Кинасошвили Р.С. 1960 Сопротивление (1075901), страница 26
Текст из файла (страница 26)
471 статические мОменты плоских ФиГуР 166 Если сложная фигура может быть разбита на простые фигуры, плошади и центры тяжести которых легко определяются, то статический момент всей фигуры относительно какой-либо оси может быть найден как сумма статических моментов отдельных ее частей относителюю той же оси: Вм ~1л + 322 + ~за+ ' ' ' + ~вл где о' — статический момент всей фигуры, а 51, 51„, Ввж — статические моменты отдельных частей фигуры.
Если обозначить площади отдельных частей сложной фигуры через у-„В2, Р„..., Р„, а расстояния их ценгров тажести от оси х чеРезу„у,, У„..., Уи, то выРахгение (134) можно переписать в слелуюлщем виде: (~>+~2+~2+ +~в)Ус ~1У1+~2У1 +~ЗУВ+ ' ' ' 1 ~вУс о>к>да р.юстоюше центра тяжести всей фигуры от осн х буде г: + " ' "' " '-'. (135) В> + Г~+ Гх + ... + Вч Аналогично этому расстояние центра тяжести фигуры от оси у может быть выражено так: — 'гл1+ " "+~2 '+ '" +Пи ' (136 В>+~'2+~З+ "+В Пример 45. Определить координаты центра тяжести треугольника с основанием ! и высотой Л (рис. Нй).
Вешании Опустив нз вершины В треугольника АВС перпендикуляр на основание АС, разоб.ьем треугольник на два прямоугольных треугольника, положеаие центров тяжести которых известно. Обозначим основание АО левого треугольника через а и основание !>С правого треугольника через Ь. Пентры тяжести 01 и Оа треугольников АОВ н ВОС иахо- ГЬ> лятся, как известно, на одной трети высоты 1 — 1 от нх оснований, '(з! следовательно, ордината центра тяжести О всего треуголы>нка АВС также будет лежать на одной трети высо>ы о> основания, т. е. л 3' 166 статические моменты, центРы тяжести [гл.
чн Лалее, центр тяжести О! левого треугольника находится на расстоянии — от вертикального катета ВО, поэтому расстояние его до оси а 3 2 ординат Ау будет равно — ж 3 В правом треугольнике центр тяжести От находитси иа расстоянии †, от катета ВО, следовательно, расстояние его до оси Ау Ь 3 будет равно (а+ — ). у Аа Ч Ю Рнс.
85. Статические моменты двух прямоугольных треугольников относительно оси Ау будут: треугольника АОВ: ад 2 атд 3. 2 3 3 треугольника ВОС: И !' Ь! ЬЬ(За+Ь) Расстояние центра тя!кести всего треугольника АВС до оси Ау согласно формуле (136) будет равно: аЪ И (За+ Ь) В!я+ 5гя 3 + б 2ат+ ЗаЬ+ Ьт лс — В 3! 2 Это выражение принимает легко запоминаемый вид, если его несколько преобразоват!с 2ат+ Зоб+ Ьт (а" + 2аЬ+ Ьт) + а(а+ Ь) "се†3! 3! \ так как а+ Ь = (, то (+а = — ° 3 167 э 481 МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ПЛОСКИХ ФИГУР 5 48. Моменты инерции плоских фигур Осевым (внваториальнмм) моментом инерции плоского сечения относительно какой-либо оси (рис. 86), лежащей в плоскости сечения, называется сумма произведений элементарных площадок нз квадраты расстояний их до этой оси: у (137) Нетрудно видеть, что сумма осевых моментов инерции плоского сечения х относительно двух перпендккулярных Рис. 86.
осей равна полярному моменту инерции относительно полюса, представляющего точку пересечения этих осей. Действительно, соединив с(г с началом координат, по теореме Пифагора имеем: рв = х'+у'-; следовательно, у ~ ргс(г — ~ (ха+уз)с(р ~ хас(р+ ~ уэйр Р д Р г или (138) уу+у =ур.
Формула (138) справедлива для любых двух взаимно перпендикулярных осей. Следовательно, при всевозможных поворотах осей относительно начала ноординат сумма осевых моментов инерции остается величиной постоянной и равной полярному моменту инерции. Осевые моменты инерции, как видно из формулы (137),— велсчины положительные и не могут быть равны нулю; изнар.ются они единицами длины в четвертой степени (см4). 7(внтробвжным момента,ч инерции плоского сечения называется сумма произведений элементарных площадок на их координаты (т.
е. на расстоянпя до обеих координатных 168 статические моменты, центвы тяжести 1гл. чп осей), распространенная на всю площадь сечения: (139) Центробежный момент инерции имеет размерность см', но в отличие от осевого и полярного моментов инерции он может бьжь величиной положительной, отрицательной и равной нулю. Знак центробежного момента зависит от знаков слагаемых ху с)Г. В дальнейшем будут встречаться фигуры, имеющие только простую геометрическую форму. При определении моментов инерции таких фигур пользуются обычно методом интегрирования.
Если форма фигуры сложна и не поддается разбивке на простые фигуры, то моменты инерции таких фигур определяют графическими методами или применяют особые приборы. 5 49. Формулы перехода для моментов инерции при параллельном переносе оси Оси, проходящие через центр тяжести фигуры, называют центральными осями, а момент инерции фигуры, взятый относительно централь- Г суГ ной оси, — ценльральным мод ментом инерции. Положим, что для какой-либо фигуры Уг сг (рис.
