Кинасошвили Р.С. 1960 Сопротивление (1075901), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Рассмотрим распределение касательных напряжений в балке прямоугольного сечения. Касательные напряигения по линии аЬ, йй ги>ах -г г Ь 'г о1 Рис. 136. !>ис. 135. отстоящей на расстоянии у от нейтральной оси (рпс. 136, а) по формуле (188) равны: (;)5 аа ' Для рассматриваемого сечения балки 1~, и' и Ь вЂ” постоянные величины.
Поэтому т будет изменяться прямопропорциопально 5. Статический момент заштрихованной площади прямоугольника АаЬВ, лежащего выше линии аЬ, отпоситель>ю нейтральной осп будет: Здесь произведение первых двух множителей представляет ~лощаль прялюугольника АаЬВ, а третий множитель — расстояние центра тяжести этого прямоугольника до нейтральной оси. Преобразуя это выра>кение, найдем: с — ( у)( +у) — ( уи) 1б Заи. !>П>, Р. С. Кииасошаиаи 242 [гл. 1х НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ Момент ннерции всего сечения относительно нейтральной оси: у= —, Подставив значения 5 и з в формулу (188), получим: -~72' (189) б(',1 ЛЗ 3 О алз 4 2 ьд ' (!9О) Площадь всего сечения равна 5Д; обозначив ее через р, получим: т 3 О (191) Величина — представляет среднее касательное напряжение; 0 Р следовательно, касательное напряжение при изгибе для прямоугольного сечения в 1,5 раза больше, чем то среднее напряжение, которое получилось бы при равномерном распределении касательных напряжений по сечению, формула (189) показывает, что касательные напряжения д изменяются по сечению по закону параболы.
Для у= —,, Ю т. е. в волокнах, наиболее удаленных от нейтральной оси, т= О. На рнс. 136, б показана эпюра касательных напряжений для прямоугольного сечения. Величина у в формулу (189) входит в квадрате, поэтому знак у на величину т не влияет, н волокна, симметрично расположенные от нейтральной оси в прямоугольном сечении, имеют одинаковые напряясения, Формула лля определения касательных напряжений, возникающих при изгибе в балке прямоугольного сечения, была впервые выведена выдающимся русским инженером Д. И. Журавским в 1855 г.
Максимальное значение касательного напряжения будет на нейтральной оси, где у = Оч ф 67) касательные нлпяяжения в двттлвговой валке 243 5 67. Касательные напряжения в двутавровой балке Зная закон распределения касательных напряжений для прямоугольного сечения, можно построить эпюры напряжений для других сечений, составленных из прямоугольников, н, в частности, для двутаврового сечения (рнс. 137, а). В горизонтальных полках и вертикальной стенке касательные напряжения будут изменяться по закону параболы.
11 б,а 9 и) Рис. 137. Для точек на линиях 1 — 2 и 11 — 12 напряжения равны нулю. Для точек на линии 8 — 4 н 9 — 10 касательные напряжения определим по формуле (188), подставив в нее соответствующие значения. Тогда получим: со 1н лет зр (Оз — лз) В (На — РД") ~ 4 41 2В (Н' — р'д') '  — Ь где р = . Однако вычисленные по формуле (а) напряжешгя отличаются от действительных, они явля|отся условными; это вытекает из того, что в данном случае нет предусмотренного при выводе формулы (188) равномерного распределения т по ширине сечения и, в частности, на участках 3 — б и б — 4 напряжения т равны нулю. Поэтому эпюра т, как указано, на участках 1 — 3 и 9 — 11 условна (рис.
137, б). При переходе к вертикальной стенке касательные напряжения резко изменяются по величине, так как в этом месте ширина резко изменяется от величины В до Ь. Поэтому для линий б — б и 7 — 8, принадлежащих вертикальной стенке, )р 244 [гл. Гх нлпРяжепия ИРи изГиБе касательные напряжения определим из выражения (а), подставив в него Ь вместо В.
Итак, Н йа ла Б —,2Ь(Н, рйл)(Н й). (б) Максимальное напряжение будет на нейтральной линии. Для его определении вычислим статический момент половины лвутавра относительно нейтральной линии и момент инерциг всего сечения. Статический момент (Н вЂ” й) 7Н Н вЂ” й( й й В (На — й') Ьйл 2 12 4 / 2 4 и 8 Момент инерции двутавра ВНл ( — Ь) й" /в !2 12 Подставив значения 5 и з в формулу (188), получим: В (Нл — йл) + Ьй" 8 30 [В (На — й') + Ьйа[ ВНЗ вЂ” ( — Ь) йл Ь 2 [ВНЗ вЂ” ( — Ь) й'[ Ь ' ф 68.
