Кинасошвили Р.С. 1960 Сопротивление (1075901), страница 27
Текст из файла (страница 27)
90). Осе- вые моменты инерции параллело- У грамма относительно центральной Рнс. 90. оси х н относительно основании опре- деляются по формулам (143) и (142), выведенным для прямоугольника. Это следует из того, что параллелограмм может быть образован из прямоугольника путем перемещения параллельно основанию элементарных площадок, имеющих бесконечно малую высоту.
Момент инерции фигуры не изменяется от передвин<ения ее частей параллельно той оси, относительно которой определялся этот момент, так как от такого передвижения не изменяются ни элементарные площадки </Г, ни их расстояния от оси. Заметит<, что момент инерции параллелограмма относи- тельно оси у ни в коем случае нельзя вычислять по фор- 50) моменты иневции нвкотогых пеостых еиггв 173 муле, выведенной для прямоугольника, так как в этом случае элементарные площадки сдвинуты ие параллелыю оси у, а перпендикулярно к ней. Т;еугзлвмик. Определим осевой момент инерции треугольника с основанием Ь и высотой И относительно основания н центральной осн х, параллельной основанию (рис. 91). Разобьем треугольник на бесконечно малые полоски линиями, параллельными основанию, так же как это делалось и при вычислении моменга инерции прямоугольника. Одна нз таких полосок показана иа рисунке штриховкой.
Плошадь э ой полоски, отстоящей на расстоянии у от основания треугольг) ника, будег равна: г(Г = х г(у. Е 'И Длина полоски х определяется вз 'х ' подобия треугольников АВС и 7)ВЕ: -'А И вЂ” у х=Ь вЂ” — —, И Ь У х) 2/4 с хг гожему т=Ь вЂ” ",- — ' (у. Рис. 91. (147) Момент инерции треугольннкз относительно основания будет: И в ь И вЂ” у ~~з Ь( !' 0 о о Произведя интегрирование, получим: ~ уз в Ь уч ~и ЬИ ЬИЗ Ыгз Зм " 4~в 3 0'омент пнеоцин относительно центральной оси х, парал.,льпой основащпо, определим по формуле (140): ./и = у, — а'Р.
Подставляя в эту формулу найденное значение l о пло- ЬИ щздь тре)тольника —; — и расстояние от центральной осн 2 тре)тольника до основания Я , получим: Ы' )Г(еЫ и' 19 (5/ 9 зо ' 174 статические моменты, цеитеы тяжести 1гл. чп Круг. Все центральные моменты инерции круга (рис. 92, а) вследствие симметрии фигуры одинаковы, а потому 2 у +.гк В й 48 было доказано, что сумма осевых моментов инерции фигуры относительно двух перпендикулярных осей равна л Ряс.
92. полярному моменту инерции относительно точки пересечения этих осей, следовательно, Подставив значение полярного момента инерции круга, найденное в 9 40, получим: тФ У =У = — 0,05г(г. в 54 (148) Круговое кольцо. Осевой момент инерции кругового кольца (рис. 92, б) определим как разность моментов инерции большого круга с диаметром й и малого с диаметром ~г: г* Ук 84 б 94 Ф~ — а") 0,05 (0~ — г(!).
(149) При решении практических задач часто бывает удобнее пользоваться формулой, в которую входят не О и г(, а А! $51) опвиделенив моментов инатции аиста 175 и отношение — =а, т. е. 17 4, = ув — — 64 (1 — а') 0,05О'(1 — а"). Если кольцо тонкостенно (см. 6 40), то ~Ют У =У = — 3 0,Юзе. ж в и (150) (150') ф 51. Определение моментов инерции фигур, составленных из простейших фигур В настоящем параграфе мы рассмотрии несколько примеров определения моментов инерции площадей, составленных из простейших фигур, на основании формул, выведенных в предыдущих параграфах. инерции сечения, показанного Я7 х — 3*7Я=ч Рис.
93. Рис. 94. Решение. Момент инерции фигуры определим как разность моментов инерция прямоугольника вд и круга с диаметром Ф (с=4 см). На основании формул (143) и (148) будем иметь: у — Пт=, — —, 8а=1440 — 203=1237 емт. Ьаз я 10 12з 12 64 12 64 Пример 47. Определить центральные осевые моиенты инерции швеллера (рис. 94). Размеры на чертеже показаны в миллиметрах. Решение.