87) ось х — централь- ная ось, относительно которой 7 А момен~ инерции l нам извес- тен, и требуется определить Рис. 87. момент инерции фигуры,/, относительно другой оси х„ параллельной центральной и отстоящей от нее на расстоянии а. Момент инерции е' и искомый у, на основании общего определения выражаются следующим образом: /л=- ) уес)Г; з = ~ ут1сЧ'. 9 491 вовмвлы пвгвходь для момвнтов инвгцин 16) Из рис.
87 видно, что расстояния всех элементарных площадок йр от новой оси х, больше на постоянную величину а, т. е. уг =у+а Подставляя это значение у, в выражение для 7, получим: - =11у+ )'""= Ьуз""+" Ь""+".1'" Первый интеграл этого выражения есть центральный мои"чг инерции l .
Второй интеграл равен нулю, так как он представляет статический момент площади фигуры относительно оси х, проходящей через центр тяжести фигуры. Третий интеграл равен произведению агР. Следовательно, (140) / =/х+агг. Эта формула, имеющая большое практическое применение, читается так: моменль инерции фигуры относительно какой-либо оси равен моменту инерции относительно оси, ей параллельной и проходящей через центр лгяжести, плюс произведение площади фигуры на квадрат расстояния между осями. Из формулы (140) видно, что из всех моментов инерции относительно параллельных осей наименьший момент Судет относительно оси, проходящей через центр тяжести фигуры, т.
е. центральный момент инерции. Формула (140) позволяет определять центральный момент инерции, если известен момент инерции относительно какой-нибудь другой оси; ее можно переписать в следующем виде: у =./„,— агр. Выведем таким же образом формулу для центробежного момента инерции при переходе к параллельным осям кооодинат.
Пусть центробежный момент инерции какой-либо фигуры относительно ее центральных осей х и у Срис. 88) известен. Тоебуется определить центробежный момент инерции этой фзгуры относительно других осей х, и у„ параллельных центральным. 170 статические моменты, ивмтвы тяжести [гл. тй Обозначим расстояние между нараллельными осями, как показано на рис.
88, соответственно через а и Ь. Рнс. 88. Известный центробежный момент инерции относительно центральных осей будет: l „= ~ хус(Г. Искомый центробежный момент инерции относительно осей х, и у, будет: У..л, = ~ х, у, с(Г. Ь Новые координаты элементарных площадок выражаются через старые координаты формулами (рис. 88): х,=х+Ь, у,=у+а.
Подставив эти значения х,, у, в выражение для ./„.ю. получим: (т,р,= ~ (х+Ь)(у+а)а'Г= = ~ хуйГ+Ь [ уг(Г+а~ хг(Г+аЬ ~ г(Г. Первый интеграл равен у.,„второй и третий равны нулю, так как опи представ.чяют собой статическпе моменты отно- й бб) моменты инвеции нвкотовых пвосгых енггг 171 сительно осей, проходящих через центр тяжести фигуры. Поэтому окончательно получим: Уе,я, = 6ы+аЬР (141) Этот результат сформулируем так: центробежный момент инерцаа относительно произвольных осей, параллельных центральным, равен центробежному моменту инерции относительно нентральных осей плюс площадь фигуры„ умноженная на координаты ее центра тяжести относительно произвольных осей. ф бб.
Моменты инерции некоторых простых фигур В этом параграфе выводятсв выражения осевых моментов инерции простых геометрических фигур, часто встречающихся в практике расчетов. Знание моментов инерции простых фигур поможет определять моменты инерции и сложных фигур, так как моменты инерции этих последних вычи- аг сляются как сумма моментов инерции вб простых фигур, на которые онн разби- Л ваются.
г Прямоугольник. Найдем осевой момент инерции прямоугольника с основа- н нием Ь и высотой й относительно его Ж х, основания (рис. 89). ь Разобьем площадь прямоугольника на Рис. 89. элементарные площадки йр с основанием Ь и высотой бу,; одна из таких площадок показана на рисунке в виде ззштрнхованной полоски Г=Ьбу,. Подставляя это выражение плошади элементарной полоски в общее выражение момента инерции, получим: чь ь ь з = / угйр=3 у Ьау = Ь вЂ”,— У1 1 Пределы интеграла О и Ь указывают на то, что интегрирование распространяетса на всю пло ьадь прямоугольника, начиная от площадки, для которой у,=О, и кончая пло- 172 СТАТИЧЕСКИЕ МОМЕНТЫ, ЦЕНТРЫ ТЯН<ЕСТИ [ГЛ.
НП шапкой, для которой у, = И. Подставив пределы, окончательно найлем: ,/, = —. ьиз 3 (142) Мол<ент инерции прямоугольника относительно вертикальной осн у, напишется по аналогии: иьт ,/ь, — — —,—. 3 Вычислим теперь момент инерции прямоугольника относительно его центральной горизонтальной оси, применив формулу (140): ~е — е, 12) — 3 — ° ( 3) / и <я ьит ия ьит 1 12' Момент инерции прямоугольника относительно центральной вертикальной оси будет: иьз ./ = —, У 12 Квадрат со сторона<1 а. Подставив в формулы (142) и (143) Ь= И =а, получим: а< ./е, = ./д ——- (! 44) — (145) /7арпллелограл<л<(рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