Проверка прочности балки по главным напряжениям Размеры сечения балки должны выбираться такими, чтобы ни в одной точке балки напряжения не превосходили допускаемой величины. Выше мы видели, что в балке возникаюг нормальные и касательные напряжения. В большинстве случаев проверка прочности балок ограничивается определением только максимального нормального напряжения по формуле Мшал ешал= ф." ~[а[.
(187) Это условие прочности относится к элементам, наиболее удаленным от нейтрального слоя, находяшимся в сечении, где действует максимальный изгибаюший момент (рис. 138), На рис. !37, б показана эпюра касательных напряжений для двутаврового сечения. ьч 68! пРОВВРкй пРОчнОсти валки по ГЯАВным нлпвяжениям 245 У одного края балки элемент (А) растягивается, у противоположного края балки элемент (В) подвергается сжатию. Максимальное касательное иапрялгение в балке проверяется по формуле (188) Это условие прочности относится к элементу, расположенному у нейтрального слоя в сечении, где действует максимальная поперечная сила.
Этот элемент (С) подвергается ч«стопу сдвигу. Рне. 1ЗН. (183) По мсре приближения от краев балки к нейтральному слою нормальные напряжения уменьшаются, а касательные возрастают. Поэтому при проверке прочности балки только по трем ее элементам (А), (В) и (С) нет уверенности в том, что мы определяем наибольшие напряжения балки. Может быть, что наиболее напряженный элемент находится не у краев балки и не у нейтрального слоя. Это имеет место, если максимальный изгибающий момент и максимальная поперечная сила действуют в одном и том же сечении балки н ширина сечения резко меняется у краев (например, двутавровая балка). Определять нормальные и к сательные напряжения мы умеем для элемента, находящегося на любом расстоянии у от нейтрального слоя, если нам известны ~)4 и (~ в данном сечении и размеры самого сечения.
'1'ак, для элемента (В) по формулам (174) и (188) ,Иу а=в (! 74) ~)Я уь 246 (гл. >х нлпгяжения пгн изгнав сэ„„= —, с+ —, )Лег+ 4тл, 1 1 с . = —,а — —, Р'сл+4тг; 1 1— шю (47) при этом требуют, чтобы было е,„([э!. Пример 64. Лвутаяровая балка длиной 1 1 лг, свободно леа<ащая на двух опорах, изгибается силой Р=!бт, прилоа<еииой посредине (рнс. 139). Определить главные напряжения в точках У, 8 н 4 верхней половины наиболее опасного сечения балки.
Размеры сечения балки даны в сантиметрах, Решение. Из рассмотрения впюры изгибающих моментов и эпюры поперечных сил вндво, что наиболее опасным сечением балан будет сечение, лежащее посредине. Для этого сечения изгибающий момент равен: Лжю = — = 400000 кгслг.
РГ 16 000 ° 100 мы Р Поперечная сила () = —, = 8000 кг. Л!овен> инерции сечения 2 относительно нейтральной оси 15 ° 40~ (15 — 1) (40 — 2 ° 1,5)» о0 900 — 20 900 слг'. мы легко можем определить напряжения е и т. Все элементы балки, за исключением элементов, ресположенных у краев и у нейтрального слоя, находятся в сложном напря>кенном состоянии одного и того же вида. По граням элемента, перпендикулярным к оси балки, действуют нормальные напряжения (растяжения или сжатия); по тем же граням и граням, параллельным нейтральному слою, действуюг касательные напряжения; передняя и задняя грани балки свободны от напряжений.
Зная для любого такого элемента напряжения а и т, можно найти для этого элемента главные напряжения, а затем на основании той или другой теории прочности оценить прочность балки по ее наибольшему эквивалентному напряжению. При проверке общей прочности балки обращаются к определению главных напряжений по формулам (47), полагая в >и!х аа=0, е =е, т.
