится к так называемой плоской задаче теории упругоеги, а именно — к задаче о плоском напряжеи- НОМ СОСТОЯНИИ.
Рассмотрим вращающийся диск поеп~янной ТОЛЩины Й, имекядий центральное отверстие (рис. 457, а). Дополнительно к обозначениям рисунка примем следунмцие: — — удельная масса материала диска; З' ю — углОВзя скорОсть ВраБФБИ я Как и В рассмОтреннОм уже случае расчета толстОстенногО ци линдра, Вырежем мысленно элемент диска двумя меридиональными плоскостями~ угол между кОторыми В срединноЙ плоскости равен й8, и дВу~я цилиндрическ~~и поверкностями радиусов г и г + Ф (рис.
458). Кроме сил„приложеннык по граням элемента (рис. 458, б), на элемент действу«от силы инерцин В Виде центробежной силы, распределенной по Всему объему и приВОДЯЩейся к равнодействующей Йц юг = —" ЬЙВ дгаЖ 6 Эта сила Та~же Лежит в средин- ИОЙ плоскости диска и напраВлена 6 ВДОЛЬ РаДИУСа ОТ ОСИ ВРВЩЕНИЯ, Приравнивая нулю сумму проекций всех сил на Ось х„совпа дающую с биссектрисоЙ угла «Ж, получаем уравнение равновесия в СЛЕДуГОЩЕМ ВИДЕ: — +а — ое+ т юг~= О, (16.6$) Это уравнение огличается от уравнения равновесия (16Л), полученного при расчете толстостенного цилиндра, только слагаемым еъ«а, обусловленным действием центробежных сил.
ГеометричеИ ские и физические уравнения не отличак~тся от уравнений (16,2)— ($6.4), полученных для холстостенного цилиндра. Дифференциальное уравнение для радиальных перемещений точек диска В этОм случае примет Вид й~ г «««г~ Е а " + ' " — ~ " а'~. «~~.68) Это дифференциальное уравнение отличается От уравнения (16.5) лишь правои частью. Записав еГО В Виде Ф ~ $ и(игф1 $ — ~Р т а 16 и проинтеГрирОвав последОВательнО дВа раза, найдем, что и = А1Г+ — Ь Га. (16.68) Внеся Вто решение в выражения (16.4) для напряжений, ~о~у~и~ О =А+ —,~ — — — 637~ 8 3+и т (16.89) га 8 я аа А —,, — в~~®, ~+Ф т (16.7О) а ГМЕ А= А„а В= — — В.
ŠŠ— 1+Н Постоянные А и В (а следовательно, А, и В,) определянлся из Граничных усЛОВ~Й. Чаше всеГО иавестны радиальные напряжения на наружном и Внутреннем контурах диска. ЧОГда при Г = У~ О„,= = и,„, а при à — — га О, = о,, В соответствии с выражением(16.кэти услОвия диот два уравнения: а+Р 7 а а. О, =А+ — — — — 6)У1 О „= А+ — — —."- — 6)'У.а В 3+и 'д а а решая которые Относительно А и В, найдем: А — а, — ~а,, + — — в~~я+ф ($6.У$) 'аа '1 3+В У а Ф~ ~Й 3+и т аале В О~" а О~ Я РКа (16 72) Если иа наружном и внутреннем контурах диска напряжения Отсутству~от, т.
е. О,, = 0 и О,, = О, то А 3+8 т а( а+ а). ( 16.73) В = — — — "Ь Г~Гаа (16.74) Подставляя последние значения А и В в формулы (16.69) и (16.УО), ПОлучаем ПОлаГЙИ для краткости — й, — р; з+" р и~ е; '+рр и, (~е.7т) формулы (16.75) и (16.76) можно написать так: с,-р~1+й'(1 — ~) — р'); (1ВЛЗ) ав = с 1 + И 1 + — ~ — тр~ (16.79) Напряжение О положительнО и, езк нетрудно убедиться, дОстн" Гает наибОльшеи Величиньт при р = 3» эт = —.
1ОГДЙ (о,,)макс = С(1 ~) ° (16.66) Напряжение ац при всех значениях р также положительно и эвэь- ТИГзет наибольшей величины у внутреннеГо края диска (при р = «т): (ое) = с ~2 -1- (1 — «и) У1 (16.61) Сравнивая формулы (16.6О) и (16.И), убеждаемся, что (ов~, всеГДЗ больше (о,.),~„. Позтому П1эи проверке п1эочности Диска по зиертетической теории формоизменения услОвие прочнОсти должнО быль записано в Виде о~рщГ~ (юг)мур~ с ~2 + (1 «ээ) ь 1 ~~ (О(» (16э62) В случае х1эупких материалов проверку следует проводить по теории Мора„которая прн о, = а, = О приводит к той же формуле (16.82). л.арзктер расп1эеДеления нзпрйжеиий о,, и Ов ВДОль радиуса Дис- ка с отверстием при Й = О,2 и р, = О,З показан на рис.
