Кинасошвили Р.С. 1960 Сопротивление (1075901), страница 28
Текст из файла (страница 28)
При повороте осей на 90' ве- еД личина центробежного момента меняет знак; следовательно, Р при переходе от одного знака ', гуу к протигоположному должно 1 быть н такое положение осей, для которого она будет равна х' . У нулю. Оси, относительно которых еу д центробежный момент инерцлн равен нулю, называются главными осями инерции. Если Ряс. 97. начало координат совпадает с центром тяжесзи фигуры, то соответствующие главные оси называются главныли центральныли осями инерции. Если фигура имеет ось симметрии, то эта ось всегда будет одной из главных осей. действительно, пусть ось у будет осью симметрии сечения, изображенного на рис.
98. Возьмем какую-либо элементарную площадку е1Г с координатами х = а, у = Ь. Иентробежный момент этой элементарной площадки будет равен: е19 в —— аЬдР. По другую сторону оси всегда найдется элементзрная площадка г7Р, имеющая координаты х= — а, у=-Ь; ее ценгробежный момент инерции будет равен: сУле = — ОЬ егт . Сумма центробежных моментов инерции этих двух симметричныхх площадок равна нулю: 7У.„ + 7У.'э =- 0.
182 статичяскив моменты, центам тяжести )гл. чп Для каждой пары симметрично расположенных элементарных площздок будет получаться то же самое. Поэтому центробежный момент инерции всей фигуры, состоящей из симметричных элементарных площадок, будет равен нулю. Если же центробежный момент инерции равен нулю, то ось симметрии и любая к ней перпендикулярная ось будут главными осями. Таким образом, отыскание главных осей инерции для силсметричных фигур не представляет никакого затруднения.
Приравняв центробежный момент У, „нулю, найдем угол, на кото«И рый надо повернуть первоначальные оси, чтобы новые оси были главнымн; lм — Уя 2 зсп 2«+ У „соз 2« = О, опсуда 2У«, гя2« = в м 1155) Рассмотрим теперь вопрос определения положения главных осей инерции в общем случае, когда фигура не имеет оси симметрии. Пусть нам известны моменты инерции Уе, «в и У „относительно каких-либо произвольных осей х и у.
Пентробежный момент инерции относительно других координатных осей хс и уп имеющих то же начало координат, но повернутых относительно первых иа угол «, согласно формуле (155) будет: У,, = зги 2«+ «мясо«2«. й 53[ помятые О главных Осях инеРции !83 Подставляя в эту формулу значения для Уи, У„н Уив, найдем для угла 2и два значения, отличающиеся друг от друга на 180'. Сами углы и будут отличаться друг от друга на 9К. Следовательно, главные оси будут перпендикулярны друг другу. Таким образом, для определения положения главных осей инерции необходимо в общем случае знать моменты инерции Уап Уя и У относительно какой-либо пары координатных осей.
)Р)окажем теперь, что относительно главных осей инерции осевые моменты инерции принимают предельные значения либо наибольшее, либо наименьшее значение. Лля этого найдем угол поворота и, для которого моменты инерции принимают значение максимума или минимума. Возьмем выражение (1Я) для осевото момента инерции относительно оси, повернутой на угол и относительно первоначального положения: У =У созти+У„з1пта — У „з1п2ю дУ Найдем производную †'' и приравняем ее нулю: Ыи дУи — и' = — 22 ззп а соз я+ 2Уяз1п а соз и — 2У „сов 2и = 0 нли (Ув — У ) жп2а = 2У „сов 2ю Отсюда 2Умв 1Я 2и = — ' —. Ув — У, ' Получается то же выразкение лля угла поворота, что было найдено и для главных осей [формула (156)[.
Следовательно, высказанное положение доказано. Если момент инерции относительно новой оси, повернутой на угол и, определяемый из полученного выражения, будет иметь максимальное значение, то момент инерции относительно другой перпендикулярной осн будет иметь минимальное значение, и наоборот. Это следует из того, что сумма осевых моментов относительно двух перпендикулярных осей не меняется прн вращении этих осей относительно начала координат [формулы (138) и (153)[.
Теперь мы можем дать и другое определение главных осей; главными осями инерции называются гпакие две перпендикулярные оси, относительно которых осевые моменты инерции имеют максимальное и минимальное значения. Иногда взамен формулы (156) приводят вытекающую нз нее формулу Усе 18 эт = 7 , у (157) пи а и позволяюгцую найти тот угол ип иа который следует повернуть ось х, чтобы получить ось, дающую Умам 184 статические моменты, центры тяжести (гл. чп 5 64.
