Кинасошвили Р.С. 1960 Сопротивление (1075901), страница 42
Текст из файла (страница 42)
На 280 (гл. к УПРУГАЯ ЛИНИЯ БАЛКИ основании уравнения (215) имеем: лая У/т 6 — Р. Ьае — Р! 6 откуда Ь г= — х. Т (217) Следовательно, в этом случае ширина балки изменяется по закону прямой линии. Форма такой балки легко осушествима. Она представлена на рис. 162, в. Экономия материала при применении такой балки в сравнении с призматической балкой сечения ЬЬ достигает 50з/о. В действительности экономия будет несколько меньшей, так как свободный конец балки на некоторой небольшой длине Р делзется постоянной ширины (рис. 163): иначе поперечная сила на конце балки вызвала бы недопустимо большие касательные напряжения. По этой причине усиление свободного конца делается и у балок равного сопротивления изгибу с постоянной шириной сечения.
3) Прогиб свободного конца Рис. 163. балки равного сопротивления с постоянной высотой определим следующим образом. На основании формулы (173) 3 63 можно написать, что ух х р Р где через р обозначен радиус кривизны упругой линии балки в произвольном рассматриваемом сечении, а через у — момент инерции этого сечения. В нашем случае момент инерции, если принять во внимание уравнение (217), будет разек — хлз Ь 1 ух = ф 75] БАЛКИ РАВНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ИЗГИБУ Следовательно, Ебхбл 121р = — Рх, Ебат ЕУ ЙРт Р1 ' где через l обозначен момент инерции сечения в плоскости блл защемления балки, равный —,. Правая часть получеьььього )г ' выражения постоянна; следовательно, радиус кривизны р упругой линии рассматриваемой балки во всех сечениях одинаков, т.
е. балка прогибается по дуге круга ь (рис. 164), Из прямоугольного треугольника ОАВ имеем: ОВЯ = ОА'+ АВ'. Вследствие малости прогиба г по сравнению с радиусом кривизны р (рнс. 164 сделан не в масштабе) поРис. 164. лозину хорды, т. е. линию АВ, без большой погрешности можно поинять равной длине балки Е Следовательно, будем иметь: ра=(р — ))а+В откуда ра = р' — 2рг'+ Р -+ Р. Подставляя Ег Р1 ' в зто выраькение величину радиуса кривизны находим: РР У= — --.
2Е3 (218) Пренебрегая величиной га ввиду ее малости по сравнению с другимн величинами, входящими в то же выражение, полгчим: 2р/=ге, оь куда Р У = — —.—. гр ' 282 (гл. х УПУУГАЯ ЛИНИЯ БАЛКИ Сравнивая полученное значение прогиба с величиной прогиба балки постоянного сечения РР У= — —, ЗЕа' ' (199) заключаем, что прогиб балки равного сопротивления в 1,5 раза больше, чем прогиб балки постоянного сечения, Это свойство балки равного сопротивление деформироваться намного больше, чем балка постоянного сечения, при одних и тех же нагрузках и допускаемых напряжениях привело к использованию балок равного сопротивления в тех случаях, когда надо смягчить действие неспокойной, ударной нагрузки.
Листовые рессоры, широко применяемые в различных видах транспорта (автомашины, вагоны и др.), вреде~валяют балки равного сопротивления. Поясним расчет таких рессор на числовом примере. 5) Рис. !65. Пример 70. Определить размеры Ь и Д стальной листовой рессоры (рнс. !65, а) длиной 7 = 40 ель которая яод деГ|савиеяя груза Р = 500 кг, приложенного иа свободном конце, доллгна давать прогиб под нагрузкой ие менее 5 ель Допускае»ое напряжение на изгиб (а) = 5000 к%лат, Е = 2,! ° ! Оа кг7см'-.
