Кинасошвили Р.С. 1960 Сопротивление (1075901), страница 33
Текст из файла (страница 33)
))ля построения эпюры определим моменты для нескольких сечений; имеем; при х= о Мл — — О, 1 при х= — ! 4 д«д1 1 3 Л М = —, — — — *,— — ттдгт, 114 2 4 4 2 ° 4 32 А I В ! при х= — 1 1 2 д1 1 41 1 М 11з 2 2 2 2 2 3 Так как балка нагружена симметрично, то вычислять изгибающие моменты в правой половине балки иет надобности, их можно просто написать сразу: 3 при х= — 1 4 Рпс. 1!9 3 при х=1 Мл — — О. Эпюра поперечных сил показана на рис.
119, о. в) Построение эпюры моментов. Так как рассматриваемая балка имеет только один участок, то закон изменения изгибающих моментов по всей длине балки будет один и тот же. Изгибающий момент в какои-либо сечении балки па расстоянии х от левой опоры будет равен сумме моментов от реакции А = — и равномерно о1 2 А 1) распределеииой нагрузки, лежащей иа длине балки х: о1 х 2 2 а) ах (1 — х) 2 5 611 эпюгы изгиелгощнх моментов и попегечных снл 213 Наибольшее значение изгибающего момента будет посредине белки, где поперечная сила переходит через нуль; он будет равен: Ь(мах ° (170) Если величину нагрузки, действующей на балку, обозначить через Р, т.
е. поло>нять о! Р, то Р! й(мат 6 ° Из сравнения втой формулы с формулой (169) лля максимального изгибающего момента в случае сосредоточенной нагрузки, прнлошенной посредине балки, видно, что э случае равномерно распределенной нагрузки магссимальный изгибающий момент а дэа раза меньше, чем для случая сосредоточенной силы таймсе величины. Эпюра изгибающих моментов построена по найденным значениям моментов на рнс. 119, э. Пример 56. Лвухконсольная балка СВ длиной ! (рис. 120, а) изгибается равномерно распределенной нагрузкой интенсивности г!. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.
а) Определение реакций. Так как нагрузка распределена скмметрнчно относительно опор балки, то реакция на опорах будут: а! А В 2 ' б) Построение эпюрм поперечных сил. На конце левой консоли поперечная сила равна нулю; далее она до опоры А увеличивается по абсолютно!! величине, следуя закону Ог = — ох. Перед опорой А она получает наибольшее отрицательное значение, равное Ол = †. Здесь действует реакция А = †, ,напрао! 2' вленпая вверх и по абсолютному значению ббльшая, чем / (;),э — — — ча. Поэтому в сечении над опорой А поперечная сила меняет знак и делается равной: д! г! (2а+ Ы дЬ = — г)а+ — — да+ л 2' Лалее, на втором участке вследствие равномерной нагрузки, действующей вниз, поперечная сила постепенно уменьшается.
Для середины балки сумма сил, действующих левее этого сечения, равна: а! г)Ь й (2а+ Ь) г)Ь вЂ” оа+ —,— —, — оа -1- 2 2 2 2 — = О. 214 ивгив пгямолинейного вигсл, изгигающий момент )гл. чпт Следовательно, в среднем сечении балки поперечная сила равна нулю.
Перед опорой В сумма сил, леткащих левее опоры, будет равна: Р Чг Ч(2а+ Ь) ЧЬ () т= — Ч(а+Ь)+ —, — уа — ЧЬ+ и 2 Здесь действует реакция В = †, , направленная вверх и по абчг и' ЧЬ солютпому значению ббльшая, чем Яхт — — — —,. Поэтому поперсч- 2 ' вая сила над опорой В меняет знак и делается равной: ЧЬ ЧГ + 2 Л далее, на правой консоли поперечная сила вследствие прибавления равноыерной нагрузки, действующей вниз, постепенно умеш,- щается и пад правым концом балки делается равной нулю.
