Кинасошвили Р.С. 1960 Сопротивление (1075901), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Если вместо левой часги балки рассматривать правую часгь, то моменг и сила от упругих сил в сечении тп были бы те же, что и прн расска~ренин левой части, но направления их были бы противоположны 1рнс. 111, в). Таким образом, в одном и том же сечении балки силы упругости имеют различные направления в зависимости от того, к какой чзсти (правой или левой) они приложены. Для того чтобы изгибающий момент и поперечная сила в одном и том же сечении имели один и тот же знак независимо от того, к какой части балки они приклздываются, условимся о следующем правиле знаков.
Изгибающий момент будем считать полозкительным, если он изгибает балку выпуклостью вниз, т. е. если он левое сечение балки стремится вращать по часовой стрелке или правое сечение балки — против часовой стрелки (рис. 112, а). Изгибающий лсомент будем считать отрицательнылб если он изгибает балку выпуклостью вверх, т.
е. если он левое сечение балки стремится вращать против часовой стрелки нлц правое сечение балки в по часовой стрелке 1рнс. !12, б). 200 изГиБ НРямолинепноГО БРусА, изГиБАющий мОмент [Гл. чп! Поперечную силу будем считать положительной, если она стремится сдвинуть левое сечение балки вверх относительно правого или правое сечение вниз относительно левого (рнс.
113, а). П) 6) Рнс. 112 Рис. 113 Поперечную силу будем считать отрицательной, если она стремится сдвинуть левое сечение балки относительно правого вниз или правое сечение в относительно левого вверх (рис. 113, б). 5 60. Зависимости между интенсивностью распределенной нагрузки, поперечной силой и изгибающим моментом Рассмотрим балку, лежащую на двух опорах, изгибаемую силами Р,, Р,, Р„ Р, (рис. 114).
Реакции опор пусть будут А и В. Напишем момент в сечении тп от снл, лежащих левее сечения: п4 = Ах — Р,(х — а,)+Р,(х — аг). 5 60) зависимости между попееечн. силой и изгиа. момент. 201 Моменты от сил А и Р, положительны, так как они стремятся левую часть балки вращать но часовой стрелке, момент от силы Р,— отрицательный, так как он стремится вращать левую часть балки против часовой стрелки.
а, Ряс. 1!4. Поперечная сила в сечении ти, как алгебраическая сумма всех сил, лежащих левее сечения, равна: (~ = А — Р, + Рг. Напишем значение момента в сечении т'и', лежащем на расстоянии ах от сечения та: М +е —— А (х+ах) — Р, (к+ах — а,)+Р, (х+сгх — аг). Приращение момента аМ=М +е — М =Айх — Ргйх+Рфх=(А — Рг+Рг)с)к. Величина, стоящая в скобках, представляет поперечную силу в сечении ти или то же в сечении т'л', так как между этими сечениями не действует внешняя сила: йМ = а с(х, или еМ Я= —, ах ' (! 64) т.
е. иоиеречная сала равна производной от момента ио абсиассе х. Этот вывод справедлив и при наличии распределенной нагрузки. Выведем вторую важную зависимость. Пусть на балку действует непрерывно распределенная равномерная нагрузка интенсивности д. Непрерывно распре- 202 изГиБ ИРямолииейнОГО БРУСА, изГиБАющиЙ мОмент (Гл. чп! деленную нагрузку будем считать положительной, когда она направлена вверх. Если в каком-либо сечении балки поперечная сила равна Я, то в сечении, расположенном на расстоянии г(х от этого сечения, поперечная сила будет Я +-г(г;), где следовательно, (165) Возьмем производную от обеих частей равенсгва (164): Л~ бтЛЛ лх лхт или, приняв во внимание зависимость (165), получим: 4= ею ггеМ лхе (166) т.
е. вторая производная от изгибающего момента по абсциссе ранна интенсивности распределенной нагрузки. Зависимости (164) и (166) были получены русским учеиыч и инженером Д. И. )1(уравским. ф 61. Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил Нормальные и касательные напряжения, возникающие в поперечных сечениях балки, зависят соответственно от величин Гзгибающих моментов М и поперечных сил (,с Поэтому для определения наиболее опасных сечений, т.