Решелле. Л1ааснмальный изгибающий моменп действующий в плоскости заще»ленив пружины, равен: Ммяя Пз уравнсщи про'щостн (!87) получаем: 5Ф Рг !г' = —. > — -, 6 " (а) ' й 75! Бал!си РЛБИОГО сопРОтинлнния изГибу 283 откупа 6(э! 6 500 ° 40 24 (а) ))гбт(а) дэ.5000 = дз ' Вторым уравнением для опрелелеиия искомых размеров Ь и Д будет уравнение деформации. На основании формулы (218) имееьс 500 40э 2 2,1 ° 1Оа —, Иг' 12 Знак минус, стоящий перед прааой частью формулы, опущен, так как в данном случае важно абсолютное значение прогиба, а не его направление. Решим последнее уравнение относительно 5: 500 ° 64 000 ° 12 18,3 2.2,1.10а.5Ь» Д~ Пз выражений (а) и (б) получаем: 24 18,3 дт дэ откуда 18,3 й = —,,' = 0,763 слг.
Тогда из (а) получаем: 2! Ь=...,,=41,3 тле 0,7Яз Округлим несколько полученные размеры, а именно примем: 5=075 см, 5=42 слс ПРоверим напряжение и прогиб, получаеиые прп выбранных Размерах: Р! 500 40 6 а = —,, = 5100 кг/слгэ, Лат 42 ° 0,75э о Р(т 500. 40э. 12 Иг' 2 ° 2,1 ° 10 ° 42 ° 0,75э 12 Полученное напра!кение превосходит допускаемое только на 2а,'„; "Рогиб несколько больше 5 слг, поэтому принятые размеры молсно с'ппать удовлетворяющими поставленным условиям.
Практически листовые рессоры выполняются в несколько ином виде, Значительная ширина рессоры, получаемая в месте защемлепия, требует много места, а это бывает часто неудобным. Если Разрезать рессору на отдельные продольные полосы равной ширины (как показано на рис. 165, б! и полосы наложить друг на друга (как показано на рис. 165, а), то полученная таким образом рессора, 284 [гл. х УПРУГАЯ ЛИНИЯ БАЛКИ если пренебречь трением, возникающим между полосами, будет работать так же, как и целая, зкономия >ке места будет значительной.
Конечно, целую листовую рессору не разрезают на отдельные полосы, а зти полосы изготовляют из готовой длинной узкой стальной полосы, а затем полосы складывают, как указывалось выше. В нашем примере рессору можно собрать, например, нз шести отдельных полос, тогда ширина каждой полосы должна быть ранна 42:б = 7 слс. й 76. Контрольные вопросы Что называется упругой линией балки? Какая связь существует между радиусом кривизны р, изгибающим моментом ?И и жесткостью балки ЕУ? Каково уравнение упругой линии в дифференциальной форме? Как получается из уравнения упругой линии в дифференциальной форме уравнение упругой линии, дающее непосредственную связь между прогибами у и абсциссой х? Привести обобщенное уравнение упругой линии.
Чему равен прогиб консольной балки, изгибаемой силой, действующей на свободном конце? Чему равен прогиб балки, своболно лежащей на двух опорах и изгибаемой силой, действующей посреливе балки? Какая балка называется балкой равного сопротивления изгибу? ГЛАВА Х! СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЪ|Е БАЛКИ 5 77. Понятие о статически неопределимых балках Вспомним, что статически неопределимой балкой называется такая балка, у которой общее число неизвестных реакций больше, чем число уравнений статики, выражающих условия равновесия балки.
Так называемые «лишние» неизвестные реакции накладывают на балку дополнительные условия деформации. Эти условия, выраженные математически, дают недостающее число уравнений для определения реакций; каждая «лишняя» реакция требует для ее нахождения дополнительного уравнения. Со статически неопределимыми задачами мы встречались уже при изучении растяжения, сжатия и кручения. При решении их всегда принимались во внимание деформации. Определение реакций статически неопределимой балки также возможно только на основании рассмотрения деформаций. Таким образом, можно сказать, что при решении любой статически неопределимой задачи для нахождении «лишних» неизвестных надо к уравнениям статики прибавить недостающее число уравнений, получаемых нз рассмотрения деформ апий.
Эти добавочные уравнения деформапий составляются различными способами. Один из простых способов состоиг в применении принципа независимости действия сил, или, проще, принципа сложения, с которым мы познакомились ай 20. При изучении статически неопределимых балок мы ограничимся случаями, когда число лишних неизвестных невелико 1гл. хг 286 статически иеопведелимые БАлки 5 78.