В а) — -Р=. — а — — Ь г Ф )'г.л) г 1-а в) Рис. !20. Эпюра поперечных сил показана па рнс. 120, б; в) Построение эпюры моментоа. рассматриваемая балка имеет три участка: СА, АВ и ВР. ф 61) зпюгы изгивлющих моментов и попвгечнык сил 215 Уравнение изгибающих моментов для первого участка х дхэ тИ,= — Чх т-= — —.. 2 2 (а) прн х=б тыо —— О, при х=а Л1 аат Л— Так как уравнение (а) представляет собой уравнение параболы, то для построение эпюры л~ол~ентов возьмем еще хоти бы одно а промежуточное сечение; при х= —, получаем: оат гат Н Уравнение изгибающих моментов для второго участка тИх = — —, + —,— (х — а); ахэ а1 2 2 (б) при х = а имеем: «И да"- л — 21 нри х = а+ Ь имеем: а(а+ Ь)э а1(а+ б — а) 2 2 но 1= 2а+ Ь; поэтому д(аэ+ 2аб+ Ьт) а(2аЬ+ Ьт) ааэ и= 2 2 Фх Ф 11 ) г)1э О1а б1!1 И бх н + 2 12 1 т. е, момент над опорой В равен моменту над опорой А, что, конечно, можно было сказать и заранее, так как при симметричной нагрузке балки и эпюра моиентов должна получатьсв симметричной.
1 Изгибающий момент посредине балки, т, е. при х = —,, из >рав- 2' пения (б) буден 216 изГиБ пРямолиннйнОГО БРусА, изГиБАющий момпнт [гл. уиг Пример 57. Балка длиной 1, свободно лежащая на двух опорах, изгибается моментом т (рис. 121, а). Построить зпюры поперечных сил и изгибающих моментов. а) Определение оиорных реакций.
Направим реакцию А вверх, а реакцию В вниз; из условий А-- Равновесия имеем: ~~~~МЛ=О; Аг — т=б," А В 1 ' 1".— д д ' Ги ~~~',У=О; А — В=О; т В-- В= А= —. Следовательно, момент, нз- Г И ',,, ','й ч.'~,. ' ',ф ','~',,П п~ ~ гибающий балку, вызывает на + — йц~п: '„~, ~,!„,,+),~~,"ь','~',!, '~ Ц~ опорах реакции, равные по веф,';~'~,~Г,' ~ь,е ~'.~ ~,"„>~Я !~Я~, личине, но напРавленные в пРо- тивоположные стороны. Велий) чина этих реакций такова, что они создают момент, уравнове'.
— '"а шивающий момент, приложенный к балке. б) Построение эпюры поперечных сил. Для всех сечений первого и второго участтдл,~-.,~' ков балки сумма сил, лежащих ~~)(~, 'я левее сечения, выражается ! только одной силой — реакцией й) на опоре А, т. е. силой — . „т Рис. 121.
Поэтому зпюра поперечных сил для рассматриваемого случая представляет прямую, параллельную оси балки (рис. 121, б). в) Построение эпюры моментов. Рассматриваемая балка имеет два участка: первый участок — от опоры А до сечения, в котором приложен изгибающий момент, т. е. до точки С, второй участок— от точки С до опоры В. Изгибающей момент длп любого сечения первого участка выражается уравнением М =Ах= — х.
т Над опорой А, т. е. при х= О, М„= О. В сечении, где приложен момент, т. е. прн х= и, т МС вЂ” а. 8 61) зпюгы изгивлющих момкнтов и попвнвчных сил 217 Составим уравнение моментов для второго участка балки: т lн Мч —— Ах — т = — х — т = — (х — !). ! Имеем: при х=а т а — ! т МО- — (х — !)=т — = — — Ь, ! ' ! при х = а+Ь т Мв = — (а + Ь вЂ” !) = О. ! Эпюра моментов, построенная по найденным значениям момен- тов, показана на рис. 121, е. Линии зпюры моментов на участках, разделенных сосредоточенным моментом, на основании зависимости (164) должны быть параллельными. В сечении, где приложен изгибающий момент, зпюра моментов делает внезапный скачок, меняя при атом знак. Так как Ь)а, то максимальный момент будет: (171) мьч В частном случае, котла момент приложен посредине пролета балки, ! т.
е. когда а=Ь= —, 2' т аах — 2 ' Пример 58. )(ля балки, прелставленной на рис.!22,а, построить зпюры поперечных сил и моментов, если Р = 2т, а = 0,5 л!. а) Определение реакций, Опорные реакции А н В находим нз уравнения моментов сил относительно точек А и В: ч а Мл — — — Р—, — Ра — В ° 2а+ Р ° За = О, В=075Р=075 ° 2=1,5 т; 2 Мп= — Р ° 2,5а+А ° 2а — Р ° а+Р а=о, А=),25Р=1,25 2=2,5 т. б) Построение эпюры нонеречных сил (рис. 122, б). Рассматри- ваемая балка имеет четыре участка: СА, АЕ, ЕВ и ВО. На первом у ~астке балки в сечении на расстоянии х от левого конца С попе- речная сила равна: Р 2 !',) = — — х = — = х = г- 4х.
