Кинасошвили Р.С. 1960 Сопротивление (1075901), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Если +л +М кривзя обращена вогну- 0 тостью в сторону положи- Х тельных у (рис. 142), то Рнс, 142. р>О, так как — У >О, и лт лхз наоборот, если кривая обращена вогнутостью в сторону отрицательных у (рис. 143), то р (О, так как — „, < О. лту Таким образом, если условимся считать ось у направленной вверх, то знзк р, или —., и у лхг' будет совпадать со знаком изгибающего момента, что легко заметить из рассмотрения рис.
142 и 143. Отсюда следует, что при указанном условии выбора осей координа~ уравнение упругой линии в общем виде будет: 257 ф ?1) УПРУГАЯ ЛИНИЯ БАЛКИ линии с осью х, с абсциссами элементов. Второе интегрирование приводит к уравнению упругой линии в форме, дающей непосредственную связь между прогибом у и абсциссой х. После каждого интегрирования получается некоторая постоянная. Таким образом, для каждого участка балки после двукратного интегрирования его уравнения упругой линии будем иметь две постоянные интегрирования. Метод этот при большом числе участков балки приводит к решению системы уравнений с большим числом неизвестных постоянных. Зги постоянные определяются из условий равенства прогибов и углов поворота на границах соседних участков и из условий поведения балки на опорах.
Однако, соблюдая некоторые условия и приемы составления и интегрированна уравнений изгибающих моментов по участкам, можно всегда сократить число неизвестных до двух. Это сильно упрощает задачу нахождения упругой линии балки, имеющей несколько участков. Прежде всего условимся начало координат помешать в левом конце балки, направляя ось х вправо, а ось у вверх.
При вычислении моментов будем рассматривать часть балки, содержащую начало координат, т. е. будем всегда определять момент в данном сечении, подходя к нему с левой стороны. Теперь перейдем к описанию трех необходимых нам приемов, которые поясним на соответствующих примерах. Первый прием заключается в том, что интегрирование некоторых выражений, содержащих скобки, должно вестись без раскрытия скобок. Так, например, интегрирование выражения вида Ргх — а) производится без раскрытия скобок, а именно по следующей формуле: !х — а)ш+ Р(х — а) с?х = Р + С.
т+! Интегрирование по этой формуле отличается от интегрирования с предварительным открытием скобок только величиной произвольной постоянной. Второй прием заключается в следующем. Если на балку действует распределенная нагрузка, не доходящая до конца балки, то ее следует продолжить до конца, а чтобы не изменить условия работы балки, следует одновременно приложить 1? Зии. !аии Р. С. Кииисошииии 258 [гл. х УПРУГАЯ ЛИНИЯ БАЛКИ нагрузку той же интенсивности и равную добавленной, но обратного знака. Если, например, на балку действует равномерно распределенная нагрузка интенсивности д, не доходящая до конца, Л л! Рис. 144.
ним на примере. Пусть на балку действует сосредоточенный момент лг (рис. 145) на — гт — ' ( расстоянии а от левой опоры. Изгибающий момент на втором участке при подходе к сечению, как мы условились, со стороны на гала координат будет: Ах — т. как показано на рис. 144, а, то эту нагрузку надо продолмгнть до конца балки (рис, 144, б1 и приложить нагрузку, равную добавленной, но обратного знака. х — ~! Лве добавленные па!-х-1У грузки на рис.
144, б показаны пунктиром. Третий прием пояс- Х й 22) вывод ововшвнного гвлвнения вне>той линии 259 Ниве~о не изменится, если мы этот момент запишем слелюощим образом: Ах — лг (х — а)о ы е. агы ввели множитель 1х — а)е, равный единице; а — длина ба1кп от начала координат до сечения, где приложен сосредо~оченный момент и. В эгом и заключается третий прием, и е. в умножении сосредоточенного момента на скобк> 1л. — а)", равную единице. В следующем параграфе при выводе обобщенного уравнения >пругой линии будет показано, что при соблюдении приведенных выше приемов всегда произвольных постоянных 1нпегрирования будет не больше двух, независимо от числа т ~ас гков балки. 2 72.
Вывод обобщенного уравнения упругой линии Пусть балка под действием по.то>кительпых нагрузок >дающих положительные изгибающие моменты), указанных на рнс. 146, находится в равновесии. Начало координат возьмем У1 ' — д — — ~ 1- — -с — — и Рис. 146. точке О, ось х направим по оси балки вправо, ось у — вертикально вверх. Рассмотрим пять участков нашей балки. / участок: На первом участке ОА нагрузки нет, следова|ельно, уравнение упругой линии будет: Е/У =С,л -1-1>н 17' 260 (гл. х УПРУГАЯ ЛИНИЯ БАЛКИ П участок: АВ.