е. по формулам ~ 681 пвоннвкл пвочности валки по главным нлпвяжнниям 247 Нормальные напрвжения от изгибающего момента и касательные от поперечной силы лля заданных точек сечения определим по формулам Мн О — и ,/Ь ' Вычислим предварительно статические моменты: бг — — 0; 8а — 15 ° 1,5 ~ —, — —,' ) = 434 смг гт40 15т 12 84 — — ба+ 1 ~ —, — 1,5) ~ —,— 1,5) —, = 434+ 171 = 605 смз. 4в 1 /у !~ ~~~~( а1 Рис.
139. Определим нормальные напряжения: 400 000 ° 20 ат 20 900 = -383 кг/смь. 400 000 ( —, — 1,5) ва 20 900 -354 кг/смь, н, = О. Нормальные напряжения отрицательны, так как в верхней половине сечения волокна сжаты. Определим касательные напряжения: 8000 434 . . 6000 605 О та, = 166 кг/см'; с, =,, = 232 гсг/смт, 2О9ОО 1 = ' '= 20900 1 = 248 1гл. гх НЛПРЯЖЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ Главные напряженнл найдем по формулам (47): а „„„= 0 кг/смт; а м = — 383 кг/слгт; 354 1 а, „ = — †, + †, ГГ354х + 4 ° 166т = 66 ггг/сжб 2 354 1 аа„„„= — —, — —, 1' 354э+ 4 ° 1боэ = — 420 кг/слг"; 2 ал „вЂ” — 232 кг/смч ал„я, —— — 232 кг/смх.
Из этого примера видно, что наибольшие главные напряженна могут возникать н не в крайних волокнах, когда благодаря большой величине поперечной силы ее влияние сопоставимо с влиянием изгибающего момента. 9 69. Расчет балок по допускаемой нагрузке и по предельным состояниям Выше подбор сечения балки основывался на допускаемом напряжении. Мы считали, что опасным состоянием балки будет такое, когда наибольшее напряжение в опасном сечении достигнет предела текучести. Условие прочности в этом случае выражалось так: Л4 ах О = мах <!а1= ' мхх гсг Л где а,— предел текучести материала, а /г — запас прочности. Но при неравномерном распрелелении напряжений по сечению и при пластичном материале, как это было показано при рассмотрении кручения вала, метод определения размеров сечения по допускаемым нагрузкам дает иной результат, чем метод по допускаемым напряжениям, хотя запас прочности остается одинаковым.
Совершенно так же дело обстоит и при изгибе балки из пластичного материала, диаграмма растяжения которого схематично показана на рис. 140, а, Когда в наиболее опасном сечении балки в крайних волокнах напряжение достигнет величины о„ эпюра напряжений в сечении будет иметь вид, покззанный на рис. 140, б. При дальнейшем увеличении нагрузки максимальное напряжение в крайних волокнах вследствие текучести материала не будет увеличиваться. С увеличением нагрузки будет увеличиваться напряжение в волокнах, ближе лежащих к нейтральной линии. При некотором значении нагрузки, когда в материале по всей высоте сечения напрвкения достигнут предела текучести, 9 69! влечет валок по допясклямой наггтзкя 249 т.
е. эпюра напряжений примет вид двух прямоугольников (рис. 140, в), грузоподъемность балки будет исчерпана. Определим величину внешнего изгибающего момента М,р, соответствующую этому предельному состоянию балки. лу Ряс. 140. [а, можно вынести аа интеграл, так как оно постоянно по всему сечению). При запасе прочности и условие прочности будет: м„а бл".
[и! ( — "' = — ' л 4л а или, вводя допускаемое напряжение [а! = †, получим: 4 [~! ьлт (192) или 4 [М! алт 3 — йг 2 [193) На заштрихованную элементарную площадку г[Р будет действовать усилие е,ФР, момент от этого усилия относи- тельно нейтральной оси равен а,уг[Г. Следовательно, м„„=~.,у т, Р или в силу симметрии сечения относительно нейтральной линии ь 2 а„лле Мпр= 2е~ / ЬуИу= —" ч 25О [гл. |х напгяження пгн изгнав При расчете по допускаемому напряжению мы имели: [е[) '— . лг Следовательно, в случае прямоугольного сечения балки при одном н том же вапасе прочности прн расчете по допускаемой нагрузке необходимый момент сопротивления сечения в 1,5 раза меньше, чем прн расчете по допускаемому напряжению.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