Разобьем сечение на три прямоугольника, как показано ка чертеже. Центр тяжести швеллера находится на оси симметрии хх. Для определения расстояния центра тяжести от оси ут Пример 46. Определить момент иа рис. 93, относительно оси хх. Размеры даны в миллиметрах, ~ — ур= 176 статические моменты, центРы тяжести (гл. чп применим формулу (136), определив предварительно статические момен~ы трех йрямоугольников относительно оси у, и площадь всего сечения. Статический момент вертикального прямоугольника 5 = 1О 0,6 ° О,З = 1,8 сж'. Статический момент одного горизонтального прямоугольника 8 = (5 — 0,6) 0,9 —,— '+0,6) = 4,4 0,9 2,8 = 11,1 сжг.
а !5 — 06 ш''''12 Площадь сечения всего швеллера г" = 1О 0,6 + 2 (5 — 0,6) 0,9 = 6 + 7,92 = 13,92 см'". Расстояние центра тяжести швеллера от оси ут 5, +2ог 1,8+2 11,1 х — е' к' —, 1,72 сж. Определим теперь центральные моменты инерции„ воспользовавшись разбивкой швеллера на трв прямоугольника, сделанной выше. Моменты инерции вертикального прямоугольника относительно центральных осей будут соответственно равны; 06 10ч = 50 ежа, 12 +1О 0,6~1,72 — —,' ~ =0,18+12,1 12,3 сжг. 10.06т l Обтг 12 ' х' 27' Моменты инерции горизонтального прямоугольника (5 — 0,6) 0,9т, Г /1О 0,9г" У = ' ' +(5 — 0,6) 0,9~'+ гХ вЂ” — — 'гт~ 12 ' ' ь 'х2 2/ = 0,267+ 82 82,3 смй 09(5 — 06)г гб — Об = 6,38+ 1,2 = 7,58 сжй Моменты инерции всего сечения пгвеллера относительно центральных осей будут: Ух — — У + 2У .
= 50+ 2 ° 82,3 = 214,6 ежа, У„= У, + 2У, = 12,3 -)- 2 7,6 = 27,5 сжд Момент инерции сечения швеллера относительно оси хк можно было определить и проще, рассматривая сечение швеллера как разность между прямоугольником, имеющим основание 5 сж и вы- 9 52! еовмтлы пееехода для моментов инееции 177 соту 10 см, н прямоугольником с основанием, равным (5 — 0,6) см, и высотой (1Π— 2 0,9) см: 1Оч (5 — О 6) (1Π— 2 ° 0,9) — 416 — 202 = 214 смд 12 12 Пример 48.
Определить момент инерции площади поперечного сечения относительно осн хх профиля, составленного нз вертикаль- ной стенки, четырех равнобокнх уголков Лй 5 с толщиной стенок 6 мм и двух горизонтальных листов (рис. 95), Размеры на чертеже показаны в милли- )ет() Г метрах. Решение, Момент инерции верти кального листа 11.
30" У,' =.— = 2250 смк н 12 Момент инерции горизонтального листа ! у"= 13,',,' +13 1(15+,~) = =- 1,ОЗ + 3120 = 3121 смн Рнс. 95. Из таблиц нормального сортамента для равнобоких уголков находим площадь сечения, момент инерции относительно горизонтальной осн, проходящей через центр тяжести уголка, н расстояние центра тяжести до основания уголка: Р= 5,69 см"ч У= 13,1 смй у =1,46 см. Л1омепт инерции уголка относительно осн хх будет равен: ш l = з'+ Ра = 13,1+ 5,691 — — 1,46) = 1056 слгд 'т 2 Момент инерции всего сечения будет: У = / +2/ +41 =2250+2 3121+4 1056=-13716 смй ф 52.
Формулы перехода для моментов инерции при повороте осей Пусть для какой-либо фигуры известны моменты инерции з, /в и зм„ относительно ноординатных осей х и у (рис. 96). Требуется определить те же моменты инерции относительно других осей х, и у,, повернутых относительно осей х и у на некоторый угол а, т. е.,/.е lш и,/.ве Выделим нз сечения какую-нибудь элементарную площадку ИР вокруг точки А с координатами (х; у) относительно 12 Звк.