Определение главных моментов инерции Если известны моменты инерции фигуры зх, /, и / „относительно каких-либо координатных осей, то величины главных моментов инерции могут быть определены следующим образом. Прежде всего определяются положения главных осей инерции по формуле 2»х, гп 2«»х — ' — ' (156) ./»я — у Определив угол 2«, по таблицам определяют значения а1п 2« и соа 2», Из предыдущего известно, что сумма н разность моментов инерции относительно повернутых осей определяются по формулам (153) и (154): (160) (161) ~х +уя х+ "т' (153) Ух — зи = (У вЂ ,Уч) соз 2« — 2/ ч з1п 2»«.
(154) Подставив в фориулу (154) найденные значения з1п2«и соз 2«, получим систему двух уравнений, из которых легко определяются главные моменты инерции з и»» . Можно, однако, выполнить зто решение в общем виде и получить следующие формулы для главных моментов инерции: Эти формулы получюотся из равенств (151) и (156) исключением угла «. Если моменты инерции относительно главных осей лт и ут найд.пы, то моменты инерции относительно каких-либо других осей :-, ч, повернутых на угол «, определяются по формулам (151),(152) и (155): У = зх соз «+»я з1п.
«, »' =»' созе«+» з1пт«, ух ~я (162) Эти формулы отличаются от формул (151), (152) и (155) тем, что в них отсутствует член, содержащий центробежный момент инерции, равный нулю относительно главных осей хт, ут. Легко заметить, что уравнения теории моментов инерции имеют совершенно ту же структуру, что и уравнения теории сложного напряженного состояния, рассмотренного в главе (ч. Так, например, уравнения (44) и (45а), определяющие нормальное и касательное напряжения по наклонной площадке, аналогичны уравнениям и 54) опРеделение ГлАВных моментоВ инеРции 185 (151) и (155), определяющим моиеиты инерции для повернутых осей.
Также аналогичны между собой уравнения для определения положения главных площадок и главных осей (уравнения (46) и (156)1 или уравнения для главных напряжений (47) и главных л:оиентов инерции (158), (159). Эта аналогия распространяется н на рассмотренные свойства: так, если сумма экваториальных моментов инерции для перпендикулярных осей, проходящих через заданное начало координат, постоянна, то постоянна и сумма нормальных напряжений по двум перпендикулярным площадкам, проведенным через данную точку.
Рис. 99. Пример 49. Определить осевые моменты инерции прямоугольника со стоапонами Ь 9 см, Л=-4 сдг относительно осей хд и уп если э =30, а а =10 см и с = 6 см (рис. 99). Решение. Моменты инерции прямоугольника относительно главных центральных осей х и у Ьдэ 9.4э ЛЬэ 4 9э Зм = — = = 48 сжй Уу — — —, — — —— 243 смй 12 12 ' " 12 12 Моменты инерции относительно повернутых осей х' и у' определим на основании формул (160) и (161).
Так как в этих формулах ып ч и соз а входят во второй степени, то направление поворота осей не имеет значения, и л1ы получим: ,/Ш = ./„, СОЭЭ 30'+ уу Э1ич,'10" = 48 0,866з+ 243 0,5э = 36+ 60,7 = 96,7 смй э', =у созтЗО'+д з1пэЗО'= у' у = 243 0,866э+ 48 0,5э = 182 + 12 = 191 сдг . Моменты инерции прямоугольника относительно осей хд и ух на основании формУлы (140) булут: У = Ул, + Раэ = 96,7 + 9 4 10э = 3700 смэ, .Г, = У ° + Рсэ = 194+ 9 4 Нэ = 2490 смэ.
у !у 186 статические мОменты, центРы тяжести [Гл. Уп Рнс. 100. Моменты инерции вертикального прямоугольника относителыю осей х и у равны: 1з у = — = 1,66 смб Я 12 = — = 667 сжй 1 ° 20з 12 Моменты инерции одного горизонтального прямоугольника: + (8 — 1) 1,5 ~ †, — †' ~ = 1,97 + 893 900 ежа, (8 — 1) 1,5з г20 1,5та 12 'т2 2) l = ', +(8 — 1) ° 1,5~ — + —,) =30,4+168 198сжй 1,5 (8 — 1)' /3 — 1 1 тз 12 2)— Моменты инерции всего сечения: У = У + 2/яи = 667 + 2 ° 900 2467 слсй lл =./л+ 2/ва — — 1,66+ 2 ° 198 398 смб 1(ентробежный момент инерции вертикального прямоугольника относительно осей х и у равен нулю, так как зти оси для него ьвлгются главными осямн. Определим центробежные ьюиенты инерции горизонтальных прямоугольников.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