е. ~аких, в которых появляются наибольшие напряжения, необходимо знать изменения моментов и поперечных сил по длине всей балки. Сбычно для большей наглядности эти изменения величин М н Я по длине балки представляют графически. Такие графики изменения М и () называются эпюражи изгибающих моментов и поперечных сил. Эпюры эти с~роятся совершенно таким гке образом, как мы строили эпюры крутящих момензон валов: откладывая от оси, параллельной оси балки, в некотором масштабе величины изгибающих моментов, действующих в различных сечениях, и соединяя концы отложенных отрезков, получим эпюру изгибающих моментов. Лля построения эпюры поперечных спл откладывают отрезки, пред- ~ 61) эпюгы пзгивлющих момвптов и попввкчных сн.т 203 ставляющие в определенном масштабе величины попер чпых сил в различных сечениях балки.
Прн построении эпюр изгибающих моментов и поперечных снл принято положительные М и Я откладывать вверх от оси, а отрицательные— вниз. Соотношения (164) и (165), выведенные в предыдущем параграфе, могут быть использованы при построении эпюр М и ф Действительно, соотношению между изгибающим дМ моментом и поперечной силой (,')= — ' можно дать геомейх трическое толкование. Как известно, производную геометрически можно представить как тангенс угла наклона касателыюй к кривой в данной точке, т. е.
Следовательно, поперечная сила в данном сечении может рассматриваться как тангенс угла наклона касательной к эпюрс моментов в точке, соответствующей этому сечению. В то1( АИ сечении, где Я = — = О, т. е. в том сечении, где попейх речная сила переходит через нуль, изгибающий момент максимален или минимален. Далее, в том сечении, где интенсивность распределенной И) нагрузки () = — = О, поперечная спла Я максимальна ил:( йх минимальна. Это следует из того, что при д = О касательная к эпюре поперечных сил параллельна оси абсцисс. На основании зависимости (164) можно по известной эпюре поперечных сил построить эпюру моментов и наоборот.
Однако построение эпюр О и М делают независимо друг от друга, а зависимостью (!64) пользуются только для проверки построенных эпюр. Перейдем к примерам построения эпюр (;1 и М. Пусть балка, защемленная одним концом, изгибаемся сосредоточенной силой, приложенной у свободного конца (рнс.
115, а). Построим эпюры поперечных сил и изгибшощих моментов. а) Определение реакций. В защеа(пении возникают вертикальная реакция и реактивный момент. Направим реакцпо Л вверх, а реактивный ьюмент — против часовой стрелки. 204 иэгив пгямолинвйного вгяса, изгивлюший момвнт )гл. тпг Из условий равновесия имеем: ~ У=О; ~~~~ Мл ы О; А — Р=О; — т+ Р1 =О; А=Р, т= РЕ. Для реакпии и момента получили положительный знак: это указывает на то, что они направлены были верно.
б) Построение лавры аоаеречных сил. Для всех сечений балки сумма сил, лежащих левее сечения', выражается одной силой в реакпией в ващемлении, равной Р и направленной т '" П) вверх. Поэтому на всей длине балки поперечная сила постоянна. Для построения ее эпюры (рис. 115, б) откладываем вверх отрезок, представляющий в мас- 'Р г' ~( . й '~ ° ~ ч '~ ~~ 6) штабе силу Р и проводим горизонтальную линию. А' з) Построение лавры мо- 4 ментов. Изгибающий момент в катг1)5~ ) '~' )„,', „' 5) ком-либо сечении, отстоящем на 1 расстоянии х от защемления, най- 1 лем как сумму моментов от всех Рис. 115. нагрузок, лежащих по одну сторону от сечения.
Слева от сечения действуют опорная реакция и опорный моиент; следовательно, момент в сечении будет: М= — аг+ Ах. Реактивный момент взят с минусом потому, что он вращает левую часть балки против чзсовой стрелки, т. е. изгибает балку выпуклостью вверх.
Момент от реакнни А имеет знак плюс, так как он стремится вращать левую часть балки по часовой стрелке, т. е. изгибает балку выпуклостью вниз. Подставив в выражение момента значения т и А, получим: М = — Р1 + Рх = — Р 11 — х). Если теперь напишем момент для того вке сечения от сил, действующих справа от сечения, что в данном случае проще, то получим: М = — Р'11 — х), ф 611 эпюгы изгивлющих момвнтов и попввачных сил 205 Как и следовало ожидать, получилось то же значение момента, что и в первый раз. Сила Р, действующая на свободном конце балки, создает момент, стремящийся вращать правую часть балки по часовой стрелке, т. е.
изгибает балку выпуклостью вверх, поэтому момент от этой силы отрицательный. Выражение для изгибающего момента, полученного нами, надо рассматривать как уравнение, дающее закон изменения величины момента с изменением координаты х сечения. Уравнение моментов в данном случае получилось первой степени; следовательно, это уравнение прямой линии. Построим эпюру изгибающих моментов для рассматриваемой балки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