а 0,5 Эпюра на атом участке изображается прямой линией. Имеем: при х 0 Оо =О, при х=а !) = — 4а= — 4 ° 05= — 2 т, л 218 изГиБ НРямолинейнОГО БРУСА, нзгиваюший момент 1гл. У!п На втором участке сумма сил, лежащих по левую сторону сечения, равна: сакэ= — Р+А= — 2+25=05 вь Над опорой А поперечная сила меняет знак, делаясь из отрицательной положительной.
На втором участке поперечная сила 1 г — -а -; а -'- а — ' а — 1 б1 -0,5 Рис. 122. постоянна по всей длине участка, поэтому ее эпюра представляет прямую параллельную оси. На третьем участке балки сумма снл, лежащих левее любого сечения этого участка, остается такой эке, как и ив втором участке; т. е. 51э — — 0,5 яг. Поэтому эп|орой иа этом участке будет та же прямая, параллельная оси, что и на втором участке. 2 511 эпюеы изгиваюшнх момвнтов и поппгвчиых сил 219 На четвертом участие поперечная сила равна: ()4= — Р+А+  — 2+25+1,5=2 т, Эпюра на атом участке изображается также прямой, параллельной оси.
В конце четвертого участка прибавляется сила 2 т, направленная вниз, позтому правее конца балки ?) поперечнал сила равна нулю. Наибольшая поперечная сила получилась иад опорой А и по всей длине четвертого участка: <',) „„=2т. в) Построение эпюры моментов (рис. 122, е). Момент на пер вом участке СА в сечении, отстоящем иа расстоянии х от левогг: конца С, равен: Р х Л11 = — — х —. — = —.
-х ° а 2 052 Нри х=0 а прн х= —, 2 '12) при х= а Мл — — — 2ат = — 2 ° 0,5т — 0,5 тм. Момент на второи участке: ат М, = — Р (х — —, 1+ А (х — а) = 2? г Вт = — 2(х — — ', ~+ 2,5 (х — 0,5) = 0,5х — 0,75, причем при х = а Л1л + 0,5 ° 0,5 — 0,75 — 0,5 тлг, при х=2а Л1х —— 0,5 °" ° 0,5 — О,?5 = — 0,25 тлп 51онепт па третьем участке: ат Л1з = — Р (х — —, ) + А (х — а) — Ра 0,5г = — 2 (х — —,' ) -1- 2,5 (х — 0,5) — 2 ° 0,5 0,5х — 1,75, 2? причем при х = 2а Ми 0,5 ° 2 ° 0,5 — 1,75 = — 1,25 тм, т. е. в сечении, где приложен момент, зпюра моментов имеет скачок. 11рн х За Мм 0,5 ° 3 ° 0,5 — 1,75 =- — 1 тм, 220 изГВБ пРЯмОлинейнОГО БРУса, изГинлюший ИОмент [Гл. чш Момент на четвертом участке от сил, лежащих справа от се- чения: М4 и — Р(4а — х) = — 2(2 — х), причем при х= За Мл — 2(2 — 1,5) = — 1 глм, при х~4а м о. Эпюра моментов по найденным значениям моментов построена на рис.
122, а. Максимальное абсолютное значение изгибающею момента получилось в сечении Е, где приложена пара сил М „— 1,25 гим. 5 62. Контрольные вопросы Какой изгиб называется плоским изгибом? Какой изгиб называется чистым изгибом? Что делается с продольными волокнами материала при изгибе? Какой слой волокон балки называется нейтральным? Что называется нейтральной осью? На какие три типа делятся опоры балок? Какие реакции возникают в каждом из трех типов опорных устройств балок при действии изгибающих сил, направленных перпендикулярно к оси балки? Что называется интенсивностью равномерно распределенной наг узки? то называется изгибающим моментом и поперечной силой в данном сечении? Как определяется знак изгибающего момента и поперечной силы? Какая существует связь между изгибающим моментом и поперечной снлой7 )(ля чего строятся зпюры изгибающих чоментов и поперечных снл? ГЛАВА 1Х НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ И РАСЧЕТ БАЛОК ИА ПРОЧНОСТЬ ф 63.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