1З42, Р. С. Кааасошаяея 178 статические моменты, цвнтеы тяжести [гл. чп прежней систеиы координат: х=ОВ; у=АВ. Координаты той же площадки относительно новой системы координат будут: х,=ОС н у,=АС. Выразим новые координаты х, и у, через старые х и у и угол поворота а. Проводя вспомогательные линии СО и ВЕ Х Рнс. 96. параллельно оси Оу, и ВО параллельно оси Ох„ получим: ОС = ОЕ+ ЕС = ОЕ+ ЙЭ, АС = АΠ— СО = А — ВЕ. Подставляя в эти выражения значения входящих величин ОС=х,; ОЕ=ОВсоза=хсозя; БЗ=АВгйпа=уа1па, АС=у,; АО=АВсоза=усово; ВЕ=ОВгйпи=ха!па, получим: хг= х соя о+я з!по, уг = у созе — х51п и.
Согласно определению искомые моменты инерции относительно новых осей будут: ,/ = ~ у";г1Г; У = ~ х,-'ДЕ н У, = ~ х,У,г7Г. й 52) вовмялы пвввходл для момвнтов иневнии 179 Подставим в эти выражения значения х, и у,: ./., = ~ (у соз а — х з!п а)' с/г" = Р =созаа ~ узаг +з!пза ) х'йà — 2гйпасоза ~ хус/гч = я и и =./,созза+./яз!пел — У „з!п2а. (151) Аналогично получим выражение момента инерции и отно« сительно другой оси: ,/,= ) (хсозо+уз(па)'г/Е= =созза ~ хзИГ+з!пзв ~уз~/г. +2з!пасоза ~ хууг" = н и =./„созеа+,/ з!пап+./щз!п2я. (152) Складывая и вычитая выражения (151) и (152), получим: .7х,.+/ж —— ./ (з!п и+ созза)+/я(з!п'а +спятя), /л, †./ж =./л(созе а — з!пз а) —./я (соз' а — з)п' а) — 2/, з!п 2а; так как ейпза+совая= 1, созе а — з(п' а = соз 2я, то l„, +./и — — /х+,/я, (153) ./,, —./ж = (/„—./„) соз 2м — 2,/, з!и 2я.
(154) Равенство (153) говорит о свойстве суммы моментов инер. ции относительно двух перпендикулярных осей, выведенном раньше, в ф 48, другим путем. Формулы (153) и (154) удобны для определения моментов инерции,/ и,/, . Теперь определим величину центробежного момента инерции совершенно так, как это было сделано для осевых 12' 180 стлтичееские мОменты, центРы тяжести [Гл. чп (15!) (152) Эти формулы являются основыми для расчетов, связанных с определением моментов инерции относительно любых осей.
5 53. Понятие о главных осях инерции и определение их положения Из формул (151), (152) и (155) видно, что моменты ИНЕрцИИ 7 Р ум И )л,„, ЗаВИСят От уГЛа а. С ИЗМЕНепнея угла поворота осей а будут изменяться и величины моментов инерции. Покажем прежде всего, что прн повороте осей координат на 90' знак центробежного момента изменяется на обратный. Действительно, пусть, например, координатные оси х и у для некоторой фигуры (рис. 97) повернулись против часовой стрелки вокруг начала координат на 90' н заняли положение х' и у'. Новые координаты элементарной площадки г(гт будут выражаться через старые следующим образом: х'=+у, У' = — Х. моментов инерции: ,7„.„= ~ х,у,г(Р= ~ (хсоза+уз!Па)(усова — хз!Па)г!Г= Р Р =-с05" й ~ хУ1гп+5!пйс05й ~ Утг(Е— Р Р 51Пйсозй ~ х йп 51п й ~ хут(1 Р Р = сйп й сов а( ~ уз 1(т-' — ) х и1Р [+(созта — 5!и'а) ~ ху г(Р'= и / я Уа — 7л .
— 51п 2й+.I,,з с05 й. (155) Выпишем полученные формулы переходз для моменгоз инерции при повороте осей на угол а: l,, = l со51 а+,/л 5!Пз й †./,, 5!и 2й, ,/ю =.)ас05 й+-.(т 5!и и+У а 5!и 2й, Га уз ' 5!П2й+У со52а. 2 (155) 9 531 ПОНЯТИЕ О ГЛАВНЫХ ОСЯХ ИНЕРЦИИ 181 1.1ентробежный момент инерции относительно новых осей х' н у' будет: Уж,= ~х'у 7Р= — ~хуаР= — /.в. Это можно было доказать также, подставив в формулу (155) змее~о угла и угол 1и+90*). Величина центробежного момента инерции непрерывно изменяется с изменением угла поворота координатных осей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