Применим третий прием: г~ Е1 — У = т (х — а)е ах2 Интегрирование этого уравнения производим, применяя пер- вый прием: Е1 — = т (х — а) +- С, ау ах Е1у = т + Сах+ Оа Ш участок: ВС. Е1Я = т(х — а)е.+ Р(х — Ь),1 ахт Е1„— У=т(х — а)+-Р, +С„ Е1у — т —,— + Р + С',х + О,. 1)г участок: Сс). Е1а'у ( )ч Р( + (х — с)а Е1 — -=т(х — а)+Р ) +д( )— -+С, )г участок: ВЕ. Распределенная нагрузка не распространяется на И участок; поэтому для получения равенства постоянных интегрирования согласно второму приему добавляем положительную нагрузку и для сохранения условий работы балки в такую же отрицательную нагрузку. Добавленные нагрузки на чертеже показаны пунктиром.
Тогда для И участка будем иметь: Е1 —, = т (х — а)" + Р (х — Ь) + д — с) е (х — с)ч (х — а)ч аха 2 2 ( — ар Е1у = т — — -)- Р (- (х — а)ч (х — Ь)з 2 6 (х — с)ч (х — а')4 + д —,— — (г, — + С,-х + О.. 2$ 24 ь ь' 72) Вывод ОБОБщенного УРАВнения УНРУгой линии 2б! Равенство постоянных (С,=С,= ... =С и В,= Р,= =...
= В) следует из сравнения соответствующих уравнений, в которые подставляются значения х, соответствующие границе двух смежных участков. Так, например, для того пабы доказать равенство С,=С„подставляем в уравнения углов наклона касательных Ш и <(г участков х = с. Получаем: (с — Ит т(с — а)+Р + С„= 2 =а<( — а)+Р<,Ь) +д( „.Ь) +С, о1куда следует, что С,=С. Доказав равенство всех постоянных С, легко доказать таким же образом равенство и всех постоянных <). Физический смысл постоянных С н В выясняется из рассмотрения упругой линии участка Е Если обозначить тангенс угла наклона касательной к упру~ой линии в начале координат через а, а прогиб в том же сечении черезуе, то нз уравнений участка / для углов наклона касательной и прогибов при х = О получим: ЕУ"з = С Е./Л = О. Следовательно, постоянное С представляет собой тангенс угла наклона касательной в начале координат, умноженный на жесткость балки Еу, а постоянное В в прогиб в начале координат, умноженный на ту же величину жесткости ЕУ.
Подставим значения постоянных С и О в уравнение углов наклона касательных и в уравнение прогибов участка )г, к к в наиболее общие уравнения, содержащие все изгибающие факторы (пару сил, сосредоточенную нагрузку и распределенную нагрузку). Тогда уравнение углов наклона касательной будет: ау (х — Ь)т (х — с)з <х — а)з Е"<,АЕ=ЕУао+т(х — а)+Р 2 +у —. Уравнение прогибов: ГУУ= П1е+ Едевх+ и, + Р— — + (х — а)е (х — Ь Р (Х вЂ” С)" (Х вЂ” а')4 +Ч ~ )Ч 24 24 262 (гл.
х УПРУГАЯ ЛИНИЯ ВА.ЧКИ Эти уравнения в более общем виде при многокрзтном повторении нагрузок, действующих на балку, могут быть написаны в следующем виде: ЕУ вЂ” =Е,Ь + ~„т(х — а)+ ~ Р, + (х — е)' С (х — и)л ') — э ( ") . 198) +.~» (» 24 см 9 Ид Уравнения (197), (198) и назьсеаютеи обобщенными (л»я рассмотренных типов нагрузки) или универсальными уравнениями упругой линии.
Следует обратить внил»ание на то, что на рис. 146 показаны поло»кительные направления нагрузок. Если нагрузка направлена в другую сторону, то она вносится в уравнения (197) и (198) со знаком минус. Направление прогиба определяется его знаком; при положительном знаке прогиб направлен в сторону положительной оси у, т. е. вверх; при отрицательном знаке прогиб направлен вниз. Если балка защемлена, то неизвестные а, и св обращаются в нули (место защел»лепна совпадает с началом координат), так как угол касательной с осью х н прогиб в защемлении равны нулю. Если балка лежит свободно на двух опорах без консоли илн с олной консолью, то остается определить только одно неизвестное а,, так как прогиб на левой опоре, совпадающей с началом координат, равен нулю. Неизвестное ав в этом случае определяется из условия равенства нулю прогиба над второй, правой, опорой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