Балка, защемленная одним концом и свободно лежащая другим концом на опоре На защемленном конце балки возникают сила реакции и момент зашемления, на другом конце, лежащем на опоре,— сила реакции. Таким образом, балка, один конец которой зашемлен, а другой лежит на опоре, имеет трн неизвестных.
Уравнений равновесия для определения реакций в случае действия сил, ле~каншх в од,у-У~г ной плоскости н псрпен- В дикулярных к оси балки, Я имеется только дьа. Сле- довательно, рассматривае- 8 8)'; мая балка имеет одну. «Лишф х л нюю» неизвес гную. г За «лигпнюю» неизвест- ную в азой балке примем и) р акцию, возникающую на конце, лежащем на опоре. В качестве примера оп- ределим максимальный из- г гнбаюший момент и максиб) мальный прогиб балки, изос браженной на рис. 165, а, г изгибающейся под действием равномерно распределенной нагрузки ин|енсивности о.
Определим сначала лншРяс. 166. нюю неизвестную реакцию на опоре В. Отбросив опору В, получим статически определимую балку (рис. !66, б); прогиб свободного конца такой балки был определен на стр. 264; он равен: с 1 ~Ч' З Е.1' На самом же деле конец балки лежит на опоре и прогиб его равен нулю. Следовательно, согласно принципу независимости действия сил опорная реакция на опоре В должна быть такой величины, при которой уничтожался бы полученный нами прогиб, т.
е. зта реакция, действуя $781 валка, защемленная одним концом 287 отдельно, должна создать пРогиб 7а, Равный по величине Уо но направленный в противоположную сторону. Из этого условия определяется реакция, возникающая на опоре В. Прогиб от силы В, приложенной к концу балки 1рнс. 166, в), равен: 1 Втт 3 Е)' Сумма прогибов У, и га должнз быть равна нулю, т. е. 1лв 1В1 8 ЕУ+3 ЕУ Отсюда В= йд1.
3 Определив таким образом реакцию В, находим остальные неизвестные, т. е. реакцию А в защемлении и момент пг, из условий равновесия, как для статически определимой балки 1рис, 166, а). Реакция Л=д1 — В=д1 — —;д1= — 8Ч1. 3 5 Момент т в защемлении определим, взяв сумму момен- тов относительно А: 1 3 — +д1 —,— — д1 1=О, 2 8 откуда 3, лГт — — — 71з = —. 8 (219) оа к) да х= 81 5 Уравнение моментов для какого-либо сечения балки, лежащего на расстоянии х от защемления А: йВ яхт Л1 Лх т г7х 2 8 Ч1х 8 2 )),ля определения значения х, при котором изгибающий момент получает максимальное значение, приравняем нулю л'.Ч . производную ах ,71 дх=О, Лх 8 288 СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ БАЛКИ [Гл.
Л) Следовательно, максимальный момент будет: '5 )а Л = — 71 — 1 — — — = —;7Р. 5 5,уР '7~В ') ч 8 8 и 2 128 Сравнивая этот момент с моментом защемления, видим, что последний больше, чем максимальный момент в пролете балки, поэтому расчетным моментом будет момент защемления. Расчетное уравнение втой балки таково: 1а1 ) —. Определим теперь максимальный прогиб балки.
Уравнение прогибов будет: хэ хз х4 дР х' 5 .ха уха Е./у = — гл — + А — — о —, = — — — + — о1 —. — —, 2 б 24 8 2 8 б 24 ' Место максимального прогиба определим, приравняв нулю пу. производную Нх ' Лу 4Рх 5 дха — Еу= — — + — 71ха — — = 0 16 /хт 5 Ря х1т — — — 1х+ — ~=0. 13 8 Максимальный прогиб не может быть в аащемлении, потому что там он равен нулю; следовательно, ха 5 Р— — — 7х+ — = 0 3 8 4 или х — — 1х+ — 1 =О, 15 3 8 4 откуда х= — 1 У вЂ” 1 — — Р = —.1 —.1= 15 Г 225 3,, 15 У33 15 ~ 5,74 16 У 256 Т 16 1б 16 Значение х не может быть больше 1, поэтому перед корнем берем знак минус: х= —.1 — — '!= — '.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