457„6. Формулы для напряжений в сплошно~ диске (без Отверстия) мОж- но получить из формул (16.69) и (16.7О), если принять во внимание, чтО нз Оси Диска (п1эи «' = О) напряжения ДОлжны иметь конечные значения. Для выполнения ЭТОГО условия постояннукэ 8 слеДует положить равной нулиэ, и тогда формулы примут следукхщий вид: О = А — — +" — ЬЭ'Р'ю з+Р 7 (16.83) ОВ=А — +~~ ~ Е~» ° 8 и (16.$4) Постояннукэ А найдем из Граничных услОВНЙ на изружнОм кОн- туре (при Г = «э). Если диск подвертзется действикэ только инер- циОннь|х сил собственнОЙ массы, вызванных ето Вращением, з Внеш- няЯ НЗГРУзка нз нзРУжнОм КОИТУРе ОтсУтствУет„т, е.
Ор = О, 'ГО сотласно формуле (16.83), Подставляя это значение А В формулй(16.83) и (16.84), имеем О' = с (1 — Р )" ($6.86» ае = с(1 — гпр'). ($8.87) Обз напряжения положительнц при Всех значениЯх р и увеличиваются по мере приблнжениЯ к Оси Диска. Нз Оси Диска~ при р = 0 (О~)мэка = (ОВ'маке = С вЂ” '"' — ' Га ~"З (16.88) По найденным напряжениям легко определить перемещения и де- фОРМЗЦИИ В ДИСКЕ. Наиболыпий интерес представляет радиальное перемещение и равное ему увеличение радиуса.
СО~ласно вмраженик~ (16.3), И =ЕВР; (16.89) Так кзк а = — (О — ргг,). (16.90) Для определения перемещения иа наружном контуре и равного ему увеличения радиуса о формулу (16.9О) нужно подставить г ОВ = по, и О; = О~ ° В счучае неравномерного нагрева диска к напряжен~я~, вызванимм центробежными силами егО собственнОЙ массы и контуриь$ми нзгруакзми„прибавляются температурнме напряжения. Определим Отдельно 1пературн напр и . Ход решения атОЙ задачи аналогичен хОду тОлькО что рзссмотреннои. Уравнение равновесия получим из уравнения (16.65), положив в = О.
Онобудет таким же, как В случае расчета толстостенного цилиндра (формула (16.11: у'-у — + О. Ое — О* ($6.91) Отиосительньж деформации с учетом температурного расширения ОПРЕДЕЛЯЮТСЯ СЛЕД$ЧОЩИМИ ВЫРажениями." 1 а, = — (О; — 1~~;~) + с~7.„ Обозначим Т® = Т~ — Т» (см. рнс. 457, а). При линейном изменении температуры Вдоль радиуса диска T = Т"' †" й послел,- Ф'»1»'~ НИЕ ВЫРЗЖЕНИЯ ПРИНИМЗНИ ВИД о, =, — + р, — — (1+ р,) иТ" " „'(16.95) я Г»» И»» Ф' К~ ав =, ~ — + 1»,— — (1 — р,) иТ~ ' 1. (16.96) З »'а»' 3 Модуль упрусости й ковффйпйент Пуассойз полз»'зем постойййымй, не зависящими от температуры и равными их значениям при сред" ней температуре Диска.
Подставлий формулы (16.96) и (16.96) В уравнение равновесий (16.91), получаемтследунмцее дифференциальное уравнение длЯ оп- ределения перемещений В темпе1»зтурнОЙ зэдаче; ЗаПИСав УРаВНЕНИЕ В ВИДŠ— — — к7" и Г 1 Ф(»»»")» 1+р, (16.98) Мг ~ »' й' ~ »' — » И ПРОИНТЕСРИРОВЗВ ~.О ПОСЛЕДОВЗТЕЛЬИО ДВЗЖДЫ, ПОЛУЧИМ РЕ~НЕНИЕ для перемещения: с- — ~с,+ — ~»; »»»»,. Е ! Ф7т„1 я 1-р, ~ »»»»», 1+ф~ Постоннные С й В мобил' быть Определены из Граничных условий: прн у' Р~ напряжение о» О при ~' Рз напряжение ор 0 Если Вращающийся диск Бм'ревается неравномерно, то напряжений От центробежных сил и температурные нзпрйженйЯ следует суммировать» В случае лйнейно3"0 йзмеиения тймперзтуры Вдоль рлдцусз, сложна правые части ныраженнй (16.69) н (16.
«(В), а также выражений (16.70) н (16.101), будем иметь О =А* — — — 6) гав 3+«в 7 7м 8,д 3 (гз — Ф,« гак, (1 6. «02) сге = «( — — еРга — — аЕг, (16. И«3) 8 я 3 где К = А + С, Х, = В +  — новые постоянные, наг«орые ТЛКЖЕ ОНРЕДЕЛН«ОТСН НЗ Г«ЪЛНИв«НЫХ УСЛОВНН. дркмер 78. Найдем напряжения ао вращающемся и неравномерно нагретом диске постоЯнной толщины с цен'зральным Отверстием* Наружный диаметр дисКа КЗ 500 Мма ДНЗМЕТр Отвсрстия 4В = 100 Мма ТОЛЩИНЗ ДИСКЗ Ь 10 ММ И ЧИС" ла оборотов и "= 3000 обЛчнн. На единину Длины наружногО контура Диска прн атом числе оборотов действуквт центробежные силы обода и лопаток р = 100 кгс/см, внутренний контур диска считать свободным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
